Παρασκευή, 4 Δεκεμβρίου 2009

Στάσιμο κύμα από ανάκλαση

Να ξεκινήσουμε με ένα ερώτημα:
Πότε ισχύει η γνωστή εξίσωση του βιβλίου
y = 2A∙συν(2πx/λ)∙ημ(2πt/Τ)
η οποία περιγράφει ένα στάσιμο κύμα;
Η εξίσωση αυτή προκύπτει με βάση την αρχή της επαλληλίας για δύο κύματα με εξισώσεις:
y1 = A ημ2π(t/Τ – x/λ)   (1)
y2 = A ημ2π(t/Τ + x/λ)   (2)
Η εξίσωση (1) ισχύει με την προϋπόθεση ότι το σημείο στη θέση x=0, για t=0, y=0 και υ>0 ή με λόγια με την προϋπόθεση ότι το σημείο στη θέση x=0 για t=0 περνά από τη θέση ισορροπίας κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση.
Με τις ίδιες προϋποθέσεις ισχύει και η εξίσωση (2) για το κύμα που διαδίδεται προς τα αριστερά.
Ας προσέξουμε ότι δεν αναφερόμαστε για τη θέση που βρίσκεται η πηγή, αλλά μόνο για το τι συμβαίνει σε ένα σημείο για το οποίο παίρνουμε αυθαίρετα x=0 και στο οποίο σημείο εξ ορισμού θα δημιουργείται ΚΟΙΛΙΑ.
Το σχήμα του βιβλίου (σχ.2.16) που δείχνει ανάκλαση κύματος σε σταθερό σημείο, προφανώς δεν σχετίζεται με την απόδειξη του βιβλίου.
Τι συμβαίνει στην περίπτωση που ένα κύμα διαδίδεται κατά μήκος μιας χορδής, ξεκινώντας από το ένα της άκρο Ο, στο οποίο βρίσκεται η πηγή του κύματος και που το άλλο της άκρο Γ είναι σταθερό;

Έστω ότι κατά μήκος ενός τεντωμένου νήματος, το ένα άκρο του οποίου είναι δεμένο σε κατακόρυφο τοίχο, διαδίδεται ένας κυματοσυρμός. Φτάνοντας στο σταθερό άκρο του νήματος, ασκεί στον τοίχο μια δύναμη  F1 με φορά προς τα πάνω. άρα με βάση την αρχή δράσης - αντίδρασης, δέχεται μια ίσου μέτρου δύναμη F2 με φορά προς τα κάτω. Το αποτέλεσμα είναι στην επιστροφή αντί για «όρος» να δημιουργείται «κοιλάδα», όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.
Από Μαθηματική άποψη, το παραπάνω συμπέρασμα σημαίνει ότι μεταξύ προσπίπτοντος και ανακλώμενου κύματος παρουσιάζεται διαφορά φάσεως ίση με π.

Συνήθως αναφέρεται ότι η εξίσωση για το κύμα προς τα αριστερά γράφεται:
y= Aημ(t/Τ + x/λ + ½ )
Είναι έτσι τα πράγματα;
Ας το μελετήσουμε το θέμα, με λίγη περισσότερη προσοχή.

Άσκηση:
Δίνεται χορδή ΟΒ μήκους L=4m που το άκρο Β είναι σταθερό ενώ το άκρο Ο (για το οποίο θεωρούμε x=0) τίθεται σε ταλάντωση, οπότε κατά μήκος της χορδής διαδίδεται κύμα με εξίσωση:
y= 0,1 ημ 2π(t-x/2) (μονάδες στο S.Ι.)


  1. Ποια η εξίσωση της ταλάντωσης (που θα εκτελούσε το Β, αν ήταν ελεύθερο) εξαιτίας του κύματος αυτού.
  2. Ποια η εξίσωση ταλάντωσης ενός σημείου Σ, που βρίσκεται στη θέση x, εξαιτίας του κύματος που ανακλάται.
  3. Ποια η εξίσωση του στάσιμου κύματος που δημιουργείται από τη συμβολή των δύο κυμάτων;
  4. Στη θέση x=0 τι δημιουργείται δεσμός ή κοιλία;
  5. Να σχεδιάστε στιγμιότυπο τη χρονική στιγμή που το ανακλώμενο κύμα φτάνει στο Ο.
  6. Τι θα άλλαζε αν το μήκος της χορδής ήταν 4,5m;


Δείτε μια ακόμη μελέτη από εδώ.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου