Εξασκούμαι με τη δυναμική της ταλάντωσης.

Ένα σώμα μάζας 2kg είναι δεμένο στα άκρα δύο κατακόρυφων ελατηρίων, όπως στο σχήμα και ισορροπεί, έχοντας επιμηκύνει το πάνω ελατήριο κατά 10cm. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά 20cm και το αφήνουμε να κινηθεί, τη στιγμή t=0. Αν δίνονται οι σταθερές των ελατηρίων k₁=200Ν/m και k₂=600Ν/m, ενώ g=10m/s², ζητούνται;

i)  Να αποδειχθεί ότι το σώμα θα εκτελέσει ΑΑΤ και να υπολογιστεί η περίοδος ταλάντωσης.

ii)  Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση θετική.

iii) Να υπολογιστεί ο ρυθμός με τον οποίο το κάτω ελατήριο προσφέρει ενέργεια στο σώμα τη χρονική στιγμή t₁=7π/80 s.

Απάντηση:

ή

Εξασκούμαι με τη δυναμική της ταλάντωσης

Ταλάντωση και ρυθμός μεταβολής της ορμής.

Ένα υλικό σημείο, μάζας m=0,2kg, εκτελεί ΑΑΤ και η εξίσωση της ταχύτητάς του είναι υ=2συν(5t+π/3)  (μονάδες στο S.Ι.).

i)  Να βρεθεί ποιες χρονικές στιγμές το σώμα περνά για πρώτη και δεύτερη φορά από την θέση x= -0,2m.

ii) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος τις παραπάνω χρονικές στιγμές.

Απάντηση:

ή
Ταλάντωση και ρυθμός μεταβολής της ορμής

Πλαστική κρούση - Ταλάντωση - Χάσιμο επαφής

Δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁=3kg και m₂=4kg είναι δεμένα στα άκρα κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, έτσι ώστε το Σ₂ να ακουμπά στο έδαφος και το Σ₁ να ισορροπεί ακίνητο στο πάνω άκρο του ελατηρίου. Τρίτο σώμα Σ μάζας m=1kg αφήνεται από ύψος h, στην διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, πάνω από το σώμα Σ₁ στην με το οποίο συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά. Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται ταλαντώνεται με χρονική εξίσωση απομάκρυνσης της μορφής x=Aημ[ωt+(5π/6)] θεωρώντας ως t=0 την στιγμή αμέσως μετά την κρούση και θετική την φορά προς τα πάνω. Αν το μέτρο της δύναμης  του ελατηρίου μεγιστοποιείται για 1^η φορά μετά την κρούση την χρονική στιγμή t1=(2π/15)s , να υπολογιστούν:

α.  η περίοδος ταλάντωσης Τ του συσσωματώματος.

β.  η σταθερά k του ελατηρίου και το πλάτος A της ταλάντωσης.

γ.  το ύψος h από το οποίο αφήνεται το σώμα.

δ. η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της δύναμης που ασκείται στο σώμα Σ₂ από το οριζόντιο επίπεδο κατά την διάρκεια ταλάντωσης του συσσωματώματος.

ε.  το μέγιστο ύψος h από το οποίο μπορεί να αφεθεί το σώμα Σ χωρίς να χάσει την επαφή του με το οριζόντιο επίπεδο το σώμα Σ₂ κατά την ταλάντωση του συσσωματώματος που θα δημιουργηθεί.

Δίνεται g=10m/s². Θεωρήστε αμελητέα τη χρονική διάρκεια της κρούσης καθώς και της πάσης φύσεως τριβές  κατά την κίνηση των σωμάτων.

Λύση:

Σε πόση απόσταση και σε πόσο χρόνο;

Δυο κατακόρυφα ελατήρια σταθερών k₁=200/3Ν/m και k₂=200Ν/m, βρίσκονται όπως στο πρώτο σχήμα, με τον άξονά τους στην ίδια ευθεία και τα ελεύθερα άκρα τους να απέχουν κατά d=0,3m. Σε μια στιγμή δένουμε στο κάτω άκρο του πάνω ελατηρίου, μια λεπτή πλάκα μάζας Μ=2kg και την αφήνουμε να κινηθεί. Μόλις η πλάκα έρθει σε επαφή με το κάτω ελατήριο, το πάνω αποσυνδέεται, οπότε η πλάκα ταλαντώνεται πλέον στο πάνω άκρο του κάτω ελατηρίου.

i) Πόση συνολικά απόσταση διανύει η πλάκα κινούμενη προς τα κάτω;

ii) Πόσο χρόνο διαρκεί η προς τα κάτω κίνηση της πλάκας;

Δίνεται ότι η κίνηση ενός σώματος στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου είναι ΑΑΤ και  g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Σε πόση απόσταση και σε πόσο χρόνο

42. ΚΥΚΛΩΜΑ E-R-L-C

Α)Στο κύκλωμα του διπλανού σχήματος δίνονται:
Ε=3V, R=10Ω, L=10^-2H και C=10^-4F.
Κάποια χρονική στιγμή μεταφέρουμε το διακόπτη στη θέση (1).
Να βρείτε:
α) Την τελική τιμή Ι₀ της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος στο κύκλωμα.
β) Το ρυθμό μεταβολής , της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος  στο πηνίο τη στιγμή t₁, που αυτή γίνεται ίση με i=Ι₀/2
γ) το ρυθμό με τον οποίο αποθηκεύεται ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου τη στιγμή t₁.
Β) Τη χρονική στιγμή t₀=0 που ένταση του ρεύματος γίνεται i=Ι₀/2, μεταφέρουμε ακαριαία το διακόπτη στη θέση (2).
Να βρείτε:
α) Το ρυθμό μεταβολής της έντασης  στο πηνίο εκείνη τη στιγμή.
β) Την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος τη χρονική στιγμή t₂, που ο ρυθμός μεταβολής της , γίνεται ίσος με αυτόν που υπολογίσατε τη χρονική στιγμή t₁.
γ) Το ρυθμό μεταβολής της ενέργειας στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου τη χρονική στιγμή t₂.

Συνοπτική λύση:

Ταλάντωση με σφαίρα που περιστρέφεται

Στο πάνω μέρος κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθερά Κ=100Ν/m δένουμε ένα  λείο κύβο μάζας Μ=1Κgκαι το σύστημα ισορροπεί κατακόρυφα. Δίνουμε σε μία  λεία σφαίρα μάζας m=3Κg και ακτίνας R= 0,1m αρχική γωνιακή ταχύτητα ω₀=10r/s έτσι ώστε το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας να είναι παράλληλο με το έδαφος και τη στιγμή t=0 αφήνουμε τη σφαίρα πάνω στο σώμα μάζας Μ έτσι ώστε το κέντρο της σφαίρας  να βρίσκεται πάνω στην κατακόρυφη που περνά από τον άξονα του ελατηρίου όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

 Να βρεθούν:

A)Το είδος της κίνησης της σφαίρας

Β)Η μέγιστη δύναμη που θα ασκεί το ελατήριο στον κύβο στην διάρκεια της κίνησης του συστήματος

Γ)Η μέγιστη κινητική ενέργεια του συστήματος

Δ)Η  εξίσωση του μέτρου της ταχύτητας του ανώτερου σημείου της σφαίρας καθώς και των  σημείων που βρίσκονται στην επιφάνεια της σφαίρας και απέχουν  από το πάνω μέρος του κύβου απόσταση R σε συνάρτηση με το χρόνο.

Για την σφαίρα δίνεται Ιcm=0,4mR².

Aπάντηση:

41. Ταλάντωση αποχωρισμός και ανύψωση

Τα σώματα Σ₁, Σ₂ και Σ₃ του σχήματος έχουν μάζες m₁=2Kg, m₂=1Kg και m₃=0,5Kg αντίστοιχα.
Τα Σ₁ και Σ₂ είναι δεμένα στα άκρα του κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=150N/m. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί.
Να βρείτε:
α) Ποια είναι η μέγιστη δύναμη F που μπορούμε να ασκήσουμε ώστε να μην αποχωριστούν τα Σ₂ και Σ₃ αλλά ούτε και να ανυψωθεί το Σ₁ από το έδαφος;
β) Για ποια τιμή της δύναμης F αποκολλάται το Σ₁ από το έδαφος;
γ) Αν ρίξουμε κόλλα ανάμεσα στα Σ₂ και Σ₃, τότε τι τιμή πρέπει να έχει η η δύναμη F_κ που ασκεί η κόλλα στα δυο σώματα, ώστε τη στιγμή που το Σ₁ μόλις ανυψώνεται από το έδαφος να  αποχωρίζεται και το σώμα Σ₃ από το Σ₂;
 Δίνεται g=10m/s² .

Συνοπτική λύση:

Χρόνος και απλή αρμονική ταλάντωση

Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α και περίοδο Τ. Το σώμα σε δύο πλήρεις ταλαντώσεις διανύει διάστημα ίσο με 1,6 m και τη χρονική στιγμή t=0 διέρχεται από μια θέση του θετικού ημιάξονα που απέχει εξίσου από τη θέση ισορροπίας και την ακραία θέση, με θετική ταχύτητα. Το σώμα επίσης εκτελεί 10 ταλαντώσεις σε χρόνο ίσο με t=2 s.

1.  Να γραφούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της    επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο.

2.    Να βρείτε τη χρονική στιγμή t₁ που το σώμα περνά για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας καθώς και το διάστημα που έχει κάνει από τη στιγμή t=0 ως τη στιγμή t₂=2t₁.

3.    Να βρείτε τις δυο πρώτες χρονικές στιγμές που η ταχύτητα του σώματος είναι υ=1/2 υ_max καθώς και το λόγο των επιταχύνσεων α₁/α₂ όπου α₁ και α₂ οι αντίστοιχες επιταχύνσεις στις παραπάνω χρονικές στιγμές.

4.    Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t=Δt₁/Δt₂, όπου

Δt₁ είναι ο ελάχιστος χρόνος που χρειάζεται το σώμα για να πάει από τη θέση ισορροπίας στη θέση x₁=+Α/2 και Δt₂ ο ελάχιστος χρόνος που χρειάζεται για να πάει από τη θέση x₁=+Α/2 στη θέση x₂=+Α.

5.    Να βρείτε το ελάχιστο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να πάει το σώμα από τη θέση x₁=0,1 m στη θέση x₂=-0,1√3m.

6.    Να βρείτε το ελάχιστο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να πάει το σώμα από τη θέση Κ όπου α_κ= ½ α_max√3 στη θέση Λ όπου α_Λ= - ½ α_max√2.

7.    Να βρείτε το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να πάει το σώμα από τη θέση x₁=0,1 m με υ<0 x="x">₂=-0,1√2m για τρίτη φορά.

8.    Να βρείτε το χρονικό διάστημα σε χρόνο μιας περιόδου που το σώμα απέχει από τη θέση ισορροπίας περισσότερο από 0,1√3 m.

9.    Να βρείτε το χρονικό διάστημα σε χρόνο μιας περιόδου που το μέτρο

     της ταχύτητας είναι μεγαλύτερο από υ_max/2 και μικρότερο από ½ υ_max√3.

Απάντηση

Γραφικές παραστάσεις με αρχική φάση

Με αφορμή μια παλιότερη ανάρτηση του Κωστα Παρασύρη παραθέτω μια εργασια με γραφικές παραστάσεις με αρχική φάση.

-----------------------------------------

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να γίνει η γραφική παράσταση της της απομάκρυσης συναρτήσει του χρόνου της απλής αρμονικής ταλάντωσης υλικού σημείου που περιγράφεται απο την εξίσωση απομάκρυνσης x=Aημ(ωt+).

Βήμα 1:  Σχεδιάζουμε το στρεφόμενο της απομάκρυνσης τη χρονική στιγμή

                 t=0. Βρίσκουμε την αρχική θέση του σώματος ως εξής:

Με βάση το στρεφόμενο και με τη βοήθεια του σχεδιάζουμε τους άξονες. Παρατηρούμε αν η προ-                βολή του στρεφόμενου «ανεβαίνει» ή «κατεβαίνει». Την ίδια ακριβώς πορεία θα ακολουθήσει και η γραφική παράσταση.

 

Η συνέχεια...

40. Ταλάντωση και «κόλλα»

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ του σχήματος έχουν μάζες Μ=3Kg και m=1Kg αντίστοιχα. Κολλάμε τα δυο σώματα, με μια κόλλα που ασκεί σταθερή ελκτική δύναμη F=20N. Το Σ₁ είναι δεμένο στην άκρη του ελατηρίου σταθεράς Κ=400N/m. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί. Μετακινούμε τα σώματα ώστε το ελατήριο να συσπειρωθεί επιπλέον κατά A=ΔL=0,5m και στη συνέχεια τα αφήνουμε ελεύθερα. Να βρείτε:

α) Το ελάχιστο πλάτος ταλάντωσης Α_min, για το οποίο θα αποχωριστεί το Σ₂ από το Σ₁. Σε ποια θέση αποχωρίζονται τα δυο σώματα; Πόσο είναι το έργο της δύναμης F, μέχρι τη στιγμή του αποχωρισμού;

β) πως μεταβάλλεται με το χρόνο και μέχρι να αποχωριστούν τα Σ₁ και Σ₂, η κάθετη αντίδραση ανάμεσα στις δυο μάζες, αν για t=0 είναι x=0 και υ>0,

γ) πόση είναι η κάθετη αντίδραση ανάμεσα στις δυο επιφάνειες για x= -Α/2;

δ) πως μεταβάλλεται με το χρόνο η επιτάχυνση του Σ₂;

ε) την κινητική ενέργεια του Σ₂ αμέσως μετά τον αποχωρισμό καθώς και την ενέργεια της ταλάντωσης που εκτελεί το Σ₁ αφού αποχωριστεί από το Σ₂,

στ) αν θέλουμε τα σώματα να αποχωριστούν στο μισό της απομάκρυνσης που βρήκαμε στο ερώτημα (α) τότε τι τιμή πρέπει να έχει η σταθερά K, του ελατηρίου;

Αν ω και ω΄ είναι οι γωνιακές συχνότητες των Σ₁+Σ₂ στο ερώτημα (α) και στο ερώτημα (στ), να βρείτε το λόγο .

Δίνεται g=10m/s² .

Συνοπτική λύση: