Μια σφαίρα ανέρχεται σε κεκλιμένο επίπεδο

Μια ομογενής σφαίρα μάζας m=5kg και ακτίνας R=0,2m ισορροπεί με τη βοήθεια δύναμης σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30^ο με τη βοήθεια δύναμης F0 που ασκείται στο κέντρο μάζας της.

i) Να υπολογιστεί η τιμή του μέτρου της δύναμης F₀ και του μέτρου της στατικής τριβής.

Την χρονική στιγμή t=0 δρα στο κέντρο μάζας της δύναμη μέτρου F=40N, παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο και η σφαίρα αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να υπολογίσετε:

ii) Την επιτάχυνση του κέντρου μάζας της σφαίρας.

iii) Την ελάχιστη τιμή του συντελεστή τριβής ολίσθησης ώστε η σφαίρα να κυλιέται χωρίς να ολισθαίνει.

iv) Θα άλλαζε το πρόβλημα αν η F ασκούταν εφαπτομενικά στο υψηλότερο σημείο της σφαίρας; Να απαντήσετε ποιοτικά.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδο της: I_cm=2/5 mR², το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας |g|=10m/s².

Απάντηση

Ένα σφαιρίδιο χτυπά σε ένα τραχύ τοίχο

Στο διπλανό σχήμα απεικονίζεται ένα σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων, μάζας m σε κάτοψη που κινείται σε οριζόντιο δάπεδο και προσκρούει πλάγια σε ένα μη λείο τοίχο με αποτέλεσμα να εμφανιστούν τριβές μεταξύ του σφαιριδίου και του τοίχου. Αν η γωνία πρόσπτωσης θ₁ είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης θ₂, τότε να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες αιτιολογώντας τις επιλογές σας.

i) Το μέτρο της ποσοστιαίας μεταβολής Π₁% της συνιστώσας της ταχύτητας στον οριζόντιο άξονα x, είναι ίσο με αυτό στον οριζόντιο άξονα y, Π₂%.

ii) Το ποσοστό απώλειας ενέργειας της κρούσης Π% ισούται αριθμητικά με τη ποσοστιαία μεταβολή της συνιστώσας της ταχύτητας στον οριζόντιο άξονα x.

iii) Το ποσοστό απώλειας ενέργειας της κρούσης Π% μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή ίσο αριθμητικά με τη διπλάσια ποσοστιαία μεταβολή Π₂% της συνιστώσας της ταχύτητας στον οριζόντιο άξονα y.

iv) H δύναμη που δέχτηκε το σφαιρίδιο έχει αντίθετη κατεύθυνση από αυτή της ταχύτητας υ₁.

Απάντηση

Ομοαξονικοί κύλινδροι σε κεκλιμένο επίπεδο…

Το στερεό του σχήματος, βάρους w, αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες R και r= ½R  αντίστοιχα. Το στερεό ισορροπεί όπως στο σχήμα σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου ημθ=0,6, ενώ στον δίσκο ακτίνας r έχουμε τυλίξει αβαρές μη εκτατό νήμα και στο άκρο του Α ασκούμε δύναμη F, παράλληλης στο επίπεδο.

i)  Να εξηγήσετε γιατί το κεκλιμένο επίπεδο δεν είναι λείο.

ii) Να σχεδιάστε την τριβή που ασκείται στο στερεό, δικαιολογώντας και την κατεύθυνσή της.

iii) Το μέτρο της δύναμης F είναι ίσο:

α) F=0,8w,    β) F=w,     γ) F=1,2w.  

iv) Αν για τους συντελεστές οριακής στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης ισχύει μ=μ_s=7/8 και κάποια στιγμή αυξήσουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F στην τιμή F=1,5w, τι θα συμβεί με το στερεό:

α) Θα μετακινηθεί προς τα πάνω.

β) Θα περιστραφεί.

γ) Θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Ομοαξονικοί κύλινδροι σε κεκλιμένο επίπεδο…

Ομοαξονικοί κύλινδροι σε κεκλιμένο επίπεδο…

Στήριξη σε δύο λεία κεκλιμένα επίπεδα.

Μια μη ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους ℓ και βάρους w, ισορροπεί σε επαφή με δύο λεία κεκλιμένα επίπεδα, με κλίσεις  θ=30° και φ=60°, σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα. Η ροπή του βάρους της ράβδου, ως προς το κοινό σημείο Ο, της βάσης των δύο επιπέδων, έχει μέτρο:

α) τ=w∙ ¼ ℓ,       β) τ=w∙ 1/3 ℓ,       γ) τ=w∙ ½ ℓ      

Απάντηση:

ή

 Στήριξη σε δύο λεία κεκλιμένα επίπεδα.

 Στήριξη σε δύο λεία κεκλιμένα επίπεδα.

5 Δεύτερα χωρίς Μαθηματικά

1. Τα πεντάλ του ποδηλάτου

Μία συνηθισμένη βίδα έχει διαμορφωμένο σπείρωμα, (στροφές ή βόλτες) ώστε να βιδώνει δεξιόστροφα και να ξεσφίγγει αριστερόστροφα. Στο ποδήλατο το δεξί πεντάλ βιδώνει και ξεβιδώνει όπως μια συνηθισμένη βίδα ενώ το αριστερό πεντάλ σφίγγει αριστερόστροφα και ξεσφίγγει δεξιόστροφα όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

Γιατί νομίζετε ότι κατασκευάζονται έτσι;

Συνέχεια

Μια ράβδος σε δύο κεκλιμένα επίπεδα.

Στο σχήμα βλέπετε δύο κεκλιμένα επίπεδα (1) και (2), με κλίσεις  φ=60° και θ=30° αντίστοιχα. Μια οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΒ βάρους w=100Ν, ισορροπεί σε επαφή με τα δύο επίπεδα.

i)   Μπορούν και τα δύο επίπεδα να είναι λεία ή όχι; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii)  Αν δίνεται ότι το επίπεδο (1) είναι λείο, να βρεθούν:

α)  Η δύναμη που δέχεται η ράβδος στο άκρο της Α από το επίπεδο.

β)  Ο ελάχιστος συντελεστής της οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και επιπέδου (2), για την παραπάνω ισορροπία.

Απάντηση:

ή

 Μια ράβδος σε δύο κεκλιμένα επίπεδα.

Μια ράβδος σε δύο κεκλιμένα επίπεδα.

Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, ό,τι και να συμβεί…

Μια λεπτή οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΒ είναι αρθρωμένη σε κατακόρυφο τοίχο στο άκρο της Α και μέσω νήματος έχει επίσης προσδεθεί στον ίδιο τοίχο, το μέσον της Μ. Στο άκρο της Β κρέμεται μέσω αβαρούς νήματος μήκους l μια σφαίρα μάζας m.

i)  Η κατακόρυφη συνιστώσα F_y, της  δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση στο άκρο της Α:

α) Έχει φορά προς τα πάνω.

β) Έχει φορά προς τα κάτω.

γ) Είναι μηδενική.

ii)  Αν η ράβδος έχει βάρος w και g η επιτάχυνση της βαρύτητας, τότε το μέτρο της παραπάνω συνιστώσας F_y είναι:

α) F_y = w+ mg,    β) F_y = w,    γ) F_y = mg.

iii) Εκτρέπουμε τη σφαίρα από τη θέση ισορροπίας της Γ, φέρνοντάς την στη θέση Δ, η οποία απέχει κατακόρυφα απόσταση h= ½ l από την αρχική θέση Γ, και την αφήνουμε να κινηθεί. Η μέγιστη τιμή του μέτρου της κατακόρυφης συνιστώσας F_y που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση είναι τώρα:

α) F_y = mg,    β) F_y = 2mg,    γ) F_y = 3mg.

Απάντηση:

ή

  Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, ό,τι και να συμβεί…

Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, ό,τι και να συμβεί…

Ένα πλαστικό μπουκάλι με νερό

Στο σχήμα 1 απεικονίζεται ένα πλαστικό κυλινδρικό μπουκάλι αμελητέας μάζας με ακτίνα βάσης r=4cm και εμβαδό βάσης περίπου S=50cm². Ανοίγουμε οπή εμβαδού Α=1cm² στο σημείο Μ στην παράπλευρη επιφάνειά του, σε απόσταση h=5cm από τον πυθμένα του. Κατόπιν το μπουκάλι τοποθετείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρατώντας το με το χέρι μας, το γεμίζουμε με νερό με μια βρύση παροχής Π=√2·10^-4m³/s. Το νερό πέφτει κατακόρυφα στο δοχείο.  

i) Να βρεθούν πόσα λίτρα θα γεμίσει το δοχείο με νερό.

ii) Να βρεθεί η οριζόντια δύναμη που δέχεται το σύστημα μπουκάλι–νερό από την εξερχόμενη μάζα νερού.

iii) Να βρεθεί η οριζόντια δύναμη που πρέπει να ασκεί το χέρι μας στο μπουκάλι προκειμένου αυτό να ισορροπεί από τη στιγμή που σταθεροποιηθεί το ύψος του νερού και μετά. Να θεωρηθεί ότι καθώς εξέρχεται το νερό αποκαθίσταται μόνιμη  ροή αμέσως και λίγο πριν την έξοδο της φλέβας από το δοχείο η ταχύτητά της είναι σχεδόν μηδενική.

iv) Κάποια χρονική στιγμή κλείνουμε τη βρύση και απομακρύνουμε το χέρι μας από το μπουκάλι. Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του μπουκαλιού.

v) Να βρεθεί η δύναμη που δέχεται το σύστημα μπουκάλι–νερό από το δάπεδο καθώς και το σημείο εφαρμογής της, τη στιγμή που απομακρύνεται το χέρι από το δοχείο και η βρύση είναι κλειστή.

Δίνεται |g|=10m/s², P_atm=10⁵Pa, η πυκνότητα του νερού είναι ρ_ν=1000kg/m³.

Η τρύπα στην παράπλευρη επιφάνεια και η δύναμη του χεριού βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο που είναι κατά μήκος μιας διαμέτρου.

Απάντηση

Ο τροχός ενός αυτοκινήτου που επιταχύνεται

Ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με ταχύτητα υ_ο=4m/s, με αποτέλεσμα οι τροχοί του, ακτίνας R=0,5m να κυλίονται. Σε μια στιγμή t₀=0 το αυτοκίνητο επιταχύνεται αποκτώντας σταθερή επιτάχυνση α=1m/s², ενώ οι τροχοί αποκτούν και σταθερή γωνιακή επιτάχυνση, με αποτέλεσμα τη χρονική στιγμή t₁=20s να περιστρέφονται με γωνιακή ταχύτητα ω₁=68rad/s.

i)   Να υπολογιστεί η ταχύτητα του αυτοκινήτου και η απόσταση που διανύει στη διάρκεια της επιταχυνόμενης κίνησής του, μέχρι τη στιγμή t₁.

ii)  Να κάνετε τη γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας των τροχών σε συνάρτηση με το χρόνο και με βάση αυτή να βρείτε:

α) τη γωνιακή επιτάχυνση κάθε τροχού.

β) τη γωνία στροφής του τροχού από 0-20s.

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σημείου επαφής του τροχού με το δρόμο, σημείου Α, τη στιγμή t₁.

iv) Να υπολογιστεί η απόσταση κατά την οποία γλίστρησε το σημείο Α στο χρονικό διάστημα 0-t₁.

Απάντηση:

ή

  Ο τροχός ενός αυτοκινήτου που επιταχύνεται

Ο τροχός ενός αυτοκινήτου που επιταχύνεται

Πόσο ανυψώθηκε;

Η διπλή τροχαλία του σχήματος μάζας Μ=2kg αποτελείται από δύο ομόκεντρους ομογενείς δίσκους με ακτίνες R₁=2R και R₂=R. Οι δύο δίσκοι συνδέονται μεταξύ τους έτσι ώστε να περιστρέφονται ως ένα σώμα χωρίς  τριβές, γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο τους O και είναι κάθετος στο επίπεδό τους. Η τροχαλία στερεώνεται σε τραπέζι στην επιφάνεια του οποίου έχει στρωθεί λεπτό στρώμα μηχανέλαιου πάχους l=1mm, το οποίο συμπεριφέρεται ως νευτώνειο υγρό με συντελεστή ιξώδους n=0,25Pa·s. Πάνω στο λάδι ηρεμεί μια ξύλινη πλάκα Σ₂ μάζας m₂=4kg σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με εμβαδό βάσης A=2000cm². Η πλάκα συνδέεται με την τροχαλία στο αυλάκι του μικρού δίσκου της μέσω μη εκτατού και αβαρούς νήματος, (νήμα 2).  Στο αυλάκι του μεγάλου δίσκου της τροχαλίας είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα, (νήμα 1), στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα Σ₁ μάζας m₁=1kg.

Ανυψώνουμε το σώμα Σ₁ κατά h πάνω από τη θέση που το νήμα είναι τεντωμένο και κάποια στιγμή αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Παρατηρείται ότι μόλις τεντώσει το νήμα 1 τα σώματα Σ₁ και Σ₂ κινούνται με σταθερή ταχύτητα και η τροχαλία στρέφεται ομαλά.

                                           

Να βρεθεί το ύψος h που ανυψώθηκε το σώμα Σ₁.

  

Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας  της διπλής τροχαλίας  περί άξονα που διέρχεται από το Ο υπολογίζεται από τη σχέση Ι_(Ο)=Μ·R², το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας ισούται με |g| = 10 m/s²  και τα νήματα δεν ολισθαίνουν στην τροχαλία.

 Απάντηση

Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας.

Στην οριζόντια επιφάνεια μιας παγωμένης λίμνης κινείται μια οριζόντια ομογενής τετράγωνη πλάκα πλευράς α=1m, χωρίς να μεταβάλλεται η κίνησή της. Σε μια στιγμή t₀=0, η πλάκα βρίσκεται στη θέση που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, ενώ οι ταχύτητες της κορυφής Α και του μέσου Μ της πλευράς ΓΔ, έχουν μέτρα υ₁=1m/s και υ₂=2m/s και κατευθύνσεις όπως στο σχήμα (κάτοψη).

i) Να βρείτε την ταχύτητα του κέντρου Κ της τετράγωνης πλάκας.

ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα της κορυφής Β, την ίδια στιγμή (t₀).

iii) Ποιες οι ταχύτητες της κορυφής Α και του σημείου Μ, τη χρονική στιγμή t₁=4,71s;

Απάντηση:

ή

 Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας.
Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας.