Πέμπτη, 8 Οκτωβρίου 2009

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Πότε έχουμε ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟ;

Έστω ένα σώμα που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης της μορφής F=F0ημ(ωt+φ0) και που η απομάκρυνσή του δίνεται από τη σχέση x=Αημωt. 

Για την ταχύτητα ταλάντωσης έχουμε:
υ= dx/dt = Αω·συνωt
όπου ω η γωνιακή συχνότητα της εξωτερικής δύναμης, δηλαδή η συχνότητα του διεγέρτη.
Για την ταλάντωση αυτή ισχύει ότι Umaxmax;
Ας πάρουμε το λόγο:
Umαxmax= ( ½ kΑ2)/( ½ mυmax2) = kΑ2/mΑ2ω2 = k/mω2 = mω02/mω2 = ω022 

Umαxmax= 4π2f02/4π2f12 = f02/f2. (1)
Όπου ω0 η γωνιακή ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή.
Ας πάρουμε τώρα την καμπύλη συντονισμού.

Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις.
Α) Αν fδιεγ = f1 όπου η συχνότητα f1 είναι μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα f0, η σχέση (1) δίνει:

Umαxmax= f02/f2 > 1 ή Umax> Κmax.
Β) Αν fδιεγ = f2 όπου η συχνότητα f2 είναι μεγαλύτερη από την ιδιοσυχνότητα f0, η σχέση (1) δίνει:
Umαxmax= f02/f2 τότε U max < Κmax.
Γ) Αν fδιεγ = f0 όπου fιδιοσυχνότητα, η σχέση (1) δίνει:
Umαxmax= f02/f2 = 1 ή Umax= Κmax.
Συμπέρασμα:
Μόνο στην περίπτωση που η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, η μέγιστη δυναμική είναι ίση με την μέγιστη κινητική ενέργεια ταλάντωσης.


Και ερχόμαστε τώρα στο θέμα του ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ. Τι ονομάζουμε συντονισμό; Την περίπτωση που το πλάτος ή την περίπτωση που η υmax είναι μέγιστη; Θα πείτε υπάρχει διαφορά;
Η απάντηση είναι ΝΑΙ. Ας πάρουμε τις γραφικές παραστάσεις του πλάτους της απομάκρυνσης και του πλάτους της ταχύτητας σε συνάρτηση με την συχνότητα του διεγέρτη.
 
Το πλάτος (της απομάκρυνσης) γίνεται μέγιστο για μια συχνότητα f1 λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα f0, ενώ το πλάτος της ταχύτητας γίνεται μέγιστο για συχνότητα ακριβώς ίση με την ιδιοσυχνότητα f0. (προσέξτε λίγο και την διαφορά των δύο γραφικών παραστάσεων για τιμές κοντά στην ιδιοσυχνότητα f0.
Αν μιλήσουμε τώρα για μια εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις είναι:
 
Προσέξτε την απόλυτη ομοιότητα με βάση την αντιστοίχιση: xQ, υΙ.
Στην περίπτωση τώρα της Μηχανικής ταλάντωσης, ο συντονισμός ορίζεται σαν η κατάσταση εκείνη που το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο. Οπότε:
1) η καμπύλη συντονισμού είναι η καμπύλη (1).
2) Ο συντονισμός πρέπει να ορίζεται με βάση τη μεγιστοποίηση του πλάτους και όχι με βάση της συχνότητα του διεγέρτη. (Πρέπει να αποφεύγουμε να λέμε ότι όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα τότε έχουμε συντονισμό).
Στην περίπτωση της εξαναγκασμένης ηλεκτρικής ταλάντωσης, ο συντονισμός ορίζεται σαν εκείνη η κατάσταση όπου το πλάτος του ρεύματος γίνεται μέγιστο.

Οπότε:
1) η καμπύλη συντονισμού είναι η καμπύλη (4).
2) Εδώ στον συντονισμό ισχύει f0=fεξ, οπότε μπορούμε να ορίσουμε τον συντονισμό και με βάση την συχνότητα.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου