Μια ταλάντωση και μια διπλή τροχαλία

Μια διπλή τροχαλία, αποτελείται από δύο ομόκεντρους ομογενείς δίσκους με ακτίνες r=0,1m και R=0,2m και  μπορεί να στρέφεται γύρω από τον σταθερό οριζόντιο άξονά της. Στην μεγάλη τροχαλία έχουμε τυλίξει ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα, στο άκρο του οποίου μέσω ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m κρέμεται ένα σώμα Σ μάζας m=4kg. Γύρω από την μικρή τροχαλία, έχει τυλιχθεί ένα δεύτερο αβαρές και μη ελαστικό νήμα, το άλλο άκρο του οποίου δένεται σε σταθερό σημείο ενός τοίχου, ώστε το νήμα να είναι οριζόντιο, όπως στο σχήμα, με αποτέλεσμα το σύστημα να ισορροπεί.

i) Να υπολογίσετε την τάση του οριζόντιου νήματος

Εκτρέπουμε το σώμα Σ κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y₁ και για t=0, το αφήνουμε να κινηθεί.

ii) Τι τιμές μπορεί να πάρει η αρχική εκτροπή y₁, ώστε στη συνέχεια να μην μηδενιστεί η τάση του οριζόντιου νήματος.

iii) Αν y₁=0,2m, να αποδείξετε ότι το Σ θα εκτελέσει ΑΑΤ και στη συνέχεια να βρείτε πώς μεταβάλλεται η τάση του οριζόντιου νήματος, σε συνάρτηση με το χρόνο, κάνοντας και τη γραφική της παράσταση.

iv) Κάποια στιγμή t₁ κόβουμε το οριζόντιο νήμα. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας,  του συστήματος τροχαλία-σώμα Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, κάνοντας και τη γραφική της παράσταση, για t>t₁.

v) Αν t₁=14π/15 s, ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της, αμέσως μόλις κόψουμε το νήμα;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μια  ταλάντωση και μια διπλή τροχαλία.