144. Σφαίρα και κύβος σε κεκλιμένο επίπεδο.

Η ομογενής σφαίρα του σχήματος μάζας m=0,3Kg και ακτίνας R=4cm βρίσκεται σε επαφή με κύβο μάζας Μ=m=0,3Kg όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα των δυο σωμάτων αφήνεται να κινηθεί από ένα σημείο Α κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ. Τότε ο κύβος μάζας Μ ολισθαίνει και η σφαίρα μάζας m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ενώ βρίσκεται συνέχεια σε επαφή με τον κύβο. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στον κύβο και το κεκλιμένο επίπεδο είναι μ=0,5 τότε:

α) Να υπολογιστεί η κοινή επιτάχυνση των δυο σωμάτων.

 

 β)  Να υπολογιστεί:

1. η στατική τριβή που δέχεται η σφαίρα από το κεκλιμένο επίπεδο
2. η τριβή ολίσθησης κύβου – κεκλιμένου επιπέδου
3. η δύναμη επαφής μεταξύ των δυο σωμάτων.

γ) Να υπολογιστεί:

1. η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος (m-M) και
2. η στροφορμή του συστήματος (m-M)  ως προς σημείο του κεκλιμένου επιπέδου όταν αυτό κατέβει κατά (ΑΒ)=x=60cm πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο.

δ) Αν αντικαταστήσουμε τον κύβο με έναν άλλο από πάγο και αφήσουμε ξανά το σύστημα να κινηθεί κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου, τότε ποια είναι η επιτάχυνση των σωμάτων του συστήματος.

ε) Έστω ότι στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου υπάρχει ελατήριο σταθερά Κ=30Ν/m και αφήνουμε το σύστημα [m-M(πάγου)] να ισορροπήσει πάνω σ’ αυτό, οπότε το ελατήριο συσπειρώνεται κατά x₁. Στη συνέχεια συμπιέζουμε το ελατήριο κατά επιπλέον  και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Τότε να αποδείξετε ότι αυτό πραγματοποιεί α.α.τ  και να υπολογίσετε τη σταθερά D και το πλάτος Α της ταλάντωσης.

Θεωρείστε ότι τα κέντρα μάζας βρίσκονται στην ευθεία που είναι παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο και ότι μεταξύ των επιφανειών των δυο μαζών δεν ασκείται κάποια δύναμη τριβής.

Ακόμη δίνεται για τη σφαίρα Ι_cm= ×m×R², ημφ=0,6 και g=10m/s².

Συνοπτική λύση