Κάτι σαν Torricelli…

Σε ένα δοχείο με μεγάλη διατομή επιφάνειας που περιέχει νερό τοποθετούμε στρώμα λαδιού ύψους h₁=5m. Σε απόσταση h₂=5m από την επιφάνεια του νερού ανοίγουμε μικρή οπή εμβαδού Α=2cm², όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το νερό εξέρχεται σε κλειστό δοχείο πολύ μεγάλου όγκου που περιέχει αέρα σε πίεση P_αερ=1,4P_atm  και η οποία διατηρείται σταθερή μέσω αισθητήρα ο οποίος μπορεί να καθορίζει κάθε χρονική στιγμή την ποσότητα αέρα στο κλειστό δοχείο.

i) Να βρεθεί η πίεση σε σημείο Γ της διαχωριστικής επιφάνειας λαδιού – νερού.

ii) Να βρεθεί η ταχύτητα και η παροχή με την οποία εξέρχεται το νερό στο κλειστό δοχείο, αν η διατομή της ελεύθερης επιφάνειας του δοχείου είναι πολύ μεγάλη συγκριτικά με την οπή.

iii) Αν η διατομή του δοχείου έχει εμβαδόν Α₁=10cm², να υπολογιστεί ξανά η ταχύτητα εκροής του νερού τη στιγμή t=0 που εισέρχεται στο κλειστό δοχείο που περιέχει αέρα, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο κατεβαίνει η πάνω επιφάνεια του λαδιού.

iv) Να βρείτε που θα σταματήσει η ροή στην περίπτωση του ερωτήματος iii).

v) Αν η διατομή της επιφάνειας του δοχείου είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτή της οπής, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ποσότητας mol του αέρα dn/dt που θα πρέπει να εξέρχεται μέσω του αισθητήρα, για να διατηρείται η πίεση στο κλειστό δοχείο σταθερή.

Το αέριο στο κλειστό δοχείο θεωρείται ιδανικό και δεν διαλύεται στο νερό. Ισχύει για αυτό κάθε στιγμή η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων PV=nRT, όπου P η πίεση του αερίου, V ο όγκος του, n ο αριθμός των mol, Τ η θερμοκρασία του και R=8,314J/(mol·K)

Η θερμοκρασία του αερίου είναι σταθερή σε όλη τη διεργασία και ίση με Τ=2500/R K.

Δίνεται P_atm=10⁵Pa, η πυκνότητα του νερού ρ_ν=10³kg/m³, η πυκνότητα του λαδιού ρ_λ=800kg/m³ και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g=10m/s².

Απάντηση