ΖΗΤΗΜΑ 4ο: «Ομοαξονικοί κύλινδροι και κίνηση σε οριζόντιο δάπεδο»

Από ομογενή και συμπαγή κύλινδρο μάζας 4m και ακτίνας 2R αφαιρείται ομοαξονικός κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R. Προκύπτουν έτσι ένας συμπαγής κύλινδρος μάζας m₁ = m, ακτίνας R και ροπής αδράνειας I₁ = ½ mR² και ένας κοίλος μάζας m₂ = 3m, ακτίνων 2R και R και ροπής αδράνειας I₂ = ¹⁵/₂ mR².

Στις δύο βάσεις του μικρού κυλίνδρου είναι κολλημένες λεπτές αβαρείς τροχαλίες ίδιας ακτίνας R στις οποίες έχουμε τυλίξει νήματα μήκους ℓ το καθένα.

Τοποθετούμε τον ένα κύλινδρο μέσα στον άλλο και τους αφήνουμε πάνω σε οριζόντιο δάπεδο με τον άξονά τους οριζόντιο.

Δένουμε τις ελεύθερες άκρες των νημάτων στα άκρα αβαρούς ράβδου, ώστε να μπορούμε να ασκούμε ταυτόχρονα και στα δύο ίσες οριζόντιες δυνάμεις πάνω στο επίπεδο της κάθε τροχαλίας.

Συγκρατούμε αρχικά το σύστημα ακίνητο με τα νήματα τυλιγμένα και στη συνέχεια ασκούμε στα άκρα τους συνολική οριζόντια δύναμη μέτρου F, ώστε τα νήματα να ξετυλίγονται χωρίς να γλιστράνε, από το κάτω μέρος της κάθε τροχαλίας, και ο εξωτερικός κύλινδρος να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο δάπεδο.

Όσο διαρκεί το ξετύλιγμα των νημάτων οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των δύο κυλίνδρων διατηρούνται σταθερές και η συνολική ιδιοστροφορμή του συστήματός τους παραμένει μηδενική.

Τη στιγμή που τα νήματα ξετυλίγονται πλήρως και φεύγουν από τις τροχαλίες, ο κύλινδρος περνάει σε περιοχή όπου το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο.

Ζητούνται:

Α) Να βρεθεί η ταχύτητα υ του κέντρου μάζας του συστήματος των δύο κυλίνδρων τη στιγμή που ξετυλίγονται τα νήματα.

Β) Να βρεθεί η θερμότητα Q που ελευθερώθηκε μέχρι αυτή τη στιγμή.

Γ) Να βρεθεί η θερμότητα Q΄ που ελευθερώνεται μετά το ξετύλιγμα των νημάτων, κατά την κίνηση του συστήματος των δύο κυλίνδρων στο λείο δάπεδο.

Δίνονται:

m = 1kg , R = 0,1m , ℓ = 7,5m , F = 16Ν.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ