Από ερώτηση μαθητή μου

Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα 2 kg και ακτίνα 10 cm. Συνδέεται με ιδανικό ελατήριο σταθεράς 100 Ν/m. Φέρει αβαθή εγκοπή στην οποία τυλίγεται αβαρές μη εκτατό νήμα. Στην άκρη του νήματος ασκούμε σταθερή δύναμη 10 Ν. Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο.

1. Βρείτε την ταχύτητα του κυλίνδρου όταν αυτός έχει μετατοπιστεί κατά 10 cm.
2. Την στιγμή εκείνη κόβεται το νήμα. Πόσο θα μετατοπιστεί ο κύλινδρος;
3.  Θεωρώντας ως δεδομένο το ότι ο κύλινδρος εκτελεί αρμονική ταλάντωση βρείτε την μέγιστη ταχύτητα και τον χρόνο που απαιτείται ώστε να φτάσει στη θέση πλάτους από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα.

Απάντηση:

Στου Ψηλορείτη την κορφή – 2ο θέμα

Στην κορυφή του βουνού Ψηλορείτης σε ύψος Η πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας , κάθεται ένας ορειβάτης και ξεκουράζεται.

Δυο αεροπλάνα που οι μηχανές τους παράγουν ήχο ίδιας συχνότητας f,  κινούνται στην ίδια ευθεία με ίσες σταθερές ταχύτητες  και πετούνε στο ίδιο ύψος h = 2Η√3  πάνω από την κρυφή αυτή ,  έτσι ώστε το ένα  να την πλησιάζει και το άλλο να απομακρύνεται.

Οι ήχοι που εκπέμπονται όταν τα αεροπλάνα ισαπέχουν από τον ορειβάτη προκαλούν στ’ αυτιά του ύστερα από χρόνο Δt = 4Η/υ διακροτήματα συχνότητας 8f/15 , όπου υ η ταχύτητα του ήχου στον αέρα της περιοχής που θεωρείται ακίνητος.

 Η ταχύτητα του κάθε αεροπλάνου είναι

α. υ/2 , β. υ/4 , γ. υ/3

Δίνεται  1156 ^½ =34.

Η απάντηση  

...και το τραγούδι

Κινητική ενέργεια τροχού.

Ένας ομογενής τροχός κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και στο σχήμα έχουμε πέντε διαφορετικούς τρόπους κίνησης. Στα παρακάτω σχήματα έχουν σχεδιαστεί οι ταχύτητες δύο σημείων του τροχού. Του ανώτερου σημείου Σ και του κατώτερου σημείου Ρ του τροχού. Η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο του σχήματος που περνά από το κέντρο Ο του τροχού είναι Ι= ½ mR².

Να αντιστοιχίσετε τις παραπάνω κινήσεις με την σχέση υπολογισμού της κινητικής ενέργειας του τροχού, του παρακάτω πίνακα, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας (περισσεύει μια σχέση).

 Απάντηση:

ή

Κινητική ενέργεια τροχού.

Πού θα γίνει η κρούση

Λείος κύβος  ακμής α=2R= 0,4m και μάζας Μ₁=3Κg είναι δεμένος με ιδανικό ελατήριο φυσικού μήκους L₀=0,5 m και σταθεράς Κ=300π²Ν/m η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο σε κατακόρυφο τοίχο. Λεία σφαίρα ακτίνας R=0,2m  και μάζας Μ₂=3Κg  είναι ακίνητη στην άλλη άκρη του οριζόντιο λείου δαπέδου και σε επαφή με κατακόρυφο τοίχο όπως στο παρακάτω σχήμα

Συσπειρώνουμε το ελατήριο κατά x₁=0,1 m και την στιγμή t=0 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο ενώ την ίδια στιγμή δίνουμε στο κέντρο μάζας της σφαίρας  ταχύτητα μέτρου u_cm=π√3 m/s  έτσι ώστε να αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πλησιάζοντας τον κύβο. Η κρούση των δύο στερεών είναι κεντρική και ελαστική και διαρκεί ελάχιστο χρόνο  όπως επίσης και η κάθε κρούση της σφαίρας με τον κατακόρυφο τοίχο. Αν η κρούση των δύο στερεών  συμβεί σε τέτοια θέση όπου ο κύβος φτάνει για πρώτη φορά μετά την στιγμή t=0 και μετά την κρούση τους ο κύβος   εκτελεί ταλάντωση με το μέγιστο δυνατό πλάτος να βρεθούν:

A) To oριζόντιο μήκος του δωματίου

Β) Το είδος της κίνησης του κάθε σώματος ξεχωριστά και να βρεθεί η περίοδος του  φαινομένου

Γ) Η γραφική παράσταση του μέτρου της ταχύτητας του ανώτερου σημείου της σφαίρας.

AΠΑΝΤΗΣΗ

ΘΕΜΑ 4ο Ένα στερεό και μια ταλάντωση.

Στερεό Ρ μάζας Μ=8Kg αποτελείται από ομόκεντρους ομογενείς δίσκους δ και Δ, με ακτίνες r και R=2r αντίστοιχα, στις περιφέρειες των οποίων έχουν τυλιχθεί πολλές φόρες αβαρή μη εκτατά νήματα. Η ροπή αδρανείας του στέρεου Ρ ως προς κάθετο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του είναι Ι=Mr².

Υλικό σημείο Σ μάζας m=1Kg είναι κολλημένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=100N/m, το κάτω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο. Ο άξονας του ελατηρίου διέρχεται από το κέντρο του στερεού Ρ.  Το κατώτατο σημείο Α του στερεού Ρ έχει δεθεί μέσω αβαρούς νήματος με το υλικό σημείο Σ.

Α. Το νήμα του δίσκου δ έχει δεθεί σε οροφή, ενώ αυτό του δίσκου Δ έλκεται από κατακόρυφη δύναμη F ώστε η διάταξη να ισορροπεί, όπως φαίνεται στο σχήμα, με τα νήματα κατακόρυφα και τεντωμένα και το ελατήριο στο φυσικό του μήκος. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F.

Β. Τη χρονική στιγμή t₀=0 κόβουμε το νήμα ΑΣ.

Β1. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση απομάκρυνσης ταλάντωσης του υλικού σημείου Σ, θεωρώντας την αρχική απομάκρυνση  θετική.

Β2. Να υπολογίστε τη μεταφορική επιτάχυνση του στερεού P. Τα νήματα δε γλιστρούν στις περιφέρειες των δίσκων.

Γ. Να βρείτε τη χρονική στιγμή που κινητική ενέργεια του στερεού Ρ ισούται με την ενέργεια ταλάντωσης του υλικού σημείου Σ.

Όλες οι κινήσεις γίνονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα. 

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

Μία σύνθεση ταλαντώσεων

Ένα σώμα μάζας m=0,2kg εκτελεί μία α.α.τ. της οποίας η απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων απομάκρυνσης δύο άλλων απλών αρμονικών ταλαντώσεων με x1=(1/2)ημ(20t+φο1)(S.I.) και x2=((3^1/2)/2)ημ(20t+2π/3)(S.I.)

Το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα είναι Α=1m.

α. Να υπολογίσετε την αρχική φάση φ_ο,1 της αρμονικής ταλάντωσης με εξίσωση x₁=f(t), διακρίνοντας δύο περιπτώσεις.

β. Να γράψετε της εξίσωση της ταχύτητας της σύνθετης ταλάντωσης σε συνάρτηση με τον χρόνο, εάν _φο2>φο1.

γ. Να βρείτε ποια χρονική στιγμή το έργο της δύναμης επαναφοράς είναι για 1^η φορά μετά την t=0 ίσο με W_ΣFεπ=+E/4, όπου Ε η ενέργεια της σύνθετης ταλάντωσης.

δ. Όταν το σώμα διέρχεται από την θέση x=+0,5m απομακρυνόμενο την θέση ισορροπίας του, να υπολογίσετε:

δ₁) τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του

δ₂) τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής του ενέργειας

δ₃) τον χωρικό ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης .

Λύση:

Ποια η θέση της κρούσης;

Το σώμα Σ είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου, το οποίο έχει συμπιέσει κατά d, με τη βοήθεια νήματος, όπως στο σχήμα.  Σε μια στιγμή t₀=0, κόβουμε το νήμα, οπότε το σώμα Σ κινούμενο προς τα δεξιά  συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ένα δεύτερο σώμα Σ₁, το οποίο ήταν αρχικά ακίνητο. Μετά την κρούση το σώμα Σ παραμένει ακίνητο στο σημείο της κρούσης. Το επίπεδο είναι λείο και τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία.

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.

i) Τα δυο σώματα έχουν ίσες μάζες.

ii) Η κρούση έγινε τη χρονική στιγμή t₁=Τ/4, όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης του σώματος Σ.

iii) Η κινητική ενέργεια που αποκτά το σώμα Σ₁ είναι ίση με mπ²d²/8t₁², όπου m η μάζα του.

Απάντηση:

ή

Ποια η θέση της κρούσης;

Σχέσεις μαζών , υψών – ελαστική κρούση – 2ο θέμα

Η σφαίρα Σ₁ του σχήματος μάζας m₁ ,  αφήνεται ελεύθερη από ύψος H,   και στη συνέχεια συγκρούεται κεντρικά ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ₂ μάζας m₂. Μετά την κρούση οι σφαίρες ανέρχονται και σταματούν στιγμιαία η κάθε μια , στο ίδιο ύψος  h από το σημείο που έγινε η κρούση.

Οι σφαίρες,  κρέμονται από αβαρή μη εκτατά νήματα ίσου μήκους στερεωμένα στα πάνω άκρα τους. Τριβές κατά τις κινήσεις δεν υπάρχουν και οι σφαίρες θεωρούνται σημειακές.

Α . Ποια από τις παρακάτω σχέσεις  για τις μάζες των σφαιρών είναι σωστή;

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

α. m₂ = m₁ , β. m₂ = 2m₁ , γ. m₂=3m₁

B . Ποια από τις παρακάτω σχέσεις  μεταξύ των υψών  είναι σωστή;

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

α. h = H/4 , β. h = H/2 , γ. h = H/3

Απάντηση

Μια κρούση και δυο «κρούσεις»…

Τα σώματα Α,Β και Γ του σχήματος έχουν ίσες μάζες και ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ τα σώματα Β και Γ είναι δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου. Κτυπώντας στιγμιαία το σώμα Α, του προσδίδουμε ταχύτητα υ πάνω στον άξονα του ελατηρίου, οπότε μετά από λίγο συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το Β.

Να εξετάσετε την ορθότητα ή μη των προτάσεων, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.

i)  Μετά την κρούση το σώμα Α θα παραμείνει ακίνητο.

ii) Η μέγιστη δυναμική ενέργεια που θα αποκτήσει το ελατήριο, θα είναι ίση με το 75% της αρχικής κινητικής ενέργειας του Α σώματος.

iii) Κάποια στιγμή του σώμα Γ, θα αποκτήσει το 100% της αρχικής κινητικής ενέργειας του Α σώματος.

Απάντηση:

ή

Μια κρούση και δυο «κρούσεις»…

Ένας πίνακας για θέμα Β.

Ένας  ομογενής και ισοπαχής δακτύλιος έχει όλη του τη μάζα στην περιφέρεια με ασήμαντο πάχος σε σχέση με τις διαστάσεις του. Ο δακτύλιος αφήνεται κάποια στιγμή ελεύθερος σε σημείο Α κεκλιμένου επιπέδου και κατεβαίνει προς τη βάση του  εκτελώντας κύλιση χωρίς ολίσθηση, παραμένοντας συνεχώς στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο όπως στο σχήμα.

Στον πίνακα κάθε οριζόντια τριάδα δίνει τη δυναμική ενέργεια λόγω του πεδίου βαρύτητας, την κινητική ενέργεια μεταφορικής και την κινητική ενέργεια περιστροφικής κίνησης γύρω από νοητό άξονα στο κέντρο του δακτυλίου. Να συμπληρώσετε τα κενά του 

Σημείο	Uβαρ. (J)	Kμτφ. (J)	Kστρ. (J)
A
B	40	40
Γ	0

Απάντηση

·         ·         Η ροπή αδράνειας του δακτυλίου ως προς νοητό άξονα στο κέντρο του, κάθετο στο επίπεδό      του, υπολογίζεται I = m₁R² + m₂R² + m₃R² + ….. = MR², όπου M η μάζα και R η ακτίνα του.γίζεται I = m₁R² + m₂R² + m₃R² + ….. = MR², όπου M η μάζα και R η ακτίνα του.

·        ·         Ένα στερεό σώμα όταν κυλίεται χωρίς ολίσθηση, έχει σταθερό πηλίκο κινητικών ενεργειών, λόγω μεταφοράς και λόγω περιστροφής, ο οποίος καθορίζεται από τη ροπή αδράνειάς του, ως προς τον άξονα περιστροφής:

                                                                                                                   Κμτφ/Κστρ = mR²/I

·         Στην περίπτωση του δακτυλίου αυτός ο λόγος είναι ίσος με τη μονάδα. Έτσι σε κάθε θέση οι δύο κινητικές ενέργειες είναι ίσες.

·         Στην κύλιση χωρίς ολίσθηση του δακτυλίου εμφανίζεται στατική τριβή με συνολικό έργο  μηδέν

(dW_T = -Tdx + TRdθ = 0)

Δηλαδή έργο εκτελείται μόνο από τη συντηρητική δύναμη του βάρους και γι αυτό ισχύει η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Άρα στη θέση Β και η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής είναι 40 J ίση με την κινητική λόγω μεταφοράς στη θέση αυτή και η μηχανική ενέργεια 120 J. Άρα σε κάθε θέση η μηχανική ενέργεια 120 J.

Οπότε συμπληρώνουμε τον πίνακα:

Σημείο	Uβαρ. (J)	Kμτφ. (J)	Kστρ. (J)
A	120	0	0
B	40	40	40
Γ	0	60	60