Επαναληπτική άσκηση στο LC.

Στο διπλανό σχήμα οι πυκνωτές έχουν χωρητικότητες  C₁=2μf   και  C₂= 8μf  ενώ το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής  L=0,02H. Οι  πυκνωτές είναι  φορτισμένοι  αρχικά με φορτία q₁=20μC  και   q₂=20√2μC αντίστοιχα.   Μετακινούμε την t=0 το διακόπτη στη θέση Α και το κύκλωμα LC₁ αρχίζει να εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t₁=π/2 10 ^{- 4} sec μετακινούμε ακαριαία το διακόπτη στη θέση Β, χωρίς να δημιουργηθεί σπινθήρας και το κύκλωμα  LC₂ ξεκινά να εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση.

α)να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης του κυκλώματος LC₁ .

β)να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της  ενέργειας του  ιδανικού πηνίου μόλις πριν μετακινήσουμε το διακόπτη στη θέση Β.

γ)να  αιτιολογήσετε αν τη στιγμή που ο διακόπτης μετακινηθεί στη θέση Β ο πυκνωτής C₂ φορτίζεται.

δ)αν θεωρήσουμε ως αρχή έναρξης της ηλεκτρικής ταλάντωσης του 2^ου κυκλώματος τη χρονική στιγμή t=0 , να γράψετε την χρονική  εξίσωση του  φορτίου του πυκνωτή C₂ . Σε πόσο χρόνο από τη στιγμή που μετακινήσαμε τον διακόπτη στη θέση Β μηδενίζεται το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα  LC₂  για 1^η  φορά.

   ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ    ΛΥΣΗ

ΖΗΤΗΜΑ 4: Ράβδος που κρέμεται από διπλή τροχαλία

H τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ = 3 kg, ακτίνα R = 0,2 m, είναι συμπαγής και ομογενής και φέρει ομόκεντρη κυκλική προεξοχή ακτίνας r = ½∙R. Στην περιφέρεια της τροχαλίας και στην κυκλική προεξοχή έχουμε τυλίξει νήματα όπως στο σχήμα (πολλές φορές ώστε να μην ολισθαίνουν), και στα άκρα τους έχουμε στερεώσει ομογενή συμπαγή ράβδο μάζας m = 4 kg που το μήκος της είναι ℓ = R + r.

Η τροχαλία συγκρατείται αρχικά ακίνητη με την επίδραση δύναμης μέτρου F, εφαπτομένης στην περιφέρειά της, ώστε η ράβδος να ισορροπεί σε οριζόντια θέση.

A) Να υπολογίσετε το μέτρο και τη φορά αυτής της δύναμης.

Κάποια στιγμή αφήνουμε την τροχαλία ελεύθερη να κινηθεί.

Τη στιγμή αυτή να βρεθούν:

Β) Οι γωνιακές επιταχύνσεις a και aʹ, της ράβδου και της τροχαλίας αντίστοιχα, καθώς και η επιτάχυνση α του κέντρου μάζας της ράβδου.

Γ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος των δύο σωμάτων, ως προς το σημείο Ο.

(Δίνονται:      I_{(ράβδου)} = ¹/₁₂∙m∙ℓ²      Ιʹ_{(τροχαλίας)} = ½∙Μ∙R²      g = 10 m/s²)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Τα ημισφαίρια του Μαγδεμβούργου

Μία συμπαγής ομογενής σφαίρα μάζας Μ και ακτίνας R = 0,6 m κόβεται στην μέση (σε δύο ημισφαίρια) από τα οποία αφαιρούμε από ένα ημισφαίριο ακτίνας r και μάζας m/2. Στην συνέχεια αφαιρούμε τον αέρα οπότε έχουμε μία κούφια σφαίρα με ροπή αδράνειας Ι₁ = λΜ₁R² (όπου λ θετική σταθερά) και μία μικρότερη σφαίρα με ροπή αδράνειας Ι₂.

Στην μικρή σφαίρα κολλάμε κατά μήκος μιας διαμέτρου δύο λεπτές άκαμπτες αμελητέας μάζας ράβδους και ανοίγουμε δύο μικρές ασήμαντες οπές στην κούφια σφαίρα ώστε να μπορούν να περιστρέφονται ελεύθερα οι ράβδοι χωρίς τριβές όπως στο διπλανό σχήμα. Με ένα μοτεράκι προσαρμοσμένο σε μία από τις δύο ράβδους περιστρέφουμε την εσωτερική σφαίρα, ενώ κρατάμε την εξωτερική. Μόλις η εσωτερική σφαίρα αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω₂ = 32 rad/s αφήνουμε την κούφια σφαίρα ελεύθερη (απομακρύνοντας το μοτεράκι) και μετά από λίγο περιστρέφονται μαζί ως μία ενιαία σφαίρα. Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας εξαιτίας της ροπής των τριβών που αναπτύσσεται από την στιγμή που αφήσαμε την κούφια σφαίρα να περιστραφεί μέχρι την στιγμή που και οι δύο περιστρέφονται μαζί είναι Ε_απ = 17,856 J.

 

 

Ποσοστά μεταφοράς κινητικής ενέργειας.

1) Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται ένα σώμα Α μάζας m με ταχύτητα υ₁ και συγκρούεται με ακίνητο σώμα Β μάζας Μ > m. Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική και κατά την κρούση μεταφέρεται στο σώμα Β το 75% της κινητικής ενέργειας του Α σώματος. 

i) Για τη μάζα του Β σώματος θα ισχύει:

α) Μ=2m,       β) Μ=3m,   γ) Μ=4m,      δ) Μ=5m

ii)  Αν Μ=4m, τότε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του Α σώματος που μεταφέρεται στο ακίνητο σώμα Β θα είναι:

α) 56%,     β)  64%,      γ) 75%,        δ) 84%.

iii) Τι τιμή πρέπει να πάρει η μάζα Μ του σώματος Β, ώστε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που θα μεταφερθεί από το Α σώμα, στο Β, να είναι το ελάχιστο δυνατόν;

2) Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινούνται στην ίδια ευθεία και προς την ίδια κατεύθυνση δυο σώματα Α και Β με μάζες m και Μ και ταχύτητες 2υ και υ αντίστοιχα, όπως στο σχήμα. Τα σώματα συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά. 

i)   Η κινητική ενέργεια του Α σώματος, αυξάνεται, μειώνεται ή παραμένει σταθερή κατά την κρούση;

ii)  Αν m=Μ, ποιο ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του Α σώματος μεταφέρεται στο Β;

iii)  Αν το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του Α σώματος που μεταφέρεται  στο Β σώμα είναι 96%, τότε η σχέση των δύο μαζών είναι:

α) Μ=2m,      β) Μ=3m       γ) Μ=4m.

Απάντηση:

ή

Ποσοστά μεταφοράς κινητικής ενέργειας.

EΝΕΡΓΕΙΑ ΓΙΑ ΚΟΠΗ ΝΗΜΑΤΟΣ

Kατακόρυφο μη ελαστικό νήμα συγκρατεί σώμα μάζας m₁=1Κg ενώ το κατακόρυφο ιδανικό  ελατήριο  σταθεράς Κ=100Ν/m έχει το φυσικό του μήκος και είναι στερεωμένο στο σώμα αλλά και  σε οριζόντιο ταβάνι όπως φαίνεται  στο παρακάτω σχήμα.

  

Την χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε από το έδαφος σφαίρα  μάζας m=1kg  και ακτίνας r= 0,3m με αρχική  κατακόρυφη ταχύτητα  μέτρου u_0cm=6m/s και αρχικής γωνιακής ταχύτητας ω τέτοιου μέτρου ώστε αν η σφαίρα βαλλόταν οριζόντια με την ίδια ταχύτητα μέτρου u_ocm να κυλιόταν αυτόματα  χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο έδαφος. Η σφαίρα αφού διανύσει κατακόρυφη απόσταση ύψους h=1,75m συγκρούεται στιγμιαία  κεντρικά και ελαστικά με το σώμα μάζας m₁.Αν για να κοπεί το νήμα απαιτείται ενέργεια Ε=0,5 J και το νήμα κοπεί στιγμιαία μόλις τεντώσει για πρώτη φορά μετά την κρούση των δύο σωμάτων να βρεθούν:

α)Η χρονική στιγμή που θα κοπεί το νήμα

β)Το πλάτος ταλάντωσης του σώματος m₁ μετά το κόψιμο του νήματος

γ)Ο συνολικός  αριθμός των περιστροφών που θα εκτελέσει η σφαίρα  μέχρι την στιγμή που φτάνει στο έδαφος για πρώτη φορά με την εκτόξευσή της.

Δίνεται το g=10m/s²  √0,35=0,6.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

και σε PDF με την βοήθεια του Βασίλη Δουκατζή 

Η ελαστική κρούση μιας σφαίρας με ράβδο.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί,  σε όρθια θέση, μια ομογενής ράβδος, ενώ μια σφαίρα, μάζας Μ, βρίσκεται σε επαφή μαζί της, ενώ κρέμεται στο άκρο νήματος από σταθερό σημείο Ο. Εκτρέπουμε τη σφαίρα φέρνοντάς την στη θέση Α με το νήμα οριζόντιο, όπως στο σχήμα και την αφήνουμε να κινηθεί. Μετά την ελαστική της κρούση με τη ράβδο, στο μέσον της Κ, η σφαίρα μένει ακίνητη.

i)  Για την μάζα m της ράβδου ισχύει:

α) m < Μ,  β) m=Μ,       γ) m > Μ.

ii)  Να εξετάσετε αν η στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή, ως προς:

α) Το σημείο Ο,     β) Το σημείο Κ.

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά προηγουμένως έχουμε ανεβάσει λίγο το σημείο Ο, με αποτέλεσμα τώρα η σφαίρα να κτυπήσει τη σανίδα στο σημείο Λ, όπως στο σχήμα.

Η ταχύτητα της σφαίρας μετά την ελαστική κρούση της με τη σανίδα:

α) θα είναι μηδενική,  β) θα είναι διάφορη του μηδενός.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Η ελαστική κρούση μιας σφαίρας με ράβδο.

Η ελαστική κρούση μιας σφαίρας με ράβδο.

Οι περιπέτειες μιας ράβδου

Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε μία ράβδο που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρο από το σημείο Ο. Ασκούμε μία δύναμη μέτρου F (ίδια κάθε φορά) έτσι ώστε να είναι συνεχώς οριζόντια, συνεχώς κατακόρυφη και συνεχώς κάθετη στη ράβδο στο άκρο της Α (η ροπή της δύναμης F είναι σε κάθε περίπτωση μεγαλύτερη της ροπής του βάρους).

Η κινητική ενέργεια της ράβδου σε κάθε περίπτωση για μετακίνηση που σχηματίζει γωνία θ = π/5 rad (ημθ = 0,6, συνθ = 0,8) σε σχέση με την αρχική της θέση θα είναι:

α. Κ₁ = Κ₂ = Κ₃               β. Κ₁ > Κ₂ > Κ₃                   γ. Κ₃ > Κ₂ > Κ₁                   δ. Κ₂ > Κ₃ > Κ₁

Επιλέξτε την σωστή απάντηση αιτιολογώντας την.

 

Μερικές «αντιφάσεις» στην ελαστική κρούση.

Κατά την μετωπική ελαστική κρούση έχουμε καταλήξει στις σχέσεις:

Για τις ταχύτητες των δύο υλικών σημείων που συγκρούονται ελαστικά και που το δεύτερο σώμα είναι αρχικά ακίνητο.

Οι τελικές ταχύτητες συνεπώς των δύο σωμάτων, εξαρτώνται καθαρά από τις σχέσεις των μαζών τους.

Αλλά τότε ανάλογα με την σχέση των δύο μαζών, θα έχουμε διαφορετικά «πρακτικά» αποτελέσματα και μερικά από αυτά μπορούν να δημιουργούν «εκπλήξεις»!

Ας ξεκινήσουμε από μια πολύ συχνή περίπτωση:

Παράδειγμα 1^ο:

 Αν υλικό σημείο Α κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ₁=4m/s και συγκρούεται με δεύτερο ακίνητο υλικό σημείο Β.

Να βρεθούν μετά την κρούση:

i) Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων.

ii) Η ορμή κάθε σώματος

iii) Η κινητική του ενέργεια

Στις δυο περιπτώσεις που εμφανίζονται στο παραπάνω σχήμα, όπου στην πρώτη m₁=m και m₂=4m, ενώ στη δεύτερη m₁=4m και m₂=m.

Η συνέχεια σε pdf ή από εδώ.

Πως θα γυρίσει ο αστροναύτης;;

Αστροναύτης απομακρύνεται από διαστημικό σταθμό, λόγω εκροής αέρα που τον ώθησε με ταχύτητα u_cm=0,4m/s και χωρίς να περιστρέφεται. Η συνολική μάζα του είναι M=100kg και στο δεξί χέρι του κρατά ένα σφυρί μάζας m=5kg.
Προκειμένου να επιστρέψει με το πρόσωπο προς τον σταθμό, πετάει το σφυρί, με ταχύτητα  u, παράλληλα και ομόρροπα με την ταχύτητά του u_cm, , κι έτσι επιστρέφει με ταχύτητα V_cm=0,2m/s . Η κίνηση που έκανε με το χέρι του ,προκειμένου να πετάξει το σφυρί, είναι τέτοια ώστε στη διάρκεια της κίνησης, ασκούσε στο σφυρί ,σταθερή  δύναμη  F παράλληλη προς την ταχύτητα u_cm.  Το κέντρο μάζας του συστήματος αστροναύτη-σφυριού απέχει από το σφυρί απόσταση d₁=0,8m  και από το κέντρο μάζας του αστροναύτη  d₂=0,04m. Η ροπή αδράνειας του αστροναύτη, ως προς άξονα από το κεφάλι προς τα πόδια και που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, είναι I_cm=2kg.m²  και δεν μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του πετάγματος του σφυριού. Θεωρείστε το σφυρί ως σημειακό αντικείμενο.    
 1. Υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα ω περιστροφής του αστροναύτη γύρω από το κέντρο μάζας του στη διάρκεια της επιστροφής του, καθώς και την ταχύτητα u που πέταξε το σφυρί.
 2. Υπολογίστε την ενέργεια που δαπάνησε .
 3.  Αν το χρονικό διάστημα για να πετάξει το σφυρί είναι Δt=0,2s,  πόση δύναμη άσκησε στο σφυρί, αν αυτή υποτεθεί ότι είναι σταθερή.
4. Αμέσως μετά το πέταγμα , ανοίγει τα χέρια και τα πόδια του,με σκοπό να μειώσει τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του, με αποτέλεσμα η ροπή αδράνειάς του ως προς το κέντρο μάζας του να γίνει Ι₁=3kg.m².  Πόση ενέργεια δαπάνησε γι’ αυτή του την προσπάθεια.
5.   Αν η χρονική διάρκεια επιστροφής του στο διαστημικό σταθμό είναι  1min , από τη στιγμή που άνοιξε τα χέρια και τα πόδια του, πόσες στροφές θα κάνει μέχρι να επιστρέψει.

συνέχεια σε word
συνέχεια σε pdf

Φτιάξτε απλή άσκηση ελαστικής κρούσης. Μια μαγειρική συνταγή.

Θέλετε να στήσετε εύκολα μια ασκησούλα ελαστικής κρούσης χωρίς κόπο, πράξεις δοκιμές;

Κάτι σαν αυτήν δίπλα;

Θέλετε όμως νούμερα ακέραια, πράξεις που δεν θα ταλαιπωρήσουν ούτε τους μαθητές σας ούτε εσάς στον πίνακα. Θέλετε στήσιμο εύκολο τόσο ώστε να τη στήσετε αμέσως όταν:

-Κύριε κάποιο παράδειγμα ελαστικής κρούσης;

Έχετε λιγότερο από ένα λεπτό οπότε…..

Συνέχεια:

Η άνοδος μιας σφαίρας.

Μια σφαίρα μάζας 1kg κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα κέντρου μάζας υ_cm=6m/s και στην πορεία της συναντά ένα κεκλιμένο επίπεδο, κλίσεως θ=30°, κατά μήκος του οποίου συνεχίζει την κίνησή της. Η κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου έχει εξομαλυνθεί ώστε να μην διαταραχθεί το ομαλό πέρασμά της από το ένα επίπεδο στο άλλο. Αν η προς τα πάνω κίνηση της σφαίρας σταματήσει όταν το κέντρο της Ο ανέβει κατά h=1m, τότε:

i) Να αποδείξετε ότι κατά την άνοδό της στο κεκλιμένο επίπεδο, η σφαίρα δέχεται δύναμη τριβής από το επίπεδο.

ii) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας τη στιγμή που σταματά η άνοδός της στο κεκλιμένο επίπεδο.

iii) Να υπολογιστεί το έργο της ασκούμενης τριβής κατά την άνοδο της σφαίρας.

Για την σφαίρα ως προς μια διάμετρό της Ι=0,4mR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Η άνοδος μιας σφαίρας.