Παρασκευή, 30 Οκτωβρίου 2009

Φάση και αρχική φάση.

Τώρα που τελειώνουν οι ταλαντώσεις και προχωράμε στα κύματα, ας δούμε μια ανάλυση για κάποιες έννοιες που μας «βασανίζουν». Δημοσιεύτηκε στο προηγούμενο Blog, αλλά την επαναφέρω για τους νέους φίλους που ήρθαν στην συντροφιά μας.

Η φάση ορίζεται για κάθε αρμονικά μεταβαλλόμενο εναλλασσόμενο μέγεθος και μας δείχνει πώς μεταβάλλεται το μέγεθος αυτό καθώς περνά ο χρόνος. Έτσι για κάθε μέγεθος που μεταβάλλεται σύμφωνα π.χ.  με την εξίσωση:
V=V0ημ(ωt+φ0)
ορίζουμε φάση την ποσότητα:
φ=ωt+φ0
όπου φ0 η φάση του μεγέθους την χρονική στιγμή t0=0.
Έτσι αν μιλάμε για μια απλή αρμονική ταλάντωση η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι:
x=Α ημ(ωt+φ0)
και η ποσότητα της οποίας παίρνουμε το ημίτονο, φ=ωt+φ0 ονομάζεται φάση της απομάκρυνσης  ή και απλά φάση της ταλάντωσης.

Ας δούμε κάποια παραδείγματα, για να κατανοήσουμε τα παραπάνω.
Παράδειγμα 1ο:
Δύο σώματα Β και Γ εκτελούν ταλαντώσεις του ίδιου πλάτους Α και της ίδιας περιόδου Τ. Τα σώματα ξεκινούν την ταλάντωσή τους για t0=0, το πρώτο από την θέση ισορροπίας κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση και το δεύτερο από την μέγιστη θετική απομάκρυνση.

α) Ποια η αρχική φάση της ταλάντωσης κάθε σώματος;
β) Πόση είναι η φάση κάθε σώματος την χρονική στιγμή t1=Τ/4;
Απάντηση:
α) Η απάντηση εύκολη, για το σώμα Β φ01=0 και για το Γ φ02= π/2  (rad).
Προσοχή: Πότε ξεκινούν τα σώματα; Όταν μηδενίζεται η φάση; Προφανώς ΟΧΙ. Αυτό συμβαίνει μόνο όταν δεν υπάρχει αρχική φάση φ0.
β) την χρονική στιγμή t1 τα σώματα έχουν φάσεις:
φΒ=ωt+0= 2π/Τ·Τ/4=π/2  (rad)
φΓ=ωt+ π/2 = 2π/Τ·Τ/4+π/2= π  (rad)

Παράδειγμα 2ο:
Ένα σώμα για t0=0 ξεκινά την ταλάντωσή του από τη θέση ισορροπίας και κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση.

α) Η εξίσωση της απομάκρυνσής του είναι:        
i)  x= Α ημ(2πt+π)  ή ii)  x= - Αημωt
β)  Ποια η φάση της απομάκρυνσης τη στιγμή t1=1s;
Απάντηση:
α)   Προφανώς οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε την πρώτη είτε την δεύτερη, αν θέλουμε να μελετήσουμε την κίνηση του σώματος.
β)   Για να βρούμε την φάση πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χρησιμοποιηθεί η πρώτη εξίσωση. Η φάση της ταλάντωσης δεν προκύπτει από την ii) εξίσωση. Έτσι:
φ=2πt+π = 3π (rad)
Μήπως το ότι έχει φάση 3π σημαίνει ότι έχει εκτελέσει 1,5 ταλαντώσεις; Σίγουρα το σώμα έχει κάνει μόνο ΜΙΑ ταλάντωση αφού Τ=t1=1s, απλά τη στιγμή που ξεκινά την ταλάντωσή του είχε ήδη φάση ίση με π.

Παράδειγμα 3ο:
Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο α.α.τ. της ίδιας διεύθυνσης γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και με εξισώσεις:
x1= 0,3 ημ2πt   και x2= - 0,5 ημ2πt  (μονάδες στο S.Ι.)
α) Ποια η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων;
β) Ποια η φάση της ταλάντωσης του σώματος την χρονική στιγμή t1=0,5s;
Απάντηση:
α) Για να βρούμε την διαφορά φάσης θα πρέπει να ξαναγράψουμε την εξίσωση της απομάκρυνσης για την δεύτερη ταλάντωση:
x2= - 0,5 ημ2πt = 0,5·ημ(2πt+π)
πράγμα που σημαίνει ότι η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο ταλαντώσεων είναι π (rad).
β) Η απομάκρυνση του σώματος προκύπτει από την αρχή της επαλληλίας:
x=x1+x2= -0,2 ημ2πt = 0,2 ημ(2πt+π)
Και για t1=0,5 έχουμε:
φ= 2πt+π = 2π  (rad)
 Παράδειγμα 4ο:
Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά....
 συνέχεια.. 

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου