Ένα μονωμένο σύστημα με ένα ελατήριο.

Ένα σώμα Α μάζα m₁=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ₁=14m/s και προσπίπτει στο ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε δεύτερο σώμα Β m₂=5kg, το οποίο είναι ακίνητο. Σε μια στιγμή μετά από ελάχιστο χρόνο το σώμα Β έχει ταχύτητα υ₂΄=6m/s και επιτάχυνση α₂=4m/s².

Ζητούνται για τη στιγμή αυτή:

α)  Η ταχύτητα του σώματος Α και

β)  Η επιτάχυνση του Α σώματος.

γ)  Η ενέργεια του ελατηρίου.

Απάντηση.

Ένα μονωμένο σύστημα με ένα ελατήριο.

Μια πλάγια ελαστική κρούση.

Μια σφαίρα Α κινείται με ταχύτητα υ σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται με ακίνητη σφαίρα Β, ίσης μάζας όπως στο σχήμα. Στο σχήμα βλέπετε τις συνιστώσες της ταχύτητας, υ_x στη διεύθυνση της διακέντρου των δύο σφαιρών και υ_y σε κάθετη διεύθυνση. 

Χαρακτηρίστε σαν σωστές ή λαθεμένες τις παρακάτω προτάσεις.

α)  Μετά την κρούση η Α σφαίρα στον άξονα x θα έχει ταχύτητα με φορά προς τα αριστερά και μέτρο ίσο με υ_x.

β)  Μετά την κρούση η Α σφαίρα στον άξονα y θα έχει ταχύτητα με φορά προς τα πάνω και μέτρο ίσο με υ_y.

γ)  Η σφαίρα Β θα κινηθεί μετά την κρούση στη διεύθυνση x.

δ)  Οι δύο σφαίρες θα κινηθούν σε κάθετες διευθύνσεις.

ε)  Το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας που οφείλεται στην κρούση είναι ίσο με 100συν²θ, όπου θ η γωνία που σχηματίζει η αρχική ταχύτητα με τη διάκεντρο των δύο σφαιρών.

Απάντηση:

Πλάγια ελαστική κρούση

Ελαστική κρούση, οι δυνάμεις και τα έργα τους!!!

Μια σφαίρα Α μάζας m₁=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ₁=10m/s και συγκρούεται κεντρικά ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β μάζας m₂=3kg.

Σε μια στιγμή t₁ στη διάρκεια της κρούσης η σφαίρα Β έχει ταχύτητα υ_Β=6m/s.

i)       Για τη στιγμή t₁:

α)  Πόση κινητική ενέργεια έχει κάθε σφαίρα;

β)  Πόση είναι η δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης των δύο σφαιρών;

ii)     Να βρείτε τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται μεταξύ των δύο σωμάτων από την στιγμή t₁μέχρι το τέλος της κρούσης.

iii)    Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λαθεμένες.

α)   Κατά τη διάρκεια μιας ελαστικής κεντρικής κρούσης η ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή.

β)  Κατά τη διάρκεια μιας ελαστικής κεντρικής κρούσης η κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή.

γ)   Κατά τη διάρκεια μιας ελαστικής κεντρικής κρούσης η ορμή κάθε σφαίρας παραμένει σταθερή.

δ)   Η παραμόρφωση των σφαιρών είναι ελαστική.

ε)   Τα έργα της δράσης – αντίδρασης είναι αντίθετα.

στ) Οι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των δύο σφαιρών κατά τη διάρκεια μιας ελαστικής κεντρικής κρούσης είναι συντηρητικές.

Απάντηση:

Ελαστική κρούση, δυνάμεις και τα έργα τους!!!

Σύντομη αναδρομή σε μερικές έννοιες της μηχανικής, χρήσιμες στη Γ΄Λυκείου

Στο pdf αρχείο που επισυνάπτεται, υπάρχει μια αναδρομή σε έννοιες της μηχανικής όως το έργο, οι νόμοι του Νεύτωνα, η ορμή, κλπ., η οποία πιθανώς θα φανεί χρήσιμη σε μαθητές της Γ΄ Λυκείου που θα ήθελαν να φρεσκάρουν τις γνώσεις τους πάνω στην ύλη της Α΄ Λυκείου.
Eisagwgh.pdf

Πλαστική κρούση δυο δίσκων

Ένας μικρός οριζόντιος δίσκος μάζας m και ακτίνας r, κινείται χωρίς να περιστρέφεται με ταχύτητα μέτρου υο , πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται εφαπτομενικά με ένα άλλο πανομοιότυπο οριζόντιο δίσκο που ηρεμεί πάνω στο ίδιο επίπεδο. Δίδεται ότι κατά την κρούση, οι δυο δίσκοι ενώνονται και το στερεό που προκύπτει, εκτελεί μεταφορική κίνηση, και ταυτόχρονα, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το σημείο Ο που εφάπτονται οι δίσκοι.

Να υπολογίσετε:

1. Την ταχύτητα του σημείου Ο αμέσως μετά την κρούση.

2. Την γωνιακή ταχύτητα με την οποία στρέφεται το σύστημα αμέσως μετά την κρούση.

3. Την κινητική ενέργεια του συστήματος μετά την κρούση.

4. Την απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση.

Η ροπή αδράνειας του δίσκου δίνεται Icm = mr²/2. Δίνονται τα μεγέθη m, r, υ_ο .

Απάντηση

Κρούση ράβδου - δίσκου

Η διάταξη του σχήματος, αποτελείται από μια λεπτή ομογενή ράβδο ΟΑ μάζας Μ μήκους ℓ = 0,3 m και ένα δίσκο Δ, μάζας m = 2Μ και ακτίνας R=ℓ/3 .

Tα σώματα αυτά, μπορούν να περιστρέφονται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και χωρίς τριβές, γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα, που περνά από το κοινό άκρο Ο της ράβδου και της διαμέτρου ΟΒ του δίσκου. Στο σημείο Β της κατακόρυφης διαμέτρου ΟΒ, είναι στερεωμένη μια μικρή ακίδα , αμελητέας μάζας.

Η ράβδος αφήνεται ελεύθερη από την οριζόντια θέση, και ο δίσκος ηρεμεί με το επίπεδό του κατακόρυφο. Την στιγμή που η ράβδος φτάνει στην κατακόρυφη θέση, καρφώνεται πάνω στην ακίδα. Να υπολογίσετε :

1. Την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου την στιγμή που φτάνει στο σημείο που είναι η ακίδα και λίγο πριν καρφωθεί πάνω της.
2. Την γωνιακή ταχύτητα του συστήματος αμέσως μετά την κρούση.
3. Την ταχύτητα του κέντρου μάζας του δίσκου αμέσως μετά την κρούση.
4. Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της ράβδου λίγο πριν την κρούση που μετατρέπεται σε άλλες μορφές ενέργειας κατά την κρούση.

Δίνονται : Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Iρ(ο)=Μℓ²/3 , η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο κέντρο μάζας του Ιcm= mR²/2, και g=10m/s².

Απάντηση

Δύο πηγές που δεν ξεκίνησαν ταυτόχρονα

Δύο πηγές κυμάτων δημιουργούν στην επιφάνεια ενός υγρού εγκάρσια κύματα τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα u=1m/sec.Tην στιγμή t=0 αρχίζει η πηγή Ο₁ να ταλαντώνεται κατακόρυφα με εξίσωση ψ₁=0,02ημ2πt (S.I.). H πηγή Ο₂ ξεκινάει την κατακόρυφη  ταλάντωσή της  την χρονική στιγμή t₁=2sec και έχει εξίσωση ψ₂=0,02ημ2πt΄ (S.I.) με  t΄=t-2 (S.I). Δύο σημεία Α και Β απέχουν αντίστοιχα αποστάσεις R₁=3m, R₂= 1m το σημείο Α  και R₁΄=6,5 m,  R΄₂=6m  το σημείο Β από τις πηγές Ο₁ και Ο₂ αντίστοιχα.

A)   Nα βρεθούν οι εξισώσεις απομάκρυνσης των σημείων Α και Β.

Β)   Να παρασταθούν γραφικά οι φάσεις των σημείων Α και Β σε συνάρτηση με το  χρόνο.

Γ)  Πόσες φορές το σημείο Α είχε  δυναμική ενέργεια  ταλάντωσης U=8π²∙10^-7J μέχρι την χρονική στιγμή t₂= 5sec αν υποθέσουμε ότι στο υλικό αυτό σημείο αντιστοιχεί  στοιχειώδες τμήμα  μάζας Δm=0,001kg.

Aπάντηση:

Κρούση ράβδου και ολίσθηση σφαίρας

Στο παρακάτω σχήμα η ράβδος   έχει μάζα Μ₁=3kg και μήκος L=1,2m αφήνεται από οριζόντια θέση  και συγκρούεται αφού διαγράψει γωνία 90^ο  με ακίνητη σφαίρα μάζας Μ₂=5Κg και ακτίνας R=0,1m.To καρφί όπου είναι στερεωμένo το ένα άκρο της ράβδου απέχει απόσταση Η=1,3m από το  οριζόντιο έδαφος όπου ισορροπεί η σφαίρα.

Μετά την κρούση της ράβδου με την σφαίρα η ράβδος σταματάει. Η σφαίρα αρχικά αρχίζει να ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο επίπεδο  μέχρι να αρχίσει η καθαρή κύλιση. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σφαίρας και δαπέδου είναι μ=0,2. Να βρεθούν:

Α)  Ο χρόνος που θα χρειασθεί μέχρι να αρχίσει η καθαρή κύλιση για τη σφαίρα. Ποια η τελική ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας;

Β)  Η τελική κινητική ενέργεια της σφαίρας

Γ)  Η απώλεια ενέργειας στην διάρκεια του παραπάνω φαινόμενου.

Η ροπή αδράνειας της σφαίρας δίνεται από την σχέση Ι₂=0,4.M₂.R² και η ροπή αδράνειας της ράβδου γύρω από τον  άξονα περιστροφής της Ι₁=1/3.Μ₁.L².

H σφαίρα να θεωρηθεί σημειακή την στιγμή της κρούσης.

Απάντηση:

Ελαστική κρούση σώματος με ράβδο που μπορεί να στρέφεται. Πότε μεγιστοποιείται η μεταφορά ενέργειας;

Η ράβδος του σχήματος έχει μάζα M, μήκος L, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και ισορροπεί κατακόρυφα. Το κινούμενο σώμα έχει μάζα m και κινείται οριζόντια με ταχύτητα υο που ο φορέας της απέχει απόσταση x από το Α.
Η κρούση που ακολουθεί είναι ελαστική, η διάρκειά της είναι αμελητέα και το βάρος mg του σώματος δεν προλαβαίνει να επηρεάσει την κίνησή του όσο διαρκεί η κρούση. Ζητούνται:
1. Να προσδιορίσετε την ταχύτητα υ του σώματος και την γωνιακή ταχύτητα ω της ράβδου αμέσως μετά την κρούση, σε σχέση με τις μάζες m, M (δηλαδή σε σχέση με το λόγο λ = m/M των δύο μαζών) και σε σχέση με την απόσταση x του σημείου πρόσκρουσης από το άκρο Α της ράβδου.
2. (i) Να προσδιορίσετε την ταχύτητα υ για τις ακραίες περιπτώσεις όπου η m είναι πολύ μεγαλύτερη ή πολύ μικρότερη της M.
(ii) Πότε μεγιστοποιείται η κινητική ενέργεια που μεταφέρεται από το σώμα στη ράβδο κατά την κρούση;
(iii) Να κάνετε γενικότερα διερεύνηση της τιμής της υ σε σχέση με το λόγο λ = m/M των δύο μαζών αλλά και σε σχέση με την απόσταση x του σημείου πρόσκρουσης από το άκρο Α της ράβδου. 3. Να προσδιορίσετε πάλι την ταχύτητα του σώματος και την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση, στην περίπτωση που ο φορέας της αρχικής ταχύτητας υο δεν είναι κάθετος στη ράβδο. Η τριβή κατά τη διάρκεια της επαφής των δύο σωμάτων είναι αμελητέα. 

Απάντηση

Μηχανικό σύστημα και Ελαστική κρούση.

Στο σχήμα το σώμα Γ κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ₀=3m/s και για t=0 συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το σώμα Β. Αν m_Α=m_Β=2m_Γ= 2kg και το ελατήριο έχει φυσικό μήκος 0,5m και σταθερά Κ=128N/m, ζη­τούνται: 

1. Η ταχύτητα του σώματος Β μετά την κρούση. 
2. Η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σωμάτων Α και Β. 
3. Ποια χρονική στιγμή το Α θα αποσπασθεί από τον τοίχο. 
4. Ποια η δύναμη που δέχεται το σώμα Α από τον τοίχο, σε συνάρτηση με τον χρόνο, αν η κρούση έγινε για t=0 και είχε αμελητέα διάρκεια. 
5. Η μέγιστη ταχύτητα του Α.

Αρχικά τα σώματα Α και Β ήταν ακίνητα και δεμένα με το ελατήριο και το επίπεδο είναι λείο.

Απάντηση:

Μηχανικό σύστημα και Ελαστική κρούση

Μεταβολή της ορμής σε μια πλάγια κρούση.

Μια σφαίρα Α, μάζας 2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ₁=4m/s και σε μια στιγμή συγκρούεται με μια σφαίρα Β με αποτέλεσμα μετά την κρούση να κινείται με ταχύτητα υ₂=3m/s σε διεύθυνση κάθετη στην αρχική, όπως στο σχήμα.

i)     Να βρεθεί η μεταβολή της ορμής της σφαίρας Α.

ii)    Ποια είναι η διεύθυνση της δύναμης που δέχτηκε η Α σφαίρα κατά την κρούση, θεωρώντας την σταθερή;

iii)   Σε ποια διεύθυνση θα κινηθεί η Β σφαίρα;

Απάντηση.

Μεταβολή της ορμής σε μια πλάγια κρούση