Ένας πίνακας για θέμα Β.

Ένας  ομογενής και ισοπαχής δακτύλιος έχει όλη του τη μάζα στην περιφέρεια με ασήμαντο πάχος σε σχέση με τις διαστάσεις του. Ο δακτύλιος αφήνεται κάποια στιγμή ελεύθερος σε σημείο Α κεκλιμένου επιπέδου και κατεβαίνει προς τη βάση του  εκτελώντας κύλιση χωρίς ολίσθηση, παραμένοντας συνεχώς στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο όπως στο σχήμα.

Στον πίνακα κάθε οριζόντια τριάδα δίνει τη δυναμική ενέργεια λόγω του πεδίου βαρύτητας, την κινητική ενέργεια μεταφορικής και την κινητική ενέργεια περιστροφικής κίνησης γύρω από νοητό άξονα στο κέντρο του δακτυλίου. Να συμπληρώσετε τα κενά του 

Σημείο	Uβαρ. (J)	Kμτφ. (J)	Kστρ. (J)
A
B	40	40
Γ	0

Απάντηση

·         ·         Η ροπή αδράνειας του δακτυλίου ως προς νοητό άξονα στο κέντρο του, κάθετο στο επίπεδό      του, υπολογίζεται I = m₁R² + m₂R² + m₃R² + ….. = MR², όπου M η μάζα και R η ακτίνα του.γίζεται I = m₁R² + m₂R² + m₃R² + ….. = MR², όπου M η μάζα και R η ακτίνα του.

·        ·         Ένα στερεό σώμα όταν κυλίεται χωρίς ολίσθηση, έχει σταθερό πηλίκο κινητικών ενεργειών, λόγω μεταφοράς και λόγω περιστροφής, ο οποίος καθορίζεται από τη ροπή αδράνειάς του, ως προς τον άξονα περιστροφής:

                                                                                                                   Κμτφ/Κστρ = mR²/I

·         Στην περίπτωση του δακτυλίου αυτός ο λόγος είναι ίσος με τη μονάδα. Έτσι σε κάθε θέση οι δύο κινητικές ενέργειες είναι ίσες.

·         Στην κύλιση χωρίς ολίσθηση του δακτυλίου εμφανίζεται στατική τριβή με συνολικό έργο  μηδέν

(dW_T = -Tdx + TRdθ = 0)

Δηλαδή έργο εκτελείται μόνο από τη συντηρητική δύναμη του βάρους και γι αυτό ισχύει η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Άρα στη θέση Β και η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής είναι 40 J ίση με την κινητική λόγω μεταφοράς στη θέση αυτή και η μηχανική ενέργεια 120 J. Άρα σε κάθε θέση η μηχανική ενέργεια 120 J.

Οπότε συμπληρώνουμε τον πίνακα:

Σημείο	Uβαρ. (J)	Kμτφ. (J)	Kστρ. (J)
A	120	0	0
B	40	40	40
Γ	0	60	60