148. Ράβδος με σφαίρες.

Στις άκρες Α και Β μιας ράβδου ΑΒ μάζας Μ=2Κg και μήκους L=3m δένουμε δυο μικρές σφαίρες με μάζες m και 2m αντίστοιχα όπου m=Kg.

Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνάει από το σημείο Ο. Το σημείο Ο απέχει από τις άκρες τις

ράβδου αντίστοιχα αποστάσεις (ΟΑ)= και (ΟΒ)=2.

α) Για την αρχική οριζόντια θέση του συστήματος να υπολογιστεί η κατακόρυφη δύναμη F που πρέπει να ασκήσουμε στο μέσον Κ της ράβδου, ώστε το σύστημα να ισορροπεί.

β) Ποια είναι η δύναμη που ασκείται από τον άξονα περιστροφής στη ράβδο όταν το σύστημα ισορροπεί στην οριζόντια θέση;

γ) Κάποια στιγμή (t=0) καταργούμε τη δύναμη F και το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Τότε για την οριζόντια θέση:

i) ποιός είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος;

ii) ποια είναι η δύναμη που ασκεί η ράβδος στη σφαίρα 2m στη θέση αυτή;

iii) ποια είναι η δύναμη που ασκεί τότε ο άξονας περιστροφής στη ράβδο, μόλις αυτή αφεθεί ελεύθερη να περιστραφεί από την οριζόντια θέση;

δ) Κάποια στιγμή t₁ η ράβδος γίνεται κατακόρυφη. Πόση γίνεται τότε η ταχύτητα της σφαίρας m;

ε) Αν τη στιγμή t₁ που η ράβδος περνάει από την κατακόρυφη θέση, η σφαίρα 2m που βρίσκεται στο σημείο Β αποκολλάται ακαριαία τότε:

i) Πόση είναι η δύναμη που ασκεί η ράβδος στη σφαίρα m που βρίσκεται στο σημείο Α;

ii) Να βρείτε την ταχύτητα της σφαίρας m μόλις η ράβδος ξαναέρθει στην οριζόντια θέση.

στ) Μετά την αποκόλλησή της η σφαίρα μάζας 2m κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με αρχικά ακίνητη μάζα Μ=2Κg που είναι δεμένη  σε οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=24Ν/m. Τότε:

i)                    Να υπολογιστεί ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος των δυο μαζών 2m+M και κατά τη διάρκεια της α.α.ταλάντωσής του και

ii)                  Να βρείτε πως μεταβάλλεται με το χρόνο η δύναμη Ν μεταξύ των δυο μαζών. Μεταξύ ποιων ακραίων τιμών μεταβάλλεται τότε η δύναμη Ν;

Δίνονται: Για την ράβδο Ι_cm=Μ∙L²  και g=10m/s².

  

Συνοπτικήλύση:

Μια σύνθεση ταλαντώσεων και οι φάσεις.

Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου. Το σώμα μπορεί να εκτελέσει εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση αρμονικής δύναμης F₁, όπως στο σχήμα. Μετά την λήξη των μεταβατικών φαινομένων και τη σταθεροποίηση του πλάτους, παίρνοντας κάποια στιγμή t₀=0, η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι x₁= 0,1∙ημ(8πt+π/2)  (S.Ι.). Αν αντικαταστήσουμε τη δύναμη F₁ με άλλη F₂, η αντίστοιχη εξίσωση είναι x₁= 0,1∙ημ(10πt+π/2) (S.Ι.).  Αν στο σώμα ασκηθούν ταυτόχρονα και οι δύο παραπάνω δυνάμεις, η αντίστοιχη  εξίσωση της κίνησης είναι:

x=0,1∙ημ(8πt+π/2) + 0,1∙ημ(10πt+π/2)   (S.Ι.)

i)    Να αποδείξτε ότι η κίνηση του σώματος ΔΕΝ είναι αρμονική, αλλά παρουσιάζει διακροτήματα.

ii)   Να βρεθεί η περίοδος του διακροτήματος.

iii)  Να βρεθεί το πλάτος και η απομάκρυνση του σώματος τις χρονικές στιγμές:

α) t₀=0s,    β) t₁=0,5s,     γ) t₂=1s.

iv)  Τις παραπάνω χρονικές στιγμές να υπολογιστούν οι φάσεις των δύο παραπάνω ταλαντώσεων και η διαφορά φάσης μεταξύ τους. Να σχολιάστε το αποτέλεσμα.

v)  Να υπολογιστεί η απομάκρυνση και η ταχύτητα του σώματος, τη χρονική στιγμή t₃=0,25s.

vi) Να βρεθεί το πλάτος και η απομάκρυνση του σώματος τις χρονικές στιγμές t₀, t₁, t₂ αν η εξίσωση κίνησης του σώματος ήταν:

x=0,1∙ημ(8πt) + 0,1∙ημ(10πt)   (S.Ι.)

Απάντηση:

ή

Μια σύνθεση ταλαντώσεων και οι φάσεις.

Η μέση ισχύς στην ταλάντωση.

Σώμα μάζας m είναι δεμένο στο άκρο Ο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k που το άλλο άκρο του είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Ασκούμε στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F = 20 N ώστε το ελατήριο να αρχίσει να επιμηκύνεται. Μετά από χρονικό διάστημα Δt = π/20 s η μέση ισχύς της δύναμης F είναι ίση με P = 80/π W  και η στιγμιαία ισχύς γίνεται μέγιστη. Μόλις η ισχύς πάρει την μέγιστη της τιμή η δύναμη F καταργείται.

α. Ποια η μέγιστη ισχύς της δύναμης F

β. πόση ενέργεια έχει αποθηκευτεί στο ελατήριο τη χρονική στιγμή που καταργείται η δύναμη F;

Ενέργειες σε μια φθίνουσα ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας 0,1kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=10Ν/m. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά A₀=0,3m και το αφήνουμε να ταλαντωθεί τη στιγμή t₀=0. Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, εξαιτίας την δράσης δύναμης απόσβεσης της μορφής F_απ=-0,1υ (μονάδες στο S.Ι.), όπου υ η ταχύτητα του σώματος. Σε μια στιγμή t₁ το σώμα κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα υ₁=2m/s, πλησιάζοντας την αρχική θέση ισορροπίας του σώματος και απέχοντας κατά 2cm από αυτήν.

Να υπολογιστούν:

i)   Η αρχική ενέργεια ταλάντωσης καθώς και η ενέργεια τη στιγμή t₁.

ii)  Το έργο της δύναμης απόσβεσης από t=0, μέχρι την στιγμή t₁.

iii) Η επιτάχυνση του σώματος την παραπάνω στιγμή.

iv) Οι ρυθμοί μεταβολής:

α) Της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης,     β)  Της κινητικής ενέργειας

και η ισχύς της δύναμης απόσβεσης τη στιγμή t₁.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Ενέργειες σε μια φθίνουσα ταλάντωση.

147. Κύλινδρος.

Ο ομογενής κύλινδρος του σχήματος μάζας m=0,2Kg ακτίνας R=0,1m και ύψους h=0,2m περιστρέφεται ορθός με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=40rad/s, γύρω από κατακόρυφο άξονα ΖΖ΄ σε ύψος Η=0,9 m από το έδαφος, όπως φαίνεται στο σχήμα.

α) Να υπολογιστεί η στροφορμή L_Z του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής.

β) Αν ο άξονας περιστροφής στραφεί χωρίς να αλλάξει το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας  του κυλίνδρου κατά γωνία φ=60⁰ τότε να υπολογίσετε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής  του κυλίνδρου.

γ) Αν τη στιγμή και καθώς ο κύλινδρος περιστρέφεται ορθός, αποκολληθεί ακαριαία από τον άξονα περιστροφής, τότε με ποια μεταφορική ταχύτητα θα χτυπήσει στο έδαφος; Δίνονται: Για τον κύλινδρο Ι_cm=mR²  και g=10m/s².

Συνοπτικήλύση:

Διαγώνισμα στις μηχανικές Ταλαντώσεις. 2014

Στο διπλανό σχήμα, απεικονίζεται ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k=100N/m,που είναι στο φυσικό του μήκος , με το πάνω άκρο του στερεωμένο στην οροφή. Προσδένουμε στο άλλο άκρο του, σώμα μάζας m₁=3kg, που φέρει στο κάτω μέρος του γάντζο, και τη στιγμή t₀=0 το αφήνουμε ελεύθερο από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου.          
 Δίνεται g=10m/s².

1) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση, και να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x από τη θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση του χρόνου t, θεωρώντας ως θετική φορά προς τα πάνω.                                 

 (16 μον.)

2) Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος 1 ,καθώς αυτό κατέρχεται, κι έχει διανύσει διάστημα 0,4 m.     

                                                       .                                                                       (16 μον.)  

Τη στιγμή που το σώμα σταματά στιγμιαία για πρώτη φορά, προσαρτάμε ακαριαία στο γάντζο, δεύτερο σώμα μάζας m₂=1kg, που φέρει κρίκο στο πάνω μέρος του, κι έτσι το σύστημα συνεχίζει να ταλαντώνεται.

3)  Πόση είναι  η δύναμη που ασκεί ο γάντζος στο σώμα 2,  τη στιγμή που η ταχύτητα είναι το ήμισυ της μέγιστης τιμής της για πρώτη φορά.                                                       

( 16μον.)

4)  Τη χρονική στιγμή t₃ που το σύστημα σταματά στιγμιαία για 13^η φορά, αποσπάται το σώμα 2 και κάνει ελεύθερη πτώση , ενώ το 1 συνεχίζει την ταλάντωσή του. Υπολογίστε τη χρονική στιγμή t₃ και να εξετάσετε αν τα σώματα θα συναντηθούν .                 

  (8+8=16μον.)

Δείτε όλο το διαγώνισμα σε Word  και σε  pdf.

Θα χοροπηδήσει ή θα ανέβει;

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε το σώμα Σ₁ με m₁ = 1 kg, στο πάνω μέρος του λείου κεκλιμένου επιπέδου δεμένο με ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο με σώμα Σ μάζας m = 3 kg που ταυτόχρονα είναι δεμένο με αβαρές και μη εκτατό νήμα. Το νήμα σχηματίζει ίδια γωνία φ  με το κεκλιμένο επίπεδο (ημφ = 0,6, συνφ = 0,8) όπως φαίνεται στο σχήμα.

α. όταν το σύστημα ισορροπεί ποια η τάση του νήματος και η δύναμη που ασκεί το Σ στο κεκλιμένο επίπεδο

β. αφήνουμε σώμα Σ₂ από κάποιο σημείο του κεκλιμένου επιπέδου και λίγο πριν την ελαστική κρούση με το Σ₁ έχει ταχύτητα μέτρου υ₀ = 0,4 m/s. Η τάση του νήματος έχει μέγιστη τιμή κατά την ταλάντωση του Σ₁, Τ_max = 35 Ν. Ποιο το μέτρο της ορμής του Σ₂ πριν την κρούση; (θεωρείστε ότι το Σ₂ το απομακρύνουμε κατάλληλα μετά την κρούση)

146. Σφαίρα σε κεκλιμένο επίπεδο και κρούση ράβδων.

Το κέντρο Ο της ομογενούς σφαίρας του σχήματος μάζας m=2Kg και ακτίνας R είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο ελατηρίου σταθεράς Κ=70Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου

 είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Το σύστημα ελατήριο – σφαίρα, ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης θ όπως φαίνεται στο σχήμα.

Το κέντρο Ο της σφαίρας συνδέεται επίσης με το ένα άκρο μιας λεπτούς ομογενούς ράβδου ΑΒ, μέσω λεπτού αβαρούς και μη εκτατού νήματος που είναι παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο. Η ράβδος έχει μάζα Μ=3 Kg και μήκος L=0,48m και σχηματίζει τότε γωνία φ=θ με την κατακόρυφη θέση της.

α) Κάποια στιγμή (t=0), κόβουμε το νήμα. Να αποδειχτεί ότι, το κέντρο μάζας της σφαίρας πραγματοποιεί α.α.τ και να γραφεί η εξίσωση της ταλάντωσης.

β) Μόλις κοπεί το νήμα η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται ελεύθερα χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο της Α.

Όταν η ράβδος ΑΒ γίνει κατακόρυφη συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά  με μια άλλη πανομοιότυπη ράβδο ΓΔ, που επίσης μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο της Γ. Τότε να υπολογίσετε τις ταχύτητες των δυο ράβδων αμέσως μετά την κρούση.

γ) Αν μετά την κρούση και τη στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ΓΔ, γίνει μέγιστος ο άξονας περιστροφής της σπάει ακαριαία, τότε να βρείτε την κινητική ενέργεια της ράβδου ΓΔ, μόλις ακουμπήσει στο έδαφος. Σε πόσο χρόνο η ράβδος φτάνει στο έδαφος;

Δίνονται: ημφ=0,8, για τη σφαίρα Ι_σ=mR² , για τη κάθε ράβδο Ι=ΜL²  και g=10m/s². Ακόμη θεωρείστε πως η σφαίρα κυλίεται.

Συνοπτική λύση: