Μια περίεργη περιοδική κίνηση σαν σύνθεση ταλαντώσεων.

Ένα σώμα μάζας 0,5kg κινείται με εξίσωση κίνησης:

x= 0,1∙ημ(20πt+5π/3) +  0,1∙ημ(22πt)   (S.Ι.)

i) Να αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί μια περιοδική αλλά όχι αρμονική κίνηση, της οποίας να βρείτε τη συχνότητα.

ii) Να βρεθεί η χρονική στιγμή t₁ που το «πλάτος» μηδενίζεται για πρώτη φορά, καθώς και η στιγμή t₂ που μεγιστοποιείται επίσης για πρώτη φορά.

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t₁=4/3s.

iv) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος την παραπάνω χρονική στιγμή;

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

Μια περίεργη περιοδική κίνηση σαν σύνθεση ταλαντώσεων.

Μούφα λέιζερ

Στον ποδοσφαιρικό  αγώνα  μπαράζ  για το Mουντιάλ της  Βραζιλίας, μεταξύ της Ρουμανίας και της Ελλάδας την στιγμή που ο Μήτρογλου ήταν έτοιμος να σκοράρει ένας πονηρός Ρουμάνος φίλαθλος-φυσικός  προσπάθησε να «τυφλώσει» με  την βοήθεια ενός χειροποίητου «λέιζερ» τον Έλληνα σκόρερ. Το «λέιζερ» ήταν Ρουμάνικης κατασκευής και με βάση τον κατασκευαστή-χρήστη  του είχε τις παρακάτω εξισώσεις  για το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο

Ε=30ημ2π(10¹⁵/3 t-10⁷x/9)   και  B=10^-7συν2π(10¹⁵/3 t-10⁷x/9)   (SI)

α) Οι παραπάνω εξισώσεις εκφράζουν Η/Μ που διαδίδεται στο κενό;

β) Ποιες θα είναι οι εξισώσεις του ηλεκτρικού αλλά και του μαγνητικού πεδίου που θα μετρούσε αν μπορούσε ο Μήτρογλου αν υποθέσουμε ότι είναι αρκετά μακριά από τον Ρουμάνο φίλαθλο.

γ) Θα μπορούσε να «τυφλωθεί» ο Μήτρογλου ;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μια κίνηση και η μελέτη της σαν σύνθετη Ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας 0,2kg κινείται παλινδρομικά γύρω από μια θέση Ο και η εξίσωση κίνησής του είναι:
x= 0,5∙συν(20t) + 0,5√3∙ημ(20t)   μονάδες στο S.Ι.
όπου x η απομάκρυνση από το σημείο Ο.
i) Ν’ αποδειχθεί ότι η κίνηση του σώματος είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου.
ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t₁= π/12 s.
iii) Αν επιπλέον η κίνηση του σώματος είναι ΑΑΤ, να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσής του. Μπορεί η παραπάνω κίνηση να μην είναι ΑΑΤ, αλλά κάποια άλλη κίνηση; Εξηγείστε.

Απάντηση:

ή

Μια κίνηση και η μελέτη της σαν σύνθετη Ταλάντωση.

Τρόποι σύνθεσης εξισώσεων αρμονικών ταλαντώσεων

Τρόποι σύνθεσης εξισώσεων αρμονικών ταλαντώσεων

Ένα διαγώνισμα στις μηχανικές ταλαντώσεις 2013

ΘΕΜΑ Α: Α1) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις Σ(Σωστή) ή Λ(Λάθος)

1)   Η σταθερά D επαναφοράς σώματος, που ταλαντώνεται κρεμασμένο από ένα ελατήριο, είναι ανεξάρτητη της μάζας του .

2)   Η θέση ισορροπίας μιας Α.Α.Τ. είναι και θέση μεγιστοποίησης της επιτάχυνσής του.

3)   Η απομάκρυνση και η επιτάχυνση ενός σώματος που κάνει Α.Α.Τ. είναι αντίθετες σε κάθε θέση.

4)   Στη διάρκεια μιας περιόδου Α.Α.Τ., η κινητική ενέργεια γίνεται διπλάσια της δυναμικής ενέργειας, 4 χρονικές στιγμές.

Στη θέση x=A/2   ισχύει ότι Κ=U_Τ=Ε/2       

Δείτε όλα τα θέματα από εδώ.          

Ζωύφιο και διακρότημα.

Στο σημείο Ο μιας οριζόντιας ελαστικής χορδής μιας αράχνης κοιμάται ένα ζωύφιο. Στο ίδιο σημείο υπάρχουν δύο πηγές αρμονικές κυμάτων που την χρονική στιγμή t=0 ξεκινάνε την κατακόρυφη  ταλάντωσή τους με εξισώσεις ψ₁=0,001ημ2πt και ψ₂=0,001ημ2πt ενώ ταυτόχρονα την ίδια στιγμή ξεκινάνε να απομακρύνονται από το σημείο Ο με οριζόντιες  ταχύτητες  μέτρου  u₁=1m/s  και u₂=3m/s  αντίστοιχα.

Να βρεθούν:

α)  H εξίσωση απομάκρυνσης της ταλάντωσης του ζωυφίου.

β)  Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του ζωυφίου τη στιγμή που οι δύο πηγές απέχουν απόσταση d=80/3  m

Δίνεται η ταχύτητα διαδόσεων του κύματος στην ελαστική χορδή ότι είναι  u=9m/s

AΠΑΝΤΗΣΗ

Το μηδέν και το τετράγωνο

Στο κύκλωμα του σχήματος, ο διακόπτης (δ₁) είναι κλειστός ενώ ο (δ₂) ανοικτός.

Θεωρούμε γνωστές τις τιμές της ΗΕΔ της πηγής Ε, των αντιστάσεων R₁, R₂, του συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου L και της χωρητικότητας του πυκνωτή C.

H συνέχεια σε pdf

Απώλεια ενέργειας σε μια φθίνουσα ταλάντωση

Ένα ελατήριο σταθεράς k=40Ν/m  κρέμεται κατακόρυφα έχοντας φυσικό μήκος l₀=0,5m. Δένουμε στο κάτω άκρο του ένα σώμα μάζας 2kg και το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε αυτό εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, εξαιτίας της αντίστασης του αέρα. Σε μια στιγμή t₁ το σώμα κινείται προς τα κάτω και το ελατήριο έχει μήκος l₁=1,2m. Στη θέση αυτή το σώμα έχει ταχύτητα υ₁= 2m/s ενώ επιβραδύνεται με ρυθμό 4,1m/s². Να βρείτε:

i)  Την μηχανική ενέργεια που μετατράπηκε σε θερμική από 0-t₁.

ii) Τη σταθερά απόσβεσης b.

iii) Την ενέργεια ταλάντωσης τη στιγμή t₁.

iv) Τον ρυθμό με τον οποίο μειώνεται η ενέργεια ταλάντωσης τη στιγμή t₁.

Θεωρείται γνωστό ότι για την ταλάντωση που θα επακολουθήσει D=k και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Απώλεια ενέργειας σε μια φθίνουσα ταλάντωση.

Στιγμιότυπο κύματος

Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα του κύματος:

y=0,2∙ημ2π(t/6-x/2) (S.I)

τις χρονικές στιγμές:

α) t=6 s,

β) t=3 s, 

γ) t=4,5 s,

δ) t=7 s, 

ε) t=2,5 s,

στ) t=4 s,  και

ζ) t=5,5 s.

ΣυνοπτικήΛύση:

Αρμονικό κύμα.

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα xox΄ και περιγράφεται από την εξίσωση y=2∙ημ2π(t/6-x/2+φ0/2π) (S.I).

α) Αν για t=0 η πηγή Ο με x=0, βρίσκεται στο y=0 και έχει ταχύτητα ταλάντωσης v>0 ποια είναι η αρχική φάση του κύματος;

β) Αν όμως για t=0 το κύμα ξεκινώντας από την αρχή Ο (x=0) έχει φτάσει στο σημείο Μ που βρίσκεται στη θέση x=+1m, τότε να βρείτε ποια είναι η αρχική φάση φ₀ του κύματος και να γράψετε την εξίσωσή του, δεδομένου ότι τη στιγμή που φτάνει το κύμα στο σημείο Μ, τότε το εξαναγκάζει να κινηθεί κατακόρυφα προς τα κάτω (v<0). Για πόσο χρόνο ταλαντώνεται τότε η πηγή;

γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₀=0 και τη χρονική στιγμή t₁=Τ/2s.

δ) Πόσο έχει μεταβληθεί η φάση της πηγής Ο από τη χρονική στιγμή t₀=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t₁=Τ/2;

ε) Αν για t=0 η πηγή Ο με x=0, ξεκινά να ταλαντώνεται, με ταχύτητα ταλάντωσης v<0, τότε ποια είναι η αρχική φάση του κύματος; Να γράψετε την καινούργια εξίσωση του κύματος και να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=3,5 s.

Συνοπτική Λύση:

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΙΔIΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

Θεώρημα προβολών.. απεικόνιση όλου του φάσματος φάσεων και άλλα πολλά... 
ΚΛΙΚ ΕΔΩ >>>>>>