Μανώλης από τα παλιά.

Στην διάταξη που φαίνεται στο σχήμα η πλατφόρμα Σ₁, μήκους d και μάζας m₁ = 1 kgσυνδέεται μέσω του ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 144 N/m με το σταθερό σημείο Α. Πάνω στην πλατφόρμα και σε απλή επαφή – δεν είναι κολλημένο – με το αριστερό της άκρο βρίσκεται το κυβικού σχήματος σώμα Σ₂, μάζας m₂ = 0,44 kg. Το ελατήριο, αρχικά, έχει το φυσικό του μήκος και το σύστημα ισορροπεί.  Από την αρχική θέση ισορροπίας φέρουμε το σύστημα στη θέση όπου το ελατήριο είναι συσπειρωμένο κατά Α₀ = 0,36 m με το σώμα πάνω στην πλατφόρμα να παραμένει σε επαφή με το δεξιό τελείωμα αυτής και συγκρατούμε το σύστημα εκεί. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 «ελευθερώνουμε» το σύστημα. Τριβές δεν υπάρχουν.

α. Σε ποια θέση και ποια χρονική στιγμή το σώμα θα χάσει την επαφή του με το αριστερό άκρο της πλατφόρμας;

β. Γιατί το σώμα θα συγκρουστεί με το δεξί άκρο της πλατφόρμας;

γ. Έχουμε προβλέψει ώστε οι εσωτερικές διαστάσεις της πλατφόρμας καθώς και οι διαστάσεις του σώματος επ’ αυτής να είναι κατάλληλες, ώστε η σύγκρουση που προαναφέραμε να λαμβάνει χώρα, όταν η ταχύτητα της πλατφόρμας μηδενίζεται για πρώτη φορά. Προσδιορίστε το εσωτερικό μήκος d της πλατφόρμας και τη χρονική στιγμή της σύγκρουσης αυτής.

δ. Στο εσωτερικό του δεξιού τελειώματος της πλατφόρμας έχει απλωθεί ισχυρότατη κόλλα στιγμιαίας δράσης ώστε η κρούση του σώματος με το τελείωμα αυτό να είναι πλαστική. Θεωρώντας τη διάρκεια της κρούσης αμελητέα υπολογίστε την ταχύτητα του συστήματος αμέσως μετά την κρούση καθώς και το πλάτος της ταλάντωσης, του συστήματος, που θα επακολουθήσει μετά την κρούση.

Για την απάντηση να λάβετε υπόψη σας το δοσμένο άξονα και να θεωρήσετε ως σημεία για τον προσδιορισμό των θέσεων το εσωτερικό αριστερό άκρο της πλατφόρμας και την αριστερή έδρα του κυβικού σώματος. Οι διαστάσεις του κύβου θεωρούνται αμελητέες.
   

Ένα κύμα και οι φάσεις της απομάκρυνσης σημείων

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με έναν προσανατολισμένο άξονα x και από αριστερά προς τα δεξιά (προς τη θετική κατεύθυνση), διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Η εικόνα του μέσου τη στιγμή t=0, είναι αυτή του διπλανού σχήματος, όπου το κύμα έχει φτάσει στο σημείο Κ, στη θέση x=1,5m.

Αν η επιτάχυνση, τη στιγμή αυτή, του σημείου Ο, στη θέση x=0, είναι ίση με 12m/s², ζητούνται:

i) Η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y=y(t)) των σημείων Κ και Ο.

ii) Η εξίσωση του κύματος.

iii) Η φάση της απομάκρυνσης του σημείου Κ, σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά.

iv) Η γραφική παράσταση της φάσης του σημείου Ο, σε συνάρτηση με το χρόνο.

v) Η γραφική παράσταση της φάσης των διαφόρων σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t₁=3,5s.

Δίνεται π² ≈10.

Απάντηση:

ή

 Ένα κύμα και οι φάσεις της απομάκρυνσης σημείων

Ένα κύμα και οι φάσεις της απομάκρυνσης σημείων

Ένα κύμα και οι φάσεις της απομάκρυνσης σημείων

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με έναν προσανατολισμένο άξονα x και από αριστερά προς τα δεξιά (προς τη θετική κατεύθυνση), διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Η εικόνα του μέσου τη στιγμή t=0, είναι αυτή του διπλανού σχήματος, όπου το κύμα έχει φτάσει στο σημείο Κ, στη θέση x=1,5m. 

Αν η επιτάχυνση, τη στιγμή αυτή, του σημείου Ο, στη θέση x=0, είναι ίση με 12m/s², ζητούνται:

i) Η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y=y(t)) των σημείων Κ και Ο.

ii) Η εξίσωση του κύματος.

iii) Η φάση της απομάκρυνσης του σημείου Κ, σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά.

iv) Η γραφική παράσταση της φάσης του σημείου Ο, σε συνάρτηση με το χρόνο.

v) Η γραφική παράσταση της φάσης των διαφόρων σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t₁=3,5s.

Δίνεται π² ≈10.

Απάντηση:

ή

 Ένα κύμα και οι φάσεις της απομάκρυνσης σημείων

Ένα κύμα και οι φάσεις της απομάκρυνσης σημείων

Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.

Σε γραμμικό ελαστικό μέσο και από τα δεξιά προς τ’ αριστερά (προς την αρνητική κατεύθυνση) διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με στιγμιότυπο τη στιγμή t₀=0, όπως στο πρώτο από τα διπλανά διαγράμματα. Το αντίστοιχο στιγμιότυπο τη στιγμή t₁=0,5s είναι όπως στο δεύτερο διάγραμμα.

i) Χρησιμοποιώντας πληροφορίες από τα διαγράμματα αυτά να βρείτε:

α) το πλάτος και το μήκος του κύματος,

β) τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;

iii) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₂=2,5s και μέχρι τη θέση x_Β=2,5m στον θετικό ημιάξονα.

iv) Για το σημείο Β,  στη θέση x_Β=2,5m:

α)   Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y-t) και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.

β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Β, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Απάντηση:

ή

 Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.

Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.

Ένα οδεύον προς τα δεξιά κύμα

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται χωρίς απώλειες ένα αρμονικό κύμα, το οποίο τη στιγμή t₀=0 φτάνει σε ένα σημείο Ο, το οποίο λαμβάνουμε ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x, με την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική. Το σημείο Ο ξεκινά την ταλάντωσή του προς τα πάνω (θετική φορά του άξονα y) και φτάνει σε μέγιστη απομάκρυνση 0,2m τη στιγμή t₁=0,2s. Το κύμα φτάνει σε ένα σημείο Κ, στη θέση x_Κ=x₂=3,5m τη χρονική στιγμή t₂=1,4s.

 i)  Να γράψετε τις εξισώσεις για την απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο, για τις ταλαντώσεις που θα εκτελέσουν τα σημεία Ο και Κ.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

iii) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή  t₂ που το κύμα φτάνει στο σημείο Κ και για την περιοχή του θετικού ημιάξονα. Ποια η απομάκρυνση του σημείου Ο την παραπάνω χρονική στιγμή;

iv) Ένα σημείο Λ, βρίσκεται στη θέση x_Λ= 4/3 m.

 α) Να βρεθούν η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του, η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Λ τη στιγμή t₂.

 β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Λ και για το χρονικό διάστημα από 0-t₂.

Απάντηση:

ή

  Ένα οδεύον προς τα δεξιά κύμα

Ένα οδεύον προς τα δεξιά κύμα

Μια ΑΑΤ και μια σύνθετη ταλάντωση

 Ένα σώμα μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου. Το σώμα συγκρούεται στιγμιαία με άλλο κινούμενο σώμα, με αποτέλεσμα να τίθεται σε ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x₁=0,4∙ημ(7t), (μονάδες στο S.Ι.).

i)  Να βρεθεί η σταθερά του ελατηρίου, καθώς και η ενέργεια ταλάντωσης.

ii)  Ακινητοποιούμε το σώμα στη θέση x=0 και κάποια στιγμή (t₀=0) ασκούμε πάνω του μια οριζόντια μεταβλητή δύναμη της μορφής F=F_ο∙ημ(8t), όπως στο κάτω σχήμα. Το σώμα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με εξίσωση κίνησης:

x= 0,27∙ημ(7t) - 0,3∙ημ(8t)  (μονάδες στο S.Ι.)

α)  Να υπολογίσετε την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας (x=0) και την ταχύτητα του σώματος τις χρονικές στιγμές t₁ =π/3 s και t₂= π s.

β)  Να υπολογιστεί η κινητική και η δυναμική ενέργεια του σώματος τις παραπάνω στιγμές.

γ)  Στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η απομάκρυνση του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

 

Παρατηρούμε ότι η κίνηση παρουσιάζει διακροτήματα.  Ποια η περίοδος του διακροτήματος και πόσες ταλαντώσεις εκτελεί το σώμα σε χρόνο ίσο με την περίοδο του διακροτήματος;

Απάντηση:

ή

  Μια ΑΑΤ και μια σύνθετη ταλάντωση

Μια ΑΑΤ και μια σύνθετη ταλάντωση

Η ενέργεια σε μια περίοδο στην εξαναγκασμένη

i)  Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή δέχεται μια δύναμη, η ισχύς της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως στο διπλανό διάγραμμα.

Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t=2s.

ii) Ένα σώμα μάζας m=0,5kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την εξάσκηση αρμονικής εξωτερικής δύναμης, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-0,25∙υ (S.Ι.). Μετά το πέρας των μεταβατικών φαινομένων, λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως t₀=0, παίρνουμε ως εξίσωση απομάκρυνσης την x=0,5∙ημ(4t)  (S.Ι.).

 α) Κάποια στιγμή t₁ το σώμα περνά από τη θέση x₁=0,3m με θετική ταχύτητα, ενώ η εξωτερική δύναμη έχει τιμή F₁=1 Ν. Να υπολογιστούν τη στιγμή t₁:

α₁) Η ισχύς της εξωτερικής δύναμης και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης.

α₂) Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται στο σώμα.

α₃) Η κινητική και η δυναμική ενέργεια του σώματος.

β) Να υπολογιστούν στη διάρκεια μιας περιόδου, τα έργα:  της δύναμης επαναφοράς, της δύναμης απόσβεσης και της διεγείρουσας εξωτερικής δύναμης.

Απάντηση:

ή

 Η ενέργεια σε μια περίοδο στην εξαναγκασμένη

Η ενέργεια σε μια περίοδο στην εξαναγκασμένη

Αλλαγή του άξονα περιστροφής. Πώς εφαρμόζεται η ΑΔΣ.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο περιστρέφεται μια ομογενής ράβδος μάζας Μ=3kg και μήκους l=2m με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω₀=1rαd/s, όπως στο σχήμα (κάτοψη). Μια σφαίρα μάζας m=Μ=3kg κινείται στο ίδιο επίπεδο με ταχύτητα υ₀ =4m/s και συγκρούεται πλαστικά στο άκρο Α της ράβδου, τη στιγμή που η σφαίρα έχει ταχύτητα κάθετη στη ράβδο.

Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα του στερεού s που προκύπτει, καθώς και η ταχύτητα της σφαίρας, αμέσως μετά την κρούση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ο, Ι_ο= (1/12)Μl².

Απάντηση:

ή

 Πώς εφαρμόζεται η αρχή διατήρησης Στροφορμής (ΑΔΣ)

Πώς εφαρμόζεται η αρχή διατήρησης Στροφορμής (ΑΔΣ)

Η ενέργεια σε μια Εξαναγκασμένη Ταλάντωση

Ένα σώμα μάζας 0,2kg είναι δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=16Ν/m και με την επίδραση μιας εξωτερικής αρμονικής δύναμης F, εκτελεί ταλάντωση, όπου (μετά το πέρας των μεταβατικών φαινομένων) η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας (θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου) έχει τη μορφή x=0,5∙ημ(10t) (S.Ι.). Στη διάρκεια της ταλάντωσης το σώμα δέχεται αντίσταση από τον αέρα της μορφής F_απ=-0,2∙υ (μονάδες στο S.Ι.).

i)  Να υπολογιστούν η μέγιστη κινητική και η μέγιστη δυναμική ενέργεια του σώματος στη διάρκεια της εξαναγκασμένης αυτής ταλάντωσης.

ii) Για τη στιγμή που το σώμα περνά από τη θέση Β του σχήματος, με απομάκρυνση x₁=0,4m και με θετική (προς τα δεξιά) ταχύτητα, να βρεθούν:

α)  Η επιτάχυνση και η εξωτερική δύναμη F.

β)  Η κινητική και η δυναμική ενέργεια. Πόσο είναι το άθροισμα Κ+U;

γ)  Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και δυναμικής ενέργειας.

δ)  Η ισχύς της εξωτερικής δύναμης, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της αντίστασης αέρα.

Απάντηση:

ή

  Η ενέργεια σε μια Εξαναγκασμένη Ταλάντωση

Η ενέργεια σε μια Εξαναγκασμένη Ταλάντωση

Η ενέργεια σε μια φθίνουσα ταλάντωση

Ένα σώμα Σ μάζας 2kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m και εκτελεί κατακόρυφη ταλάντωση, όπως στο σχήμα, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης τη μορφής F_απ=-b∙υ. Σε μια στιγμή t₁ περνά από τη θέση ισορροπίας του (x=0) κινούμενο προς τα πάνω με ταχύτητα υ₁=5m/s, έχοντας ταυτόχρονα και επιτάχυνση με φορά προς τα κάτω και μέτρο α₁=1m/s².

i)  Να υπολογιστεί η σταθερά απόσβεσης b.

ii) Να βρεθούν την παραπάνω στιγμή t₁:

α) Η ενέργεια ταλάντωσης.

β) Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας ταλάντωσης του σώματος Σ.

iii) Μετά από λίγο, τη στιγμή t₂ το σώμα Σ φτάνει στη θέση Ρ με απομάκρυνση y=1m (θετική φορά προς τα πάνω), με μηδενική ταχύτητα. Για τη στιγμή t₂, να βρεθούν η επιτάχυνση του σώματος Σ, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται η ενέργεια ταλάντωσης εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης.

iv)  Πόση είναι η μηχανική ενέργεια που εμφανίζεται ως θερμική από τη στιγμή t₁, μέχρι τη στιγμή t₂;

v)   Μια άλλη χρονική  στιγμή t₃ το σώμα περνά από τη θέση y₃=-0,5m κινούμενο προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου υ₃=3,2m/s. Για τις χρονικές στιγμές t₁, t₂, t₃ ισχύει:

α)  t₁ < t₂ < t₃,    β)  t₁ < t₃ < t₂,   γ)  t₃ < t₁ < t₂.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Απάντηση:

 ή

 Η ενέργεια σε μια φθίνουσα ταλάντωση

 Η ενέργεια σε μια φθίνουσα ταλάντωση

Η ταλάντωση στην καρότσα του φορτηγού.

Ένα σώμα Σ μάζας 2kg είναι δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m και βρίσκεται στην λεία καρότσα ενός φορτηγού, όπως στο σχήμα. Με το σύστημα αυτό, μελετάμε τρεις κινήσεις, η μελέτη των οποίων θα γίνει ως προς έναν προσανατολισμένο άξονα x με αρχή το σημείο Ο, σημείο από το οποίο περνά το σώμα Σ τη στιγμή t₀=0. 

i) Το φορτηγό κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα v=2m/s, ενώ το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του.
Να βρεθεί η θέση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του σώματος Σ τη στιγμή t₁=(7π/30)s≈0,7 s.

ii) Το  φορτηγό παραμένει ακίνητο, ενώ το σώμα Σ εκτελεί ΑΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,2∙ημωt (S.Ι.):

α) Να βρεθεί η θέση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t₁.

β) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τη χρονική στιγμή t₂=π/4 s;

iii) Το φορτηγό κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα v, ενώ το σώμα Σ πάνω στην καρότσα τίθεται σε ταλάντωση με την ίδια, εξίσωση x=0,2∙ημωt (S.Ι.), ως προς την καρότσα του φορτηγού:

α) Τι τιμές θα πάρουν τώρα η θέση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t₁.

β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του Σ σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογίσετε τη μέγιστη και ελάχιστη κινητική του ενέργεια.

γ) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ τη χρονική στιγμή t₂;

Σημείωση: Όλα τα παραπάνω μεγέθη θα υπολογιστούν ως προς έναν ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος.

Απάντηση:

ή

  Η ταλάντωση στην καρότσα του φορτηγού.

 Η ταλάντωση στην καρότσα του φορτηγού.