Τι γίνεται στην ένωση δύο ράβδων;

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα στερεό ΑΒ, το οποίο μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το άκρο Α και το οποίο αποτελείται από δυο ομογενείς ράβδους ΑΟ και ΟΒ με ίδιο μήκος l και μάζας m και Μ. Κάποια στιγμή ασκούμε στο άκρο Β μια οριζόντια δύναμη F στο άκρο Β, κάθετη στη ράβδο.

Αμέσως μετά η ράβδος ΑΟ:

α) Δέχεται δύναμη από την ράβδο ΟΒ ίδιας φοράς με την F.

β) Δέχεται δύναμη από την ράβδο ΟΒ αντίθετης φοράς από την F.

γ) Εξαρτάται.

Ποια είναι η φορά της ροπής ζεύγους η οποία ασκείται στη ράβδο ΑΟ, λόγω αλληλεπίδρασης με την ΟΒ;

Απάντηση:

ή

Τι γίνεται στην ένωση δύο ράβδων;

Τι γίνεται στην ένωση δύο ράβδων;

Ο λόγος μεταβολής της στροφορμής…

Δύο ράβδοι ρ₁ και ρ₂ με μάζες Μ₁ και Μ₂ και μήκη ℓ₁ και ℓ₂=2ℓ₁ αντίστοιχα αρθρώνονται από τα

σημεία Α και Β όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Οι ροπές αδράνειας της κάθε ράβδου περί άξονα που διέρχεται από το άκρο της καθεμιάς είναι Ι₁= ⅓·M₁ ℓ₁² και Ι₂= ⅓·M₂ℓ₂². Οι ράβδοι ανυψώνονται σε κατάλληλα ύψη και συγκρούονται ελαστικά στην κατώτερη θέση όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Η ράβδος ρ₁ φέρει αβαρές εξόγκωμα στο άκρο της αμελητέων διαστάσεων ώστε στη διάρκεια της κρούσης να έρχονται σε επαφή τα άκρα των δύο ράβδων. Θεωρούμε ότι οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης κατά τη διάρκεια της κρούσης μένουν σταθερές. Ο λόγος του μέτρου της μεταβολής της στροφορμής, |ΔL1| της ράβδου ρ₁ προς το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής,  |ΔL2| της ράβδου ρ₂ κατά τη διάρκεια της κρούσης ως προς την άρθρωση της κάθε ράβδου είναι:

α)  |ΔL1|/  |ΔL2|=1                β) |ΔL1|/  |ΔL2|=1 /2                γ)  |ΔL1|/  |ΔL2|=2

Απάντηση

Η «ιδιοστροφορμή» μετατρέπεται σε στροφορμή

Μια οριζόντια ομογενής σανίδα ΑΟ μήκους l=2m και μάζας m=3kg μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα z₁, ο οποίος περνά από το άκρο της Α, χωρίς τριβές. Στο άλλο της άκρο Ο, έχει συνδεθεί κατακόρυφος άξονας z₂, γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστρέφεται οριζόντιος δίσκος ακτίνας R=1m και μάζας Μ=4kg. Θέτουμε τον δίσκο σε περιστροφή, όπως στο σχήμα (ο δίσκος είναι σε οριζόντιο επίπεδο ελαφρά πάνω από τη σανίδα, οπότε δεν εφάπτεται με αυτήν), με αρχική γωνιακή ταχύτητα 2rαd/s, ενώ η ράβδος συγκρατείται ακίνητη σε οριζόντια θέση και παρατηρούμε ότι εξαιτίας των τριβών μεταξύ του άξονα z₂ και του δίσκου, αυτός επιβραδύνεται και σταματά μετά από χρόνο t₁=40s.

i)  Να υπολογιστούν η αρχική στροφορμή του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του z₂ και η ροπή της τριβής που τον επιβραδύνει, θεωρώντας την σταθερή. Να σχεδιάστε πάνω στο σχήμα τα διανύσματα:

α) της αρχικής  στροφορμής και      β) της ροπής που δέχτηκε ο δίσκος από τον άξονα.

ii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα αφήνουμε ελεύθερη τη ράβδο να κινηθεί και παρατηρούμε ότι αυτή αρχίζει να περιστρέφεται.

α) Να ερμηνευθεί η περιστροφή της ράβδου γύρω από τον άξονα z.

β) Να υπολογιστεί η τελική γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.

γ) Πόση μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας των τριβών;

Δίνεται ότι η ιδιοστροφορμή (το spin) ενός στερεού είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε άξονα, παράλληλο προς τον άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του. Δίνονται επίσης οι ροπές αδράνειας των στερεών, ως προς τους άξονες περιστροφής τους. Για τη ράβδο Ι₁= (1/3)ml² και για το  δίσκο Ι₂= ½ ΜR²).

Απάντηση:

ή

Η «ιδιοστροφορμή» μετατρέπεται σε στροφορμή

Η «ιδιοστροφορμή» μετατρέπεται σε στροφορμή

Μια σανίδα περιστρέφεται μαζί με τη βάση

Μια λεπτή ομογενής σανίδα ΑΒ μήκους 2m και μάζας m=3kg, μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέσον της Ο και ο οποίος στηρίζεται σε βάση μάζας Μ, η οποία ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο (πάνω σχήμα). Η βάση έχει προσδεθεί στο άκρο νήματος, μήκους l₁=2m το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Κ. Θέτουμε τη σανίδα σε περιστροφή, με ωρολογιακή φορά και με γωνιακή ταχύτητα ω=2rαd/s. Στη συνέχεια ασκώντας στη βάση σταθερού μέτρου οριζόντια δύναμη F=5Ν, η διεύθυνση της οποίας παραμένει διαρκώς κάθετη στο νήμα, την θέτουμε σε κυκλική κίνηση γύρω από το σημείο Κ, μέχρι να διατρέξει (η βάση) μήκος τόξου s=16m αποκτώντας ταχύτητα υ₁=4m/s. Τη στιγμή αυτή η δύναμη παύει να ασκείται. 
Να υπολογιστούν:

i)  Το έργο της δύναμης F και η αύξηση της κινητικής ενέργειας της ράβδου εξαιτίας της κίνησης της βάσης στήριξής της.

ii)  Η μάζα Μ της βάσης.

iii)  Η τελική στροφορμή της σανίδας ως προς κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ο.

iv)  Η τελική στροφορμή της σανίδας  ως προς το κέντρο Κ περιστροφής.

v)  Η ολική στροφορμή του συστήματος βάση-σανίδα ως προς κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της σανίδας ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι= (1/12)ml².

Απάντηση:

ή

Μια σανίδα περιστρέφεται μαζί με τη βάση

Μια σανίδα περιστρέφεται μαζί με τη βάση

Σε πλήρη αντιστοιχία

Δύο ράβδοι Ρ₁ και Ρ₂ αρθρώνονται από κοινό σημείο Ο που περνά από το άκρο της κάθε μιας. Η κάθε ράβδος έχει ροπή αδράνειας Ι₁ και Ι₂ αντίστοιχα. Κάποια στιγμή οι ράβδοι έχουν γωνιακές ταχύτητες ω₁ και ω₂ αντίστοιχα και συγκρούονται ελαστικά.

Να βρείτε σχέσεις, (εκφράσεις) που να δίνουν τις γωνιακές ταχύτητες των ράβδων στο τέλος της κρούσης συναρτήσει των μεγεθών ω₁, ω₂, Ι₁ και Ι₂.

Απάντηση

Ο δίσκος περιστρέφεται από μεταβλητή δύναμη

Ο οριζόντιος ομογενής δίσκος του σχήματος, μάζας Μ=(37/8)kg και ακτίνας R=4m, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο. Σε απόσταση r=1m από το κέντρο Ο, βρίσκεται κολλημένη μια όρθια πρισματική ράβδος, μήκους l=2m και μάζας m=3kg. Γύρω από τον δίσκο τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα και κάποια στιγμή t₀=0, ασκούμε στο άκρο του οριζόντια δύναμη F, το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως στο διάγραμμα.

i) Για τη χρονική στιγμή t₁=2s, να βρεθούν:

α) Η ροπή αδράνειας του στερεού δίσκος-ράβδος.

β) Η στροφορμή του συστήματος και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του, ως προς τον άξονα z.

γ) Η ισχύς της δύναμης F, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου και του δίσκου.

ii) Για το χρονικό διάστημα από t₁=2s έως t₂=4s να υπολογιστούν:

α) Η μεταβολή της στροφορμής του συστήματος δίσκος-ράβδος.

β)Το έργο της δύναμης F.

iii) Τη χρονική στιγμή t₃=5s, η ράβδος ανατρέπεται και προσκολλάται πάνω στο δίσκο, στη διεύθυνση μιας ακτίνας, όπως στο σχήμα. Να υπολογιστεί η τελική κινητική ενέργεια της ράβδου.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι_κ= ½ ΜR², ενώ η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι_ρ= (1/12)ml².

Απάντηση:

ή

Ο δίσκος περιστρέφεται από μεταβλητή δύναμη

Ο δίσκος περιστρέφεται από μεταβλητή δύναμη

Η στροφορμή και μια κρούση

Ένας οριζόντιος δίσκος μάζας Μ=2kg και ακτίνας R=2m στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο, με γωνιακή ταχύτητα ω=0,5rad/s. Ένα σώμα Σ, που θεωρείται υλικό σημείο μάζας m=1kg, αφήνεται να πέσει από ύψος h=0,8m, πάνω από το δίσκο και προσκολλάται σε αυτόν, στο σημείο Α, σε απόσταση x=1m από το κέντρο Ο του δίσκου.

i)  Να βρεθεί ελάχιστα πριν την κρούση του σώματος Σ με το δίσκο:

α) Η ταχύτητα του σώματος Σ καθώς και η στροφορμή του κατά (ως προς) τον άξονα z.

β) Η στροφορμή του σώματος Σ ως προς το κέντρο Ο του δίσκου, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της.

ii) Ποια η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος, μετά την προσκόλληση του Σ πάνω στο δίσκο.

iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της στροφορμής:

α) του σώματος Σ   και   β) του δίσκου

που οφείλεται στην κρούση, ως προς το κέντρο Ο του δίσκου.

iv) Να υπολογιστεί η απώλεια μηχανικής ενέργειας που οφείλεται στην κρούση.

Δίνεται g=10m/s² ενώ η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονά του z, Ι= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

Η στροφορμή και  μια κρούση

Η στροφορμή και  μια κρούση

Στροφορμή Γης

Γνωρίζουμε ότι η Γη έχει δύο στροφορμές, μία λόγω περιστροφής γύρω από τον Ήλιο και μία λόγω

της ιδιοπεριστροφής της.

Α. Πόση είναι η ιδιοστροφορμή της, (spin);

Β.

i) Πόση είναι η στροφορμή της Γης ως προς το κέντρο του  Ήλιου;

ii) Πόση είναι η στροφορμή της Γης κατά τον άξονα που διέρχεται από τον ήλιο και είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς;

Δίνονται:

Η μάζα της Γης είναι  Μ_e=5,97·10²⁴kg και η ακτίνα της R_e=6,38·10⁶m. Η ακτίνα περιφοράς γύρω από τον Ήλιο είναι περίπου r_s,e=1,50·10¹¹m θεωρώντας την τροχιά κυκλική. Η περίοδος περιφοράς γύρω από τον Ήλιο είναι T_τρ.=365,25 μέρες, και η περίοδος περιστροφής γύρω από τον εαυτό της T_spin=23hr 56min.

Ο άξονας ιδιοπεριστροφής της Γης παρουσιάζει μια κλίση (tilt) περίπου 23,5º σε σχέση με την κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς της.

Η ροπή αδράνειας της Γης ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της είναι Ι_cm=0,4·Μ_e·R_e² θεωρώντας τη Γη ομογενή συμπαγή σφαίρα.

Απάντηση

Μια σφαίρα σε κεκλιμένο επίπεδο

Μια ομογενής σφαίρα μάζας m=14kg και ακτίνας R=0,1m, αφήνεται να κινηθεί στο σημείο Α  του κεκλιμένου επιπέδου του σχήματος και τη στιγμή t₁, περνά με ταχύτητα κέντρου μάζας υ₁=5m/s από τη θέση Β, όπου διαφοροποιείται η φύση του επιπέδου (διαφορετικός συντελεστής τριβής…), φτάνοντας στη συνέχεια στη θέση Γ, με αντίστοιχη ταχύτητα υ₂=10m/s. (Στο σχήμα, βλέπετε με μπλε γραμμή το πρώτο μέρος του κεκλιμένου επιπέδου και με κόκκινη, το υπόλοιπο).

i)  Αν στο πρώτο τμήμα του επιπέδου, από τη θέση Α μέχρι τη θέση Β η σφαίρα κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει), να βρεθεί η κατακόρυφη απόσταση h₁, μεταξύ των δύο θέσεων.

ii) Αν η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των σημείων Β και Γ είναι h₂=3,75m, να υπολογιστεί η αύξηση της κινητικής ενέργειας της σφαίρας μεταξύ των δύο αυτών θέσεων.

iii) Αν η κλίση του κεκλιμένου επιπέδου είναι θ=30°, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής της, που περνά από το κέντρο της Ο, για την κίνηση:

 α) Από το Α στο Β,

  β) Από το Β στο Γ.

iv) Να υπολογιστεί η στροφορμή της σφαίρας, ως προς τον ίδιο άξονα, τις χρονικές στιγμές:

 α) t₂=t₁-1s  και β)  t₃=t₁+1s

Δίνεται g=10m/s² και η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της Ι=(2/5)mR².

Απάντηση:

ή

Μια σφαίρα σε κεκλιμένο επίπεδο

Μια σφαίρα σε κεκλιμένο επίπεδο

Έργα και ροπές σε μια τροχαλία

Η τροχαλία του σχήματος, αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονικούς δίσκους με ακτίνες R και r=0,2m αντίστοιχα. Στον δίσκο ακτίνας r έχουμε τυλίξει αρκετές φορές ένα αβαρές μη εκτατό νήμα, στο άκρο Α του οποίου ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη μέτρου F₁=4Ν, όπως στο σχήμα. Τη στιγμή που το σημείο Α έχει κατέβει κατά h₁=2,5m, έχει ταχύτητα υ=1m/s.

i) Να υπολογιστεί η ενέργεια που μεταφέρεται στην τροχαλία μέσω της δύναμης F₁, καθώς και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας.

ii)  Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα τυλίγουμε το νήμα στο μεγάλο δίσκο και τραβάμε το άκρο Α πλάγια, ασκώντας σταθερή δύναμη F₂, η ροπή της οποίας ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας είναι τ₂=1,6Ν∙m, μέχρι τη στιγμή t₂ που η τροχαλία ολοκληρώνει (8/π) περιστροφές. Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τη στιγμή t₂.

iii) Τυλίγουμε τώρα δύο παρόμοια νήματα, ένα στον μεγάλο και ένα στο μικρό δίσκο, ασκώντας τις ίδιες δυνάμεις F₁ και F₂ στα άκρα τους Β και Γ, όπως στο τρίτο σχήμα. Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τη στιγμή που το άκρο Β θα έχει μετακινηθεί κατά h₂=0,4m.

Απάντηση:

ή

Έργα και ροπές σε μια τροχαλία

Έργα και ροπές σε μια τροχαλία

Κύλιση και ταλάντωση

Στο σχήμα απεικονίζεται ράβδος μάζας Μ και μήκους l που στηρίζεται πάνω σε δύο όμοιους κυλίνδρους μαζών m και ακτίνας r ο καθένας. Το σύστημα συγκρατείται στη θέση αυτή, και το ελατήριο, σταθεράς k ,είναι προσδεμένο στη ράβδο και έχει το φυσικό του μήκος. Αφήνουμε τη χρονική στιγμή t=0 ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί. Οι τριβές που αναπτύσσονται μεταξύ των κυλίνδρων και του κεκλιμένου επιπέδου, καθώς και με τη ράβδο, είναι στατικές. Έτσι έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση.
Δίνονται: Μ,m,l ,g ,k,φ,Icm=1/2 mr^2
1.Σε πόση απόσταση d θα σταματήσει στιγμιαία η ράβδος για 1η φορά;
2.Πόση είναι η μέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει, και πόση θα είναι τότε η στροφορμή του κάθε κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του;
3. Ποιες χρονικές στιγμές θα συμβούν τα προηγούμενα γεγονότα;
4. Πόση είναι η μέγιστη στατική τριβή που ασκείται μεταξύ του κάθε κυλίνδρου και α) του κεκλιμένου επιπέδου β) της ράβδου .
Κάποια στιγμή που το ελατήριο είναι στο φυσικό του μήκος, αποσυνδέεται το ελατήριο από τη ράβδο.
5. Πόση είναι η ταχύτητά της, τη στιγμή που το πάνω άκρο της εγκαταλείπει τον πάνω κύλινδρο; Δίνεται ότι κι εδώ έχουμε στατικές τριβές.
η συνέχεια εδώ