Παίζοντας με ένα γιο–γιο

Ένα γιο–γιο είναι κατασκευασμένο από ένα λεπτό σωλήνα μάζας m_Σ και ακτίνας R=π/4cm και δύοm_Δ και ακτίνα R₀=√2R ο καθένας. Τα κέντρα των τριών σωμάτων είναι ομοαξονικά. Ο λεπτός σωλήνας φέρει λεπτό αβαρές δακτυλίδι (σημείο Δ) στο οποίο μπορεί να δεθεί σχοινί, όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Το γιο–γιο συνολικά έχει μάζα Μ=100g.

ομογενείς δίσκους με μάζα

Α. Ποια είναι η ροπή αδράνειας του γιο–γιο ως προς τον άξονα που περνά από τα κέντρα των δίσκων; Να μην θεωρηθεί γνωστή η ροπή αδράνειας του λεπτού σωλήνα.

Β. Κατόπιν δένουμε στο δακτυλίδι του σωλήνα ένα πολύ λεπτό ιδανικό μη εκτατό νήμα και τυλίγουμε στον σωλήνα νήμα μήκους ℓ=π²/10m. Μια χρονική στιγμήt=0, το γιο–γιο αφήνεται να κατέβει προς το έδαφος από την ηρεμία και το νήμα ξεκινά να ξετυλίγεται από το σημείο Δ, όπως φαίνεται στο σχήμα 2. Το χέρι που κρατάμε το σχοινί στο σημείο Α είναι διαρκώς ακίνητο και το σχοινί μένει συνεχώς κατακόρυφο και τεντωμένο.

που θεωρούμε

Να βρείτε ποια χρονική στιγμή θα ξετυλιχθεί το σχοινί από τον κύλινδρο και να προσδιοριστεί η θέση του σημείου Δ.

Γ. Όταν το σχοινί ξετυλιχθεί ολόκληρο, το γιο–γιο κινείται με τέτοιο τρόπο ώστε η κίνησή του να μπορεί να θεωρηθεί στροφική γύρω από ακλόνητο άξονα που περνά από το σημείο Δ στο οποίο είναι δεμένο το σχοινί. Θεωρείστε ότι το σχοινί μένει συνεχώς κατακόρυφο και τεντωμένο.

i) Να βρείτε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του γιο–γιο μόλις βρεθεί στην κατώτερη θέση του.

ii) Βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα του γιο–γιο αμέσως μετά τη στιγμή που βρίσκεται στην κατώτερη θέση το κέντρο μάζας του.

iii) Βρείτε την τάση του νήματος στην κατώτερη θέση που θα βρεθεί το κέντρο μάζας του γιο–γιο.

Δ. Από τη στιγμή και μετά που το κέντρο μάζας του γιο–γιο θα βρεθεί στην κατώτερη θέση να

i) Βρείτε την στροφορμή του γιο–γιο ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και ως προς άξονα που διέρχεται από το σημείο Δ όταν το κέντρο μάζας και το σημείο Δ βρίσκονται στην ίδια οριζόντια ευθεία για πρώτη φορά.

ii) Βρείτε την στροφορμή του γιο–γιο περί άξονα που διέρχεται από το σημείο επαφής του τροχού με το νήμα π/10 δευτερόλεπτα, μετά από τη στιγμή που το κέντρο μάζας του θα βρίσκεται στην ίδια οριζόντια ευθεία με το σημείο Δ για πρώτη φορά.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s² και η ροπή αδράνειας του κάθε δίσκου περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο του είναι Ι_Δ=½·Μ_Δ·R_Δ². Να θεωρήσετε μηδενικές τις απώλειες ενέργειας σε όλη τη διάρκεια του φαινομένου.

Απάντηση


                                                                Βίντεο με γιο-γιο