Με μια αντλία γεμίζουμε ένα ντεπόζιτο

 

 Ένα ορθογώνιο ντεπόζιτο με βάση S=1m² στηρίζεται σε βάση ευρισκόμενο σε ύψος β=3m από το έδαφος και  πρόκειται να το γεμίσουμε με νερό, με τη βοήθεια μιας αντλίας, η οποία παίρνει νερό από δεξαμενή, όπως στο σχήμα. Η άντληση θα γίνει με τη βοήθεια σωλήνα σταθερής  διατομής Α₁=2cm², ο οποίος βυθίζεται στο νερό, σε μήκος β, ενώ η επιφάνεια του νερού στη δεξαμενή βρίσκεται χαμηλότερα κατά α=1m, από την επιφάνεια του εδάφους.  Αν η παροχή είναι σταθερή και ίση με 0,4L/s, ενώ το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³ και g=10m/s², να βρεθούν:

i)  Η ταχύτητα με την οποία φθάνει το νερό στο ντεπόζιτο καθώς και η πίεση στην έξοδο της αντλίας, μόλις σταθεροποιηθεί η ροή.

ii) Η αρχική ισχύ της αντλίας.

iii) Αν για να αποφύγουμε την υπερχείλιση του ντεπόζιτου έχουμε συνδέσει σωλήνα σε ύψος α, από όπου το νερό εκρέει, να αποδείξετε ότι η ισχύς της αντλίας δεν παραμένει σταθερή. Να κάνετε στη συνέχεια τη γραφική παράσταση της ισχύος της αντλίας, σε συνάρτηση με το χρόνο από 0-50min.

iv) Αν χρησιμοποιούσαμε διαφορετικό σωλήνα με διατομή Α₂=4cm², ενώ είχαμε ξανά την ίδια παροχή, ποια θα ήταν η τελική ισχύς της αντλίας και η τελική πίεση στην έξοδο της αντλίας.

Απάντηση:

ή

  Με μια αντλία γεμίζουμε ένα ντεπόζιτο

  Με μια αντλία γεμίζουμε ένα ντεπόζιτο

Ένα τμήμα δικτύου ύδρευσης και ο κλειστός σωλήνας

  

Στο σχήμα βλέπετε ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης όπου στο σημείο Α έχει συνδεθεί ένας κλειστός κατακόρυφος σωλήνας, μέσα στον οποίο το νερό έχει ανέβει σε ύψος h, όση είναι και η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β. Ο σωλήνας έχει μεταβλητή διατομή, όπου Α₁>Α₂ στις θέσεις Α και Β αντίστοιχα. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό και η ροή μόνιμη και στρωτή, όπου στο δεξιό άκρο εκρέει στην ατμόσφαιρα.

i)  Για τις πιέσεις p₁ και p₂ στα σημεία Α και Β, ισχύει:

α) p₁ > p₂,    β) p₁ = p₂,     γ) p₁ <  p₂.

ii) Να αποδείξετε ότι πάνω από το νερό, στο σημείο Γ, δεν μπορεί να υπάρχει κενό. Για την επικρατούσα πίεση του εγκλωβισμένου αέρα στο κλειστό δοχείο, ισχύει:

α) p_Γ < p₂,     β) p_Γ = p₂,     γ) p_Γ > p₂.

iii) Το έργο που παράγει το υπόλοιπο νερό, πάνω σε ορισμένο όγκο νερού ΔV, κατά την μετακίνησή του από τη θέση Α στη θέση Β, είναι αντίθετο με το έργο του βάρους της ποσότητας αυτής, κατά την παραπάνω μετακίνηση. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε με την θέση αυτή;

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

  Ένα τμήμα δικτύου ύδρευσης και ο κλειστός σωλήνας

  Ένα τμήμα δικτύου ύδρευσης και ο κλειστός σωλήνας

Λάδι και νερό απ’ τον Πρόδρομο!

Κυλινδρικό δοχείο μεγάλου εμβαδού βάσης (A = 0,5 m²), περιέχει κατά το ήμισυ λάδι και κατά το ήμισυ νερό, ύψους h = 1 m το καθένα. Το κυλινδρικό αυτό δοχείο βρίσκεται πάνω σε μία ύψος h₁ = 30 cm. Στο πλευρικό τοίχωμα έχουμε δύο οπές Ο₁ και Ο₂ πολύ μικρής διατομής Α_o = π∙10^–5 m² που κλείνονται με πώματα. Ανοίγουμε τις δύο οπές ταυτόχρονα, προκειμένου να γεμίσουμε το μικρό δοχείο, χωρητικότητας V_δ = 2,632 L.

Η πυκνότητα του λαδιού είναι ρ_λ= 780 kg/m³ και του νερού ρ_ν = 1000 kg/m³, η επιτάχυνση της βαρύτητας g= 10 m/s² και η ατμοσφαιρική πίεση p_ατμ.= 10⁵ Ν/m². Θεωρείστε ότι δεν μεταβάλλονται σημαντικά τα ύψη των υγρών στο δοχείο, μέχρι να γεμίσει το μικρό δοχείο. Οι οπές Ο₁ και Ο₂ βρίσκονται σε παραπλήσια κατακόρυφα επίπεδα και οι φλέβες δεν τέμνονται. Επίσης θεωρείστε ότι π² = 10.

α. Ποιο το μέτρο της δύναμης που ασκεί το κάθε υγρό στο κάθε πώμα; Πόση είναι η δύναμη που ασκούν τα τοιχώματα σε κάθε πώμα;

β. Με ποια διαφορά χρόνου φτάνουν δύο στοιχειώδεις μάζες λαδιού και νερού, που βγήκαν από τις οπές ταυτόχρονα;

γ. Ποια η ποσότητα νερού και ποια του λαδιού, όταν γεμίσει το μικρό δοχείο;

δ. Πόση είναι η ελάχιστη διάμετρος του μικρού δοχείου;

ε. Πόση είναι η ποσότητα του κάθε υγρού στον αέρα;

στ. Πόση είναι η πρόσθετη κατακόρυφη δύναμη που ασκούν τα υγρά κατά την πτώση τους στο μικρό δοχείο;

Η συνέχεια εδώ.

Μετρώντας την ταχύτητα εκροής μιας βρύσης

 

Στο σχήμα δίνεται μια ανοικτή βρύση συνδεδεμένη στο δίκτυο ύδρευσης, από την οποία τρέχει νερό, με σταθερή παροχή. Μετράμε την διατομή της φλέβας στην έξοδο της βρύσης και την βρίσκουμε Α₁=0,6cm². Σε κατακόρυφη απόσταση h₁=15cm από την έξοδο της βρύσης, τοποθετούμε ένα άδειο σωλήνα, σχήματος αντεστραμμένου Π, όπως στο σχήμα (σωλήνας pitot) και παρατηρούμε ότι το νερό εισέρχεται στο σωλήνα και τελικά ανέρχεται κατά h₃=25cm στο αριστερό σκέλος του, ενώ το δεξιό σκέλος του σωλήνα έχει ύψος h₂=5cm.

i) Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί το νερό ανεβαίνει περισσότερο στο αριστερό σκέλος του σωλήνα και h₃>h₂;

ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα εκροής και η παροχή της βρύσης.

iii) Να βρεθεί η διατομή της φλέβας, ελάχιστα πριν φτάσει στο σωλήνα.

iv) Αν κατεβάσουμε τον σωλήνα διπλασιάζοντας το ύψος h₁, τότε στη νέα θέση, το νερό στο αριστερό σκέλος του σωλήνα, θα φτάσει σε ύψος h₄, όπου:

α) h₄ < 2h₃,   β) h₄ =2 h₃,   γ) h₄ >2 h₃.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³, p_ατμ=10⁵Ρα,  ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μετρώντας την ταχύτητα εκροής μιας βρύσης

 Μετρώντας την ταχύτητα εκροής μιας βρύσης

Ψάχνοντας για τυχόν διαρροές

 

Στο σχήμα βλέπετε ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης, όπου υπάρχει η υποψία ότι υπάρχει διαρροή μεταξύ των θέσεων Α ενός οριζόντιου λεπτού σωλήνα και ενός απομακρυσμένου σημείου Β, ενός οριζόντιου σωλήνα διπλάσιας διατομής. Ο λεπτός σωλήνας, έχει διατομή Α₁=20cm² ενώ η ταχύτητα ροής του νερού σε αυτόν είναι υ₁=4m/s.

Συνδέουμε τον εύκαμπτο σωλήνα-λάστιχο στη θέση Α,  το άλλο άκρο του οποίου βυθίζουμε σε δοχείο με νερό και διαπιστώνουμε ότι το νερό ανεβαίνει κατακόρυφα στο σωλήνα κατά y₁=1m.

i)  Να υπολογιστεί η πίεση στο σημείο Α, στον άξονα του λεπτού σωλήνα.

ii) Συνδέοντας έναν παρόμοιο σωλήνα - λάστιχο στο σημείο Β, παίρνουμε την εικόνα του σχήματος. Τι συμπέρασμα μπορείτε να εξάγετε από το γεγονός ότι το νερό αντί να ανέβη στο λάστιχο, κατέβηκε;

iii) Αν η υψομετρική διαφορά μεταξύ των αξόνων των δύο σωλήνων είναι h=0,5m, ενώ το νερό κατέβηκε κατά y₂=0,1m στο δεύτερο κατακόρυφο λάστιχο, να βρεθούν:

α) Η πίεση στο σημείο Β.

β) Η ταχύτητα της ροής στο σημείο Β.

γ) Μήπως μεταξύ των θέσεων Α και Β υπάρχει κάποια διαρροή και «χάνεται» νερό από το δίκτυο;

Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=10⁵Ρα, η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ η ροή θεωρείται μόνιμη ροή ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

ή

 Ψάχνοντας για τυχόν διαρροές

 Ψάχνοντας για τυχόν διαρροές

Το έμβολο, το κιβώτιο και η ροή.

  

Ένα κυλινδρικό δοχείο, εμβαδού βάσης Α=0,5m², περιέχει νερό μέχρι ύψος Η=2,3m και κλείνετε στο πάνω μέρος με έμβολο βάρους w₁=500Ν. Σε ύψος y=0,8m από τον πυθμένα υπάρχει ένας λεπτός σωλήνας διατομής Α₁=1cm², ο οποίος κλείνεται με τάπα.

i) Να υπολογιστεί η δύναμη που το νερό ασκεί στην τάπα.

Τοποθετούμε πάνω στο έμβολο ένα κιβώτιο και αφαιρούμε την τάπα. Παρατηρούμε ότι η φλέβα νερού συναντά το οριζόντιο επίπεδο, πάνω στο οποίο στηρίζεται το δοχείο, σε οριζόντια απόσταση x=2,4m.

ii) Σε πόσο χρόνο μπορούμε να γεμίσουμε με νερό, ένα δοχείο με όγκο 3L;

iii) Να υπολογιστεί η δύναμη που το νερό ασκεί στο έμβολο, μόλις αποκατασταθεί μόνιμη ροή.

iv) Να υπολογιστεί το βάρος w₂ του κιβωτίου.

Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=10⁵ Ρα, g=10m/s², ενώ το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό.

Απάντηση:

ή

  Το έμβολο,  το κιβώτιο και η ροή.

  Το έμβολο,  το κιβώτιο και η ροή.

Το φετινό μας διαγώνισμα στις ταλαντώσεις (2021)

Ένα σώμα Σ₁, μάζας m₁ = 1 kg, μπορεί να κινείται χωρίς τριβές σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το Σ₁ είναι δεμένο σε οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k₁ = 100 N/m, με το αριστερό άκρο του να είναι στερεωμένο σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχο. Σε απόσταση d₁ από τη θέση ισορροπίας του Σ₁ και δεξιά αυτής, βρίσκεται ένα ακίνητο σώμα Σ_2, μάζας m_2, το οποίο μπορεί να κινείται και αυτό στο ίδιο επίπεδο χωρίς τριβές. Δεξιά του σώματος Σ₂ και σε απόσταση d₂ βρίσκεται το ελεύθερο άκρο οριζοντίου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k₂ που έχει  το δεξιό  του άκρο στερεωμένο σε σώμα Σ₃, μάζας m₃. Το Σ₃ παρουσιάζει τριβή με το οριζόντιο δάπεδο. Ασκώντας στο σώμα Σ₁ κατάλληλη δύναμη συμπιέζουμε το ελατήριο σταθεράς k₁ κατά d και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Μετά από χρονικό διάστημα Δt₁ = π/15 s από τη στιγμή που ελευθερώσαμε το σώμα Σ₁, αυτό συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το  σώμα Σ₂, με αποτέλεσμα το Σ₁  αμέσως μετά την κρούση να αρχίσει μία νέα ταλάντωση με μηδενική ταχύτητα. Το  σώμα Σ₂ μετά την ελαστική κρούση και αφού διανύσει διάστημα d₂, προσπίπτει στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου σταθεράς k₂. Η στατική τριβή που αναπτύσσεται μεταξύ δαπέδου και σώματος  Σ₃ το κρατά ακίνητο και το μέτρο της μεγιστοποιείται για πρώτη φορά αφού περάσει χρονικό διάστημα Δt₂ = π/40 s  μετά την εμφάνισή της. Η γραφική παράσταση της στατικής τριβής φαίνεται στο σχήμα. 

  Δ1. Να βρείτε τη μάζα του σώματος Σ₂ καθώς και το μέτρο της μέγιστης δύναμη που ασκεί το ελατήριο σταθεράς k₂ κατά την συμπίεσή του. 

Δ2. Τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου σταθεράς k₂. 

Δ3. Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ₁ του σώματος Σ₁ ελάχιστα πριν την κρούση με το Σ_2. 

Δ4. Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης του σώματος Σ₁ μετά την κρούση του με το Σ₂, θεωρώντας ως t′ = 0 την στιγμή έναρξης της νέας ταλάντωσης. 

Δ5.  Να υπολογίστε την απόσταση d₂ ώστε τα σώματα να ξανασυγκρουσθούν στη θέση ισορροπίας του Σ₁ , όταν αυτό διέρχεται από αυτήν για 2^η φορά μετά το χάσιμο της επαφής. 

Το διαγώνισμα εδώ. 

 Το φετινό διαγώνισμα για τα ΨΕΒ που εκπονήσαμε εγώ και ο Πρόδρομος. Τα θέματα διαφέρουν λίγο από την αρχική δομή που έτυχε να δουν κάποιοι φίλοι, αλλά έτσι είναι η διαδικασία. Οι λύσεις προφανώς και υπάρχουν αλλά δεν μπορούν να δημοσιευθούν πριν από την επίσημη ανάρτησή τους στα ΨΕΒ.

Ο κλειστός και ο ανοικτός σωλήνας σε μια ροή

  

Στο σχήμα βλέπουμε ένα τμήμα δικτύου, το δεξιό άκρο Ο του οποίου κλείνεται με τάπα. Στον κεντρικό σωλήνα με μεταβλητή διατομή, έχουν προσαρμοσθεί δύο κατακόρυφοι λεπτοί σωλήνες, ο πρώτος κλειστός γεμάτος νερό, με ύψος Η=0,6m (από τον άξονα του σωλήνα), ενώ ο δεύτερος ανοικτός, όπου το νερό ανεβαίνει σε ύψος h₁=0,8m (ξανά από τον άξονα του οριζόντιου σωλήνα). Η διατομή του σωλήνα στην περιοχή του σημείου Γ είναι Α₁=1cm², ενώ στην περιοχή του σημείου Β η αντίστοιχη διατομή είναι τετραπλάσια.

i) Να υπολογιστεί η δύναμη που ασκεί το νερό στην τάπα.

ii) Να βρεθεί η πίεση στο σημείο Α, στο πάνω μέρος του κλειστού σωλήνα.

iii) Ανοίγουμε την τάπα και αποκαθίσταται μια μόνιμη ροή, όπου το νερό εξέρχεται από το άκρο Ο με ταχύτητα υ=4m/s. Παρατηρούμε τώρα η στάθμη στον ανοικτό σωλήνα να έχει κατέβει κατά 20cm.

α)  Υποστηρίζεται ότι η διατομή της φλέβας αμέσως μετά την έξοδο, από το σωλήνα, είναι μικρότερη από την διατομή Α₁ του σωλήνα. Μπορείτε με βάση τα παραπάνω δεδομένα να ελέγξετε την ορθότητα ή όχι της παραπάνω πρότασης;

β) Σε πόσο χρόνο μπορούμε να γεμίσουμε με νερό, ένα δοχείο με όγκο V=4L, από το παραπάνω δίκτυο;

γ) Να υπολογίσετε ξανά την πίεση στο σημείο Α του κλειστού σωλήνα.

Δίνεται η πυκνότητα του νερού, το οποίο θεωρείται ιδανικό ρευστό ρ=1.000kg/m³ και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s². Στο σχήμα δεν "κρατήθηκαν" οι σωστές διαστάσεις...

Απάντηση:

ή

 Ο κλειστός και ο ανοικτός σωλήνας σε μια ροή

 Ο κλειστός και ο ανοικτός σωλήνας σε μια ροή

Δυνάμεις στις πλευρές του κύβου

 

Ένα σώμα κυβικού σχήματος με ακμή α=0,5m και βάρους w=2.000Ν βυθίζεται σε μια μεγάλη δεξαμενή νερού, δεμένο στο κάτω άκρο ενός νήματος, το οποίο έχει προσδεθεί σε σταθερό σημείο, όπως στο σχήμα, με αποτέλεσμα η πάνω βάση του κύβου να είναι οριζόντια. Αν η βάση αυτή δέχεται δύναμη μέτρου F₁=28.000Ν, να υπολογιστούν:

i)  Η δύναμη που το νερό ασκεί στην κάτω βάση του κύβου.

ii) Το μέτρο της δύναμης που ασκείται από το νερό σε μια παράπλευρη έδρα του κύβου.

iii) Η τάση του νήματος, από το οποίο κρέμεται ο κύβος.

Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³ και g=10m/s², ενώ δεν είναι γνωστή η ατμοσφαιρική πίεση που επικρατεί στην περιοχή της δεξαμενής!

Απάντηση:

ή

 Δυνάμεις στις πλευρές του κύβου

 Δυνάμεις στις πλευρές του κύβου

Δυο τάπες σε ένα σωλήνα

 

  

Ένα ανοικτό δοχείο περιέχει νερό μέχρι ύψος Η=1m. Κοντά στον πυθμένα του έχει συνδεθεί ένας κατακόρυφος λεπτός σωλήνας ύψους h=1,5m, κλειστός στο πάνω του άκρο Β με τάπα, εμβαδού Α=2cm². Στο ίδιο ύψος με την ελεύθερη επιφάνεια του νερού  στο δοχείο, στη θέση Γ, ο λεπτός σωλήνας έχει μια οπή η οποία είναι κλεισμένη με μια δεύτερη τάπα, ίδιου εμβαδού, όπως στο σχήμα. Στον σωλήνα δεν έχει εγκλωβιστεί αέρας.

i)  Να υπολογιστούν η πίεση στο πάνω μέρος του λεπτού σωλήνα, καθώς και οι δυνάμεις που το νερό ασκεί στις δύο τάπες.

ii) Αν αφαιρέσουμε την τάπα στο άκρο Β, τι πρόκειται να συμβεί;

iii) Αν με κλειστή την τάπα στο Β, ανοίξουμε την τάπα στο σημείο Γ, τι θα συμβεί;

iv) Τι θα συμβεί, αν ανοίξουμε ταυτόχρονα τις δύο τάπες;

Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p_ατμ=10⁵Ρα, η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³ και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Δυο τάπες σε ένα σωλήνα

  Δυο τάπες σε ένα σωλήνα

Η εξωτερική δύναμη σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Μια πλάκα μάζας m, εκτελεί εξαναγκασμένη κατακόρυφη ταλάντωση στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100∙m (S.Ι.), με την επίδραση μιας περιοδικής εξωτερικής δύναμης F_εξ, ενώ πάνω της ασκείται δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-bυ, Μετά το πέρας των μεταβατικών φαινομένων, λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως αρχή μέτρησης των χρόνων t=0, η εξίσωση της απομάκρυνσης ικανοποιεί την εξίσωση x=Α∙ημ(8t) (S.Ι.), με θετική κατεύθυνση προς τα πάνω.

i) Κάποια στιγμή t₁ η πλάκα περνά από την θέση x=0, κινούμενη προς τα κάτω.

Α) Τη στιγμή αυτή η ισχύς της εξωτερικής δύναμης Ρ₁ είναι:

α) Αρνητική,  β) Μηδέν,   γ) Θετική.

Β) Η παραπάνω ισχύς της εξωτερικής δύναμης είναι ανάλογη:

α) του τετραγώνου της ιδιοσυχνότητας ταλάντωσης,

β) του πλάτους ταλάντωσης,

γ) της σταθεράς απόσβεσης b.

Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές;

ii) Μια άλλη στιγμή t₂ η πλάκα βρίσκεται στην άνω ακραία θέση της ταλάντωσής της. Τη στιγμή αυτή η εξωτερική δύναμη:

α) Είναι μηδενική.

β) Έχει κατεύθυνση προς τα κάτω.

γ) Έχει κατεύθυνση προς τα πάνω.

Απάντηση:

ή

 Η εξωτερική δύναμη σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση.

 Η εξωτερική δύναμη σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση.