236. Ράβδος και νήμα

Μια ράβδος ΑΒ, με μάζα Μ=3Kg και μήκος L=0,6m μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα που περνά από τη το άκρο της Α χωρίς τριβές. Αρχικά η ράβδος ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση ώστε το άκρο της Β να βρίσκεται κάτω από τον άξονα περιστροφής.

Από το σημείο Ο αναρτούμε μέσω νήματος τη σημειακή μάζα m=2Kg και τη φέρνουμε στην οριζόντια θέση όπως φαίνεται στο σχήμα.

Ζητείται να υπολογιστεί η αρχική κατακόρυφη προς τα κάτω ταχύτητα υ₀ που πρέπει να έχει η σημειακή μάζα m, ώστε να πετύχουμε ανακύκλωση της ράβδου.

Θεωρείστε ότι μετά την κρούση η σημειακή μάζα ηρεμεί.

Δίνεται για τη ράβδο ότι Ι_cm=×Μ×L² και g=10m/s².

Συνοπτική λύση:

Εσωτερικές Αλληλεπιδράσεις Νο 2.

Η οριζόντια και ομογενής ράβδος ΑΒ του διπλανού σχήματος, έχει μήκος L=0.6m και μάζα M=3kg. Στα άκρα της ράβδου, έχουν στερεωθεί δύο σφαιρίδια αμελητέων διαστάσεων μάζας m=0.5kg το καθένα. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο αβαρή λεπτό σωλήνα αλλά όχι αμελητέων διαστάσεων, που περνά από το κέντρο της. Στο σωλήνα έχει προσαρμοστεί, σταθερά, ομογενής κύλινδρος μάζας Mκ=1kg και ακτίνας Rκ=0.2m. Γύρω από τον κύλινδρο είναι τυλιγμένο πολλές φορές λεπτό, αβαρές νήμα σταθερού μήκους, στην ελεύθερη άκρη του οποίου αναρτάται μέσω αβαρούς τροχαλίας, που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, ένα σώμα Σ μάζας m1=1.25kg. Αρχικά το σώμα Σ και το σύστημα (ράβδος, σφαιρίδια και κύλινδρος) είναι ακίνητα. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα Σ αφήνεται να κινηθεί κατακόρυφα και το σύστημα ξεκινά να περιστρέφεται, ενώ το νήμα δεν ολισθαίνει.

i)  Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του συστήματος κυλίνδρου είναι:

α) α_γ=5r/s²                               β) α_γ=10r/s²                   γ) α_γ=20r/s²

ii)      Η εσωτερική ροπή που δέχεται ο κύλινδρος από το λεπτό κατακόρυφο σωλήνα έχει μέτρο:

α) τ₁=2Ν·m                             β) τ₁=3Ν·m                  γ) τ₁=1,8N·m

Συνέχεια 

235. Κύλινδρος που ολισθαίνει

Στον κύλινδρο του σχήματος μάζας m=2Kg και ακτίνας R που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, εξασκείται μέσω νήματος αμελητέας μάζας, σταθερή οριζόντια δύναμη F=16N σε απόσταση r= από το κέντρο Κ του κυλίνδρου όπως φαίνεται στο σχήμα.

Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ=0,1

α) Να δείξετε ότι ο κύλινδρος ολισθαίνει.      

β) Όταν το σημείο εφαρμογής της δύναμης F μετατοπιστεί κατά x_Γ=17m τότε να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής κίνησης καθώς και η κινητική ενέργεια λόγω στροφικής κίνησης.

γ) Για την παραπάνω μετατόπιση να υπολογίσετε τη θερμότητα που παράγετε μέσω του έργου της τριβής ολίσθησης.

Δίνεται για τον κύλινδρο ότι Ι_cm=mR² και για τις πράξεις g=10m/s².

Συνοπτική λύση:

Η δοκός και το αντίβαρο

Η ομογενής δοκός ΑΒ μήκους l=2m και βάρους w=200Ν, ισορροπεί όπως στο σχήμα, σχηματίζοντας γωνία θ με το μη λείο οριζόντιο επίπεδο, όπου ημθ=0,6. Το άκρο Β είναι δεμένο στο ένα άκρο νήματος, το οποίο αφού περάσει από τροχαλία, στο άλλο του άκρο έχει δεθεί σαν αντίβαρο ένα σώμα Σ βάρους w₁=160Ν, το οποίο στηρίζεται στο ίδιο επίπεδο. Και τα δυο τμήματα του νήματος είναι κατακόρυφα.

i)  Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκεί το επίπεδο στη δοκό και στο σώμα Σ.

ii) Τοποθετούμε ένα δεύτερο σώμα Σ₁, βάρους w₂=100Ν, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο, πάνω στη  δοκό σε ένα σημείο Γ, το οποίο απέχει απόσταση x=(ΓΑ)=0,5m από το άκρο Α, το οποίο ισορροπεί, χωρίς να διαταράσσεται η ισορροπία της δοκού.

α) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ του Σ₁ και της δοκού για την παραπάνω ισορροπία;

β) Να βρείτε ξανά τις  δυνάμεις που ασκεί το οριζόντιο επίπεδο σε δοκό και αντίβαρο Σ.

iii) Ποια είναι η μέγιστη απόσταση (ΔΑ) από το άκρο Α της δοκού, στην οποία μπορούμε να τοποθετήσουμε το σώμα Σ₁, χωρίς να διαταραχθεί η ισορροπία της  δοκού;

iv) Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ του σώματος Σ₁ και της δοκού ήταν μ=0,5 και αφήσουμε το σώμα Σ₁ στην παραπάνω θέση Δ, να υπολογίσετε την τριβή που ασκείται στη δοκό από το οριζόντιο επίπεδο και η οποία εξασφαλίζει την ισορροπία της.

Απάντηση:

ή

Η δοκός και το αντίβαρο

Η δοκός και το αντίβαρο

Αντιστοιχίσεις και μοντέλα.

Έχουμε μια μεγάλη ανοικτή δεξαμενή, στην πλευρική πλευρά της οποίας υπάρχει ένα δωμάτιο το οποίο μπορεί να κλείνεται αεροστεγώς. Σε βάθος h=5m από την επιφάνεια της δεξαμενής υπάρχει μια μικρή οπή εμβαδού Α=2cm², η οποία κλείνεται με μια τάπα, η οποία μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Για την ισορροπία της τάπας και την μη εκροή νερού από την οπή, απαιτείται η άσκηση οριζόντιας δύναμης F, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης F, αν η πίεση στο δωμάτιο είναι ίση με την ατμοσφαιρική p_ατ=10⁵Ρα.

ii) Αυξάνουμε την πίεση στο εσωτερικό του δωματίου στην τιμή p₁=1,5∙10⁵Ν/m². Πόση οριζόντια δύναμη πρέπει να ασκούμε στην τάπα για την ισορροπία της;

iii) Ανοίγουμε το δωμάτιο οπότε η πίεση στο εσωτερικό του, γίνεται ίση με την ατμοσφαιρική. Αφαιρούμε την τάπα. Ποια η ταχύτητα εκροής, μόλις αποκατασταθεί μόνιμη ροή;

iv) Κλείνουμε ξανά την οπή, κλείνουμε και το δωμάτιο και αυξάνουμε την πίεση στο εσωτερικό του στην τιμή p₂=1,18∙10⁵Ρα. Στη συνέχεια αφαιρούμε την τάπα. Να βρεθεί η ταχύτητα εκροής του νερού από την οπή.

v) Ανοίγουμε το δωμάτιο και συνδέουμε ένα μικρό σωλήνα στην οπή, ο οποίος μεταφέρει νερό σε ένα μεγάλο δοχείο όπως  στο σχήμα. Να υπολογιστεί η ταχύτητα εκροής τη στιγμή που το νερό έχει ανέβει στο δοχείο σε ύψος y=1,8m.

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³, οι ροές μόνιμες, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Αντιστοιχίσεις και μοντέλα.

Αντιστοιχίσεις και μοντέλα.

Η τριβή κρατά τη ράβδο.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε μία ράβδο μήκους ℓ = 2 m και μάζας m = 0,48 kg που ισορροπεί με την βοήθεια νήματος το άλλο άκρο του οποίου, καταλήγει μέσω μικρής τροχαλίας ακτίνας R, στο σώμα Σ₁. Το σώμα Σ₁ έχει μάζα m₁ = 2 kg και μόλις που δεν ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο δάπεδο στη θέση αυτή. Το νήμα είναι δεμένο στη ράβδο στο σημείο Δ που απέχει απόσταση d₁ = (ΑΓ) = 0,6 m και σχηματίζει με την ράβδο γωνία έτσι ώστε ημφ = 0,8 και συνφ = 0,6. Να υπολογίσετε:

α. το συντελεστή τριβής μεταξύ οριζοντίου δαπέδου και σώματος Σ₁

β. τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση

Στη συνέχεια μετακινούμε το σώμα Σ₁ πάνω στο οριζόντιο δάπεδο έτσι ώστε η ράβδος τώρα να ισορροπεί σε μία νέα θέση την οποία το νήμα είναι κάθετο στο σημείο Γ.

γ. για την παραπάνω θέση ισορροπίας της ράβδου να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το σώμα Σ₁ στο δάπεδο.

Δίνεται g = 10 m/s².

   

Ξανά το γέμισμα δύο δοχείων

Από μια υπερυψωμένη δεξαμενή νερού, πρόκειται να γεμίσουμε δύο όμοια δοχεία (1) και (2), κυλινδρικού σχήματος και ύψους 2y. Για το γέμισμα χρησιμοποιούμε δυο όμοια λάστιχα-σωλήνες διατομής Α₁, τα οποία συνδέονται κοντά στον πυθμένα της δεξαμενής σε βάθος 4y, από την επιφάνειά της. Κατά τη διάρκεια του γεμίσματος του πρώτου δοχείου, προσέχουμε κάθε στιγμή το άκρο του σωλήνα-λάστιχου να έρχεται σε επαφή με την επιφάνεια του νερού, ενώ στο δεύτερο δοχείο ο σωλήνας καταλήγει στον πυθμένα του δοχείου. Για τις θέσεις του σχήματος, όπου το ύψος του νερού στα δοχεία είναι y:

i) Αν η ταχύτητα εκροής στο (1) δοχείο είναι υ₁ και η αντίστοιχη ταχύτητα στο (2) δοχείο υ₂, ισχύει:

α) υ₁ < υ₂,    β)  υ₁ = υ₂,   γ) υ₁ > υ₂.

ii) Αν το εμβαδόν της βάσης των δοχείων είναι Α, τότε για τις  δύο παροχές ισχύει:

α) Π₁=Α₁∙υ₁ και Π₂=Α∙υ₂.

β) Π₁=Α₁∙υ₁ και Π₂=Α₁∙υ₂.

γ) Π₁=Α∙υ₁ και Π₂=Α∙υ₂.

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό, καθώς και οι ροές μόνιμες και στρωτές και στις δύο περιπτώσεις.

Απάντηση:

ή

 Ξανά το γέμισμα δύο δοχείων
 Ξανά το γέμισμα δύο δοχείων

Εσωτερικές Αλληλεπιδράσεις Νο 1.

Το θέμα του 2013

 

Από το εσωτερικό ενός ομογενούς κυλίνδρου μάζας Μ=0,8kg, ακτίνας R και ύψους h, αφαιρούμε πλήρως ένα ομοαξονικό κύλινδρο μάζας  m, ακτίνας r=R/2 και προκύπτει ένας κοίλος κύλινδρος. Η ροπή αδράνειας του κοίλου κυλίνδρου ως προς τον  άξονά του δίνεται από τη σχέση

.   

Στη συνέχεια λιπαίνουμε  το κυλινδρικό τμήμα που αφαιρέσαμε και το επανατοποθετούμε στη θέση του, ούτως ώστε να εφαρμόζει απόλυτα με τον κοίλο κύλινδρο χωρίς τριβές. Το νέο σύστημα που προκύπτει αφήνεται να κυλίσει χωρίς ολίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας (με επιτάχυνση της βαρύτητας g), σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης θ τέτοιο ώστε ημ(θ)=0.47 και συν(θ)=0.88, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

i)  Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος που προκύπτει είναι:

Συνέχεια

Ένα αυτοκίνητο κινείται.

Ένα αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα προς τα  δεξιά σε οριζόντιο δρόμο και στο σχήμα βλέπουμε τον ένα τροχό του.

i) Αν η ταχύτητα του σημείου Α, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας του, κατευθύνεται στο ψηλότερο σημείο Β του τροχού, τότε:

α) Ο τροχός κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει)

β) Ο τροχός ολισθαίνει.

ii) Το σημείο Γ μιας οριζόντιας ακτίνας του παραπάνω τροχού έχει επιτάχυνση, όπως στο διπλανό σχήμα. Τότε το αυτοκίνητο:

α) Κινείται ευθύγραμμα και ομαλά.

β) Επιταχύνεται.

γ) φρενάρει.

iii) Στη διάρκεια μιας άλλης κίνησης, υπάρχει κάποιο χρονικό διάστημα που το αυτοκίνητο επιταχύνεται αυξάνοντας την ταχύτητά του. Στη διάρκεια αυτή, το σημείο Δ μιας κατακόρυφης ακτίνας του τροχού, έχει επιτάχυνση η οποία κατευθύνεται στο κέντρο Ο του τροχού, όπως στο σχήμα. Ο τροχός του αυτοκινήτου:

α) Κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει)

β) Ολισθαίνει.

γ) σπινάρει.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Για καλύτερη ευκρίνεια στα δύο τελευταία σχήματα, ο τροχός σχεδιάστηκε ως ένας δίσκος…

Απάντηση:

ή

Ένα αυτοκίνητο κινείται.

Ένα αυτοκίνητο κινείται.

ΚΥΛΙΣΗ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΤΦΟΡΜΑΣ Η ΟΠΟΙΑ ΚΙΝΕΙΤΑΙ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ (ΝΕΑ ΕΚΔΟΣΗ)

Στην πλατφόρμα ενός τραίνου που κινείται με σταθερή ταχύτητα u_τ προς τα δεξιά, ηρεμεί κυλινδρικό σώμα ακτίνας r = 40cm. Τη χρονική στιγμή t = 0, ο κύλινδρος αρχίζει να κυλάει προς τα πίσω χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α_γων., όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

 

Αν σε χρονικό διάστημα Δt = t₁ = 40s ο κύλινδρος εγκαταλείπει την πλατφόρμα διαγράφοντας συνολική γωνία φ = 50rad, να υπολογιστούν ως προς δυο ακίνητους παρατηρητές (ο ένας επάνω στην πλατφόρμα και ο άλλος στο έδαφος):

α) η ταχύτητα με την οποία κινείται το τρένο (τη χρονική στιγμή t₁ = 40s το τρένο έχει διαγράψει απόσταση 30m)

β) η γωνιακή επιτάχυνση και η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου

γ) η γωνιακή ταχύτητα και η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου τη στιγμή που εγκαταλείπει τη πλατφόρμα

δ) ο αριθμός των περιστροφών του κυλίνδρου, ως τη στιγμή που εγκαταλείπει την πλατφόρμα

ε) το μήκος της πλατφόρμας του τραίνουστ) να σχεδιαστούν οι γραφικές: ω=f(t), α_γων.=f(t) και θ=f(t), μέχρι τι στιγμή που το κυλινδρικό σώμα εγκαταλείπει την πλατφόρμα.

Απάντηση: