Έργο δύναμης που περιστρέφει και μεταφέρει κύλινδρο

Ομογενής, συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ, ακτίνας R και ροπής αδράνειας I = ½∙Μ∙R², έχει στο μέσο του λεπτό κυκλικό αυλάκι ακτίνας r, παράλληλο προς τις βάσεις του.

Ο κύλινδρος ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο με τον άξονα οριζόντιο και έχουμε τυλίξει στο αυλάκι λεπτό νήμα μήκους ℓ. Κάποια στιγμή ασκούμε στο ελεύθερο άκρο του νήματος σταθερή δύναμη μέτρου F < Mg που η διεύθυνσή της σχηματίζει γωνία φ με το οριζόντιο επίπεδο, ώστε το νήμα να ξετυλίγεται από το κάτω μέρος του κυλίνδρου, όπως στο σχήμα.

A) Να εκφράσετε το έργο της δύναμης F σε συνάρτηση με τη γωνία φ, μέχρι να ξετυλιχτεί όλο το νήμα. Για ποιά τιμή της γωνίας φ μεγιστοποιείται η ενέργεια που προσφέρουμε στον κύλινδρο μέσω του έργου αυτής της δύναμης;

Β) Να υπολογίσετε τη μεταφορική και τη στροφική κινητική ενέργεια που αποκτάει ο κύλινδρος όταν ολοκληρώνεται το ξετύλιγμα του νήματος.

(Να θεωρήσετε ότι μέχρι να ξετυλιχτεί το νήμα και να φύγει από τον κύλινδρο δεν ολισθαίνει πάνω του.)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ