Το ιξώδες και η κίνηση της πλάκας.

Πάνω σε ένα τραπέζι έχει στρωθεί ένα λεπτό στρώμα μηχανέλαιου πάχους ℓ=0,1cm. Μια πλάκα μάζας m₁=0,5kg και εμβαδού Α=0,2m², ηρεμεί πάνω στην γλυκερίνη. Δένουμε την πλάκα με αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσουμε από αβαρή τροχαλία όπως στο σχήμα, στο άλλο του άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ, μάζας m₂= 0,5kg, το οποίο κάποια στιγμή (t=0) αφήνουμε να κινηθεί.

i)  Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ.

ii)  Αν μετά από λίγο, το σώμα Σ αποκτά σταθερή ταχύτητα πτώσης υ=10cm/s, να βρεθεί ο συντελεστής ιξώδους του μηχανέλαιου.

iii) Ποια η επιτάχυνση της πλάκας τη στιγμή που έχει ταχύτητα υ₁=4cm/s, θεωρώντας ότι κάθε στιγμή ισχύει η γνωστή εξίσωση για την τριβή που ασκείται στην πλάκα από το μηχανέλαιο.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Το ιξώδες και η κίνηση της πλάκας.
	Το ιξώδες και η κίνηση της πλάκας.

Ένα στάσιμο κύμα ανάμεσα σε δυο σταθερά σημεία.

Μεταξύ  δύο σταθερών σημείων Τ₁ και Τ₂ βρίσκεται ένα γραμμικό ελαστικό μέσο, μήκους l=3m, στο οποίο έχει δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα. Ένα σημείο Ο του ελαστικού μέσου απέχει κατά 1,3m από το δεξιό άκρο Τ₂ και το λαμβάνουμε ως αρχή ενός συστήματος αξόνων (x,y). Με βάση αυτό το  σύστημα αξόνων,  το στάσιμο κύμα μπορεί να περιγραφεί από μια εξίσωση της μορφής:

y=2 Α∙συν(2πx/λ+φ₀)∙ημ(2πt/Τ+θ₀)  (1)

όπου τη στιγμή t=0, το σημείο Ο βρίσκεται  σε απομάκρυνση y=-0,1m με μηδενική ταχύτητα. Εξάλλου σε χρονικό διάστημα Δt=0,4s το Ο  εκτελεί δυο πλήρης ταλαντώσεις, ενώ η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά μια κοιλία του μέσου έχει μέτρο υ_max=2π m/s.

i)  Να βρεθεί η συχνότητα και το πλάτος ταλάντωσης μιας κοιλίας του μέσου.

ii) Ποιες οι δυνατές τιμές της γωνίας φ₀  που περιλαμβάνεται στην παραπάνω εξίσωση;.

iii) Αν φ₀=π/3 rad να υπολογιστεί η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος κατά μήκος του μέσου αυτού, αν μεταξύ του σημείου Ο και του σημείου πρόσδεσης Τ₂ υπάρχουν δύο σημεία του μέσου που παραμένουν ακίνητα.

iv) Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος.

v)  Να παρασταθούν στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος τις χρονικές στιγμές t₁=0 και t₂=0,125 s, στο ίδιο σύστημα αξόνων.

Απάντηση:

ή

	Ένα στάσιμο κύμα ανάμεσα σε δυο σταθερά σημεία.
	Ένα στάσιμο κύμα ανάμεσα σε δυο σταθερά σημεία.

177. Εξίσωση Torricelli.

Κυλινδρικό κατακόρυφο δοχείο εμβαδού Α₁ περιέχει υγρό πυκνότητας ρ και ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο. Το δοχείο φράσσεται υδατοστεγώς με έμβολο αμελητέας μάζας που μπορεί να κινείται κατακόρυφα χωρίς τριβές. Στην πλευρική επιφάνεια του δοχείου και σε απόσταση Η κάτω από την ελεύθερη οριζόντια επιφάνειά του βρίσκεται στόμιο εμβαδού Α₂ από το οποίο εκρέει το υγρό. Αν ασκήσουμε στο έμβολο κατακόρυφη δύναμη F τότε το υγρό εκρέει με ταχύτητα υ₂, όταν η στάθμη του υγρού απέχει απόσταση h από το στόμιο εκροής.

Να υπολογίσετε:

α) Την ταχύτητα εκροής υ₂ του υγρού

β) το μέτρο του ρυθμού μεταβολής του ύψους της στάθμης του νερού και

γ) το χρόνο για να κατέβει η στάθμη του υγρού κατά H.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.

Συνοπτικήλύση:

Επιφανειακή συμβολή με διαφορετικά πλάτη.

Στην επιφάνεια ενός υγρού υπάρχουν δύο πηγές εγκαρσίων κυμάτων Π₁ και Π₂, οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται ταυτόχρονα με εξισώσεις:

y₁=0,1∙ημ(4πt) και y₂=0,2∙ημ(4πt)  μονάδες στο S.Ι.

Έτσι δημιουργούνται επιφανειακά κύματα, τα οποία θεωρούμε ότι διαδίδονται με σταθερά πλάτη. Ένα σημείο Ο της επιφάνειας, απέχει αποστάσεις r₁=6m και r₂=4m αντίστοιχα από τις δύο πηγές. Το σημείο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή 10/3s.

i)  Να υπολογιστεί το μήκος κύματος και η ταχύτητα των κυμάτων που δημιουργούνται.

ii)  Να βρεθεί η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων που θα υποχρεωθεί να εκτελέσει το σημείο Ο, λόγω συμβολής των κυμάτων.

iii) Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Ο μετά την συμβολή των δύο κυμάτων;

iv)  Να υπολογιστεί ο λόγος Κ₁/Κ₂, όπου Κ₁ η μέγιστη κινητική ενέργεια μιας μάζας m στο σημείο Ο και Κ₂η μέγιστη δυνατή κινητική ενέργεια, που μπορεί να έχει η ίδια μάζα, σε κάποιο άλλο σημείο της επιφάνειας του υγρού.

Απάντηση:

ή

	Επιφανειακή συμβολή με διαφορετικά πλάτη.
	Επιφανειακή συμβολή με διαφορετικά πλάτη.

Επιφανειακή συμβολή.

Στην επιφάνεια ενός υγρού ηρεμούν δύο πηγές Π₁ και Π₂, όπως στο σχήμα (κάτοψη), όπου οι πηγές βρίσκονται σε σημεία δύο κάθετων μεταξύ τους αξόνων x και z, ενώ η πηγή Π₁ απέχει κατά d₁=1,5m από την αρχή Ο των αξόνων. Σε μια στιγμή t=0, οι δύο πηγές τίθενται ταυτόχρονα σε ταλάντωση σε κατακόρυφη διεύθυνση με εξισώσεις y=0,2∙ημ2πt (S.Ι.). Τα κύματα που δημιουργούνται διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού και  δεχόμαστε ότι έχουν σταθερό πλάτος. Τη στιγμή t₁=3s το πρώτο κύμα φτάνει στο σημείο Ο, ενώ το δεύτερο στο σημείο Σ, όπου (ΟΣ)=2m.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος καθώς και η απόσταση (ΟΠ₂) της δεύτερης πηγής από την αρχή Ο των αξόνων.

ii) Να βρεθούν οι απομακρύνσεις και οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Σ και Ο τη στιγμή t₃=4s.

iii) Πόσες ταλαντώσεις εκτελεί το σημείο Ο, μέχρι να φτάσει και το δεύτερο κύμα; Να βρεθεί η εξίσωση ταλάντωσης του Ο μετά τη συμβολή.

iv) Να υπολογιστεί ο λόγος Κ₁/Κ₂ όπου Κ₁ η μέγιστη κινητική ενέργεια μιας στοιχειώδους μάζας m στο σημείο Ο, πριν την συμβολή και Κ₂ η αντίστοιχη μέγιστη κινητική ενέργεια, μετά τη συμβολή.

v) Πόσα σημεία μεταξύ Σ και Ο, πάνω στον άξονα x, ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος;

Απάντηση:

ή

Επιφανειακή συμβολή.

Το κύμα ξέφυγε προς τ’ αριστερά.

Σε γραμμικό ελαστικό μέσο και από τα δεξιά προς τ’ αριστερά (προς την αρνητική κατεύθυνση) διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με στιγμιότυπο τη στιγμή t₀=0, όπως στο πρώτο από τα παραπάνω σχήματα. Το αντίστοιχο στιγμιότυπο τη στιγμή t₁=0,5s είναι όπως στο δεύτερο διάγραμμα.

i) Χρησιμοποιώντας πληροφορίες από τα διαγράμματα αυτά να βρείτε:

α) το πλάτος και το μήκος του κύματος,

β) τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;

iii) Ένα σημείο Κ, βρίσκεται στη θέση x_Κ=1,5m.

α) Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y-t) για το σημείο Κ και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.

β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης του σημείου Κ σε συνάρτηση με το χρόνο.

iv) Να βρείτε τη φάση της απομάκρυνσης  των διαφόρων σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t₁=2,25s, σε συνάρτηση του x και να κάνετε επίσης τη γραφική της παράσταση.

Απάντηση:

ή

Το κύμα ξέφυγε προς τ’ αριστερά.

Εσείς οι από πάνω, προσέχετε τους από κάτω.

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ του παρακάτω σχήματος έχουν μάζες m₁ = 2 kg και m₂ = 0,5 kg, αντίστοιχα είναι ενωμένα μεταξύ τους με αβαρές νήμα μήκους ℓ και αρχικά ισορροπούν. Το σώμα Σ₁ είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο κατα­κόρυφου ιδανικού ελατηρίου (1) σταθεράς k₁, το πάνω άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οροφή. Το σώμα Σ₂ απέχει απόσταση h = 0,175 m από το ελεύθερο άκρο δεύτερου κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου (2) σταθεράς k₂, του οποίου το κάτω άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο στο έδαφος. Εκτρέπουμε το σύστημα των σωμάτων προς τα κάτω και το αφήνουμε να εκτελέσει α.α.τ. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου k₁ είναι U_ελ,1max = 6,25 J, ενώ το νήμα μόλις που δεν χαλαρώνει κατά την διάρκεια της ταλάντωσης των Σ₁ και Σ₂.

α. Να υπολογίσετε τη σταθερά k₁ του ελατηρίου (1).

β. Να κάνετε την γραφική παράσταση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x.

Την στιγμή που το ταλαντούμενο σύστημα των δύο σωμάτων βρίσκεται στο ανώτερο σημείο της ταλάντωσης του κόβουμε το νήμα που τα συνδέει, οπότε το σώμα Σ₂ κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρί­ου (2) και καρφώνεται ακαριαία σε αυτό χωρίς απώλεια ενέργειας. Η μέγιστη παραμόρφωση

    

Οι βασικές εξισώσεις σε ένα τρέχον κύμα.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά (θετική φορά), διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Το κύμα φτάνει τη στιγμή t_ο=0 σε σημείο Ο, όπου η αρχή x=0  του άξονα, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του κινούμενο προς τα πάνω (θετική φορά). Το Ο περνά ξανά από την αρχική θέση ισορροπίας του τη στιγμή t₁=0,5s έχοντας διανύσει διάστημα 0,4m, ενώ τη στιγμή αυτή το κύμα φτάνει σε σημείο Β στη θέση x_Β=1m.

i)  Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

ii) Να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος και για τον θετικό ημιάξονα x τη χρονική στιγμή t₂=1,75s.

iii) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με το χρόνο:

α) της απομάκρυνσης,  β) της ταχύτητας και  γ) της επιτάχυνσης

του σημείου Γ στη θέση x_Γ=3m.

Απάντηση:

ή

Οι βασικές εξισώσεις  σε ένα τρέχον κύμα.

Η ροή στο στένωμα του σωλήνα.

Ένας οριζόντιος κυλινδρικός σωλήνας ακτίνας R₁=8cm κάποια στιγμή παρουσιάζει ένα στένωμα (σχήματος κόλουρου κώνου), μήκους d=0,4m, καταλήγοντας σε δεύτερο κυλινδρικό σωλήνα ακτίνας R₂=4cm. Στο σύστημα έχουμε μια μόνιμη και στρωτή ροή, όπου η ταχύτητα ροής στο σημείο Α είναι υ₁=0,9m/s ενώ η πίεση p₁=8.000Ν/m².

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα ροής καθώς και η πίεση στο σημείο Β του στενού σωλήνα.

ii) Ένα σημείο Γ, βρίσκεται στον άξονα των δύο σωλήνων, στο μέσον του στενώματος, απέχοντας κατά x=0,2m από το τέλος του φαρδιού σωλήνα.

α) Να υπολογισθεί η ταχύτητα ροής στο σημείο Γ.

β) Να βρεθεί η μεταβολή της κινητικής ενέργειας μιας μικρής ποσότητας ρευστού, όγκου 0,2cm³ κατά την μετακίνησή της, από το σημείο Α στο Γ.

γ) Ποια η τιμή της πίεσης στο σημείο Γ;

Το ρευστό θεωρείται ασυμπίεστο και ιδανικό, έχοντας πυκνότητα ρ=1.000kg/m³.

Απάντηση:

ή

	Η ροή στο στένωμα του σωλήνα.

Παίζοντας με μια σύριγγα.

Έχουμε γεμίσει μια κατακόρυφη σύριγγα με νερό, κλείνοντάς την στο κάτω μέρος με έμβολο εμβαδού Α=1cm² και βάρους 0,2Ν, το οποίο δεν παρουσιάζει τριβές με τα τοιχώματα. Το ύψος της στήλης του νερού είναι h=10cm.

i)  Να υπολογιστεί η απαραίτητη δύναμη F που πρέπει να ασκούμε στο έμβολο για την ισορροπία του.

ii) Κλείνουμε με το δάκτυλο το άνω άνοιγμα της σύριγγας, διατομής ίσης με το 1/5 της διατομής του κύριου σωλήνα και αυξάνουμε την τιμή της δύναμης σε F₁=2,2Ν. Πόση δύναμη πρέπει να ασκούμε με το δάκτυλο στο άνοιγμα για να μην έχουμε διαρροή νερού και ποια η πίεση στην πάνω επιφάνεια του εμβόλου;

iii) Κάποια στιγμή (t=0) τραβάμε το δάκτυλο και μεταβάλλοντας κατάλληλα την ασκούμενη δύναμη F στο έμβολο, πετυχαίνουμε το έμβολο να κινείται με σταθερή u=0,1m/s. Με τον τρόπο αυτό το νερό εκτινάσσεται κατακόρυφα προς τα πάνω.

α) Σε πόσο ύψος πάνω από την σύριγγα  θα φτάσει το νερό, αν αγνοήσουμε την αντίσταση του αέρα;

β) Να βρεθεί η πίεση στην πάνω πλευρά του εμβόλου σε συνάρτηση με το χρόνο.

Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=10⁵Ν/m², η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³ και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s². Με το τράβηγμα του δακτύλου, να θεωρείστε ότι αποκαθίσταται, σχεδόν άμεσα, μόνιμη και στρωτή ροή, χωρίς εσωτερικές τριβές ή τριβές του νερού με τα τοιχώματα, ενώ καθ' όλη τη διάρκεια του πειράματος η σύριγγα συγκρατείται σε σταθερή θέση.

Απάντηση:

ή

	Παίζοντας με μια σύριγγα.

Μια στρωτή ροή.

Σε ένα οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής 100cm² έχουμε μια στρωτή ροή νερού. Σε δύο σημεία Β και Γ, τα οποία απέχουν οριζόντια απόσταση x=4m, συνδέονται δυο λεπτοί κατακόρυφοι σωλήνες, στους οποίους το νερό ανέρχεται σε ύψη h₁=40cm και h₂=39,6cm αντίστοιχα, όπως στο διπλανό σχήμα. Κάποια στιγμή, την οποία θεωρούμε t=0, η παροχή του σωλήνα, είναι Π₀=0,2L/s.

i) Να βρεθούν οι ταχύτητες ροής στα σημεία Β και Γ τη στιγμή t=0.

ii) Να υπολογιστούν οι τιμές της πίεσης στα σημεία Β και Γ, καθώς και η διαφορά πίεσης μεταξύ τους.

iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση της ποσότητας του νερού, μεταξύ των σημείων Β και Γ.

iv) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στο σημείο Β τη στιγμή t₁=10s , καθώς και ο όγκος του νερού που εξέρχεται από το δεξιό άκρο του σωλήνα μέχρι τη στιγμή t₁, θεωρώντας σταθερά τα ύψη του νερού στους δύο κατακόρυφους σωλήνες.

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό  ασυμπίεστο ρευστό το οποίο δεν εμφανίζει εσωτερική τριβή ή τριβή με τα τοιχώματα του σωλήνα. Δίνονται επίσης η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=10⁵Ν/m²,  η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³ και g=10m/s².

Απάντηση.

ή

	Μια στρωτή ροή.