DOPPLER ΚΑΙ ΜΗΚΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ (ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΗΧΟ)

Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α >>>>>>

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α >>>>>>

Μηχανική ενέργεια και ενέργεια Ταλάντωσης.

Ένα σώμα μάζας 3kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k₁= k=100Ν/m, όπως στο σχήμα, ευρισκόμενο σε ύψος h=0,7m  από το έδαφος. Ασκώντας πάνω του μια εξωτερική δύναμη F₁, το μετακινούμε κατακόρυφα ανεβάζοντάς το κατά d=0,3m και το αφήνουμε να ταλαντωθεί, εκτελώντας ΑΑΤ. Θεωρείστε ότι το σώμα, αμελητέων διαστάσεων, έχει μηδενική δυναμική ενέργεια όταν βρίσκεται στο έδαφος και g=10m/s².

i)   Να υπολογίσετε την αρχική μηχανική ενέργεια του  συστήματος σώμα-Γη-ελατήριο καθώς και το έργο της εξωτερικής δύναμης F₁ για την εκτροπή του σώματος. Πόση είναι τελικά η μηχανική ενέργεια του συστήματος και πόση η ενέργεια ταλάντωσης;

ii)  Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα τοποθετούμε κάτω από το σώμα ένα δεύτερο κατακόρυφο ελατήριο, σταθεράς k₂=k και φυσικού μήκους ℓ₀=0,9m, με τον άξονά του να ταυτίζεται με τον άξονα του πάνω ελατηρίου και αφήνουμε το σώμα να κινηθεί. Να αποδείξτε ότι μόλις το  σώμα έρθει σε επαφή με το κάτω ελατήριο, θα ξεκινήσει μια νέα ταλάντωση, η οποία είναι επίσης ΑΑΤ, υπολογίζοντας την ενέργεια της ταλάντωσης αυτής.

iii) Να υπολογίστε τη μηχανική ενέργεια του συστήματος σώμα-Γη-ελατήριο στη διάρκεια της δεύτερης ταλάντωσης.

Απάντηση

ή

Μηχανική ενέργεια και ενέργεια Ταλάντωσης.

Οι δύο αισθητήρες

Το σώμα του σχήματος κρέμεται σε ελατήριο. Το κρατάμε με το χέρι μας ώστε το ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος και του δίνουμε ώθηση προς τα κάτω.

Με τη βοήθεια δύο αισθητήρων καταγράφουμε την δύναμη του ελατηρίου (ας θεωρηθεί αμελητέας μάζας) και τη θέση του σώματος.

Περνάμε τις μετρήσεις σε λογιστικό φύλλο και κάνουμε τη γραφική παράσταση της δύναμης του ελατηρίου συναρτήσει της θέσης του αναφορικά με τον αισθητήρα θέσης.

Η ένδειξη του αισθητήρα δύναμης είναι θετική όταν το σώμα δέχεται δύναμη από το ελατήριο προς τα πάνω.

Η γραφική παράσταση που κάναμε παρατίθεται. 

Συνέχεια:

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΣΩΜΑ ΚΑΙ ΟΡΙΑΚΗ ΤΡΙΒΗ

Σανίδα μάζας M=4kg βρίσκεται πάνω σε δάπεδο με το οποίο παρουσιάζει τριβές με συντελεστή οριακής τριβής μ_ορ.=0,8. Πάνω σ’ αυτό ισορροπεί άλλο σώμα μάζας m=1kg, το οποίο είναι δεμένο με ελατήριο σταθεράς  k=100N/m και φυσικού μήκους L₀=1m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε προεξοχή του σώματος Μ στο άκρο του. Μεταξύ των σωμάτων δεν υπάρχει τριβή. Tο c.m. του σώματος Μ  και η θέση Φ.Μ. του ελατηρίου βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο.

Δίνεται g=10m/s².

1.      Ποια η μέγιστη τιμή του d ώστε η σανίδα να μην ολισθήσει στο δάπεδο.

2.      Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος θεωρώντας το πλάτος ίσο με d_max και θετική φορά προς τα δεξιά.

3.      Πόση είναι η στατική τριβή τη στιγμή t₁ που το σώμα m έχει διανύσει απόσταση 1,5d_max ; Ποια η χρονική στιγμή t₁ Να κάνετε γραφική παράσταση της στατικής τριβής σε συνάρτηση της απομάκρυνσης x.

4.      Επαναλαμβάνουμε τοποθετώντας τη σανίδα σε επιφάνεια με την οποία δεν παρουσιάζει τριβή. Αφήνουμε το σώμα m να κινηθεί τη χρονική στιγμή t=0 από τη θέση που έχουμε συσπειρώσει το ελατήριο κατά d_max. Πόση είναι η ταχύτητά του όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό του μήκος; Ποια χρονική στιγμή θα συμβεί αυτό; Δίνεται ότι, αν ένα ελατήριο σταθεράς k και φυσικού μήκους L₀, το κόψουμε σε δύο τμήματα μηκών L₁ και L₂ και σταθερών k₁ , k₂ αντίστοιχα, τότε ισχύει: k₁L₁=k₂L₂=kL₀

   Απάντηση:

Γ.Α.Τ. ή όχι;

Σημειακό σώμα μάζας m=2kg ισορροπεί με την βοήθεια δύο όμοιων ιδανικών ελατηρίων όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

Τα ελατήρια έχουν σταθερές Κ₁= Κ₂=100Ν/m και βρίσκονται σε επαφή με το σημειακό σώμα ενώ είναι στερεωμένα σε δύο κατακόρυφους τοίχους που απέχουν μεταξύ τους οριζόντια απόσταση d=1m.To φυσικό μήκος του κάθε ελατηρίου είναι  L₁=L₂=0,6m.Την χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε το σημειακό σώμα με οριζόντια ταχύτητα μέτρου u₀  προς τα δεξιά. Να βρεθούν:

α) Η μέγιστη ταχύτητα u₀ για την οποία το σώμα εκτελεί γ.α.τ.

β) Η μέγιστη απόσταση των ακραίων θέσεων της ταλάντωσης αν η αρχική ταχύτητα είχε μέτρο u₀=2m/s.

γ) Η  ποιοτική γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σώματος από την θέση ισορροπίας του συστήματος όταν η αρχική ταχύτητα  ήταν u₀=2m/s.

Δίνεται (10)^1/2=3,16  (2)^1/2=1,41 όταν ημ φ=0,63  φ=π/9

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μια ταλάντωση με κρούση. Ορμή και ενέργειες.

Το σώμα Σ μάζας m₁ ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, µε πλάτος Α και περίοδο Τ. Όταν το σώμα µάζας Σ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας συγκρούεται πλαστικά µε το σώμα Β, μάζας m₂ που έπεφτε ελεύθερα από ύψος h,  και το σύστημα συνεχίζει να ταλαντώνεται.

i) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες:

α)  Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης έµεινε η ίδια.

β)  Κατά τη διάρκεια της κρούσης η ορμή του συστήματος των δύο σωμάτων διατηρείται

γ) Η ορμή του συστήματος στην οριζόντια διεύθυνση, ελάχιστα πριν την κρούση, είναι ίση με την ορμή του ελάχιστα µετά την κρούση.

δ) Η περίοδος της ταλάντωσης αυξήθηκε.

ε) Η ενέργεια της ταλάντωσης μειώθηκε.

ii) Να υπολογίσετε την απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση, σε συνάρτηση με το ύψος h. Πότε η απώλεια αυτή είναι ελάχιστη;

iii) Αν η κρούση δεν πραγματοποιηθεί στη θέση ισορροπίας, αλλά σε απομάκρυνση x, να βρεθεί η συνθήκη για την ελάχιστη μείωση της ενέργειας ταλάντωσης.

Απάντηση:

ή

Μια ταλάντωση με κρούση. Ορμή και ενέργειες

Το φρενάρισμα ενός κυλίνδρου.

Σε οριζόντιο επίπεδο κυλίεται (χωρίς ολίσθηση) ένας βαρύς κύλινδρος μάζας Μ=100kg και ακτίνας R=0,4m με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας υ_0cm=6m/s. Γύρω από τον κύλινδρο έχουμε  τυλίξει ένα αβαρές νήμα και ασκώντας, στο άκρο του Α, τη στιγμή t=0, μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, τον ακινητοποιούμε, μετά από λίγο. Το «φρενάρισμα» αυτό διαρκεί χρονικό διάστημα Δt=10s, στη διάρκεια του οποίου ο κύλινδρος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει).

Να βρεθούν:

i) Η επιτάχυνση (επιβράδυνση) του κυλίνδρου και η απόσταση που διανύει, μέχρι να σταματήσει.

ii) Το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F, καθώς και η τριβή που ασκείται στον κύλινδρο από το έδαφος.

iii) Η ισχύς της δύναμης F και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής (μέτρο και κατεύθυνση) του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του, τη χρονική στιγμή t₂=5s

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι_cm= ½ ΜR² .

Απάντηση:

ή

Το φρενάρισμα ενός κυλίνδρου.

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΖΥΓΑΡΙΑ ΜΠΑΝΙΟΥ

Άνθρωπος μάζας m=100kg είναι πάνω σε ζυγαριά μπάνιου. Τη χρονική στιγμή t=0 αρχίζει να ταλαντώνεται αρμονικά πάνω-κάτω με τη βοήθεια των μυών των ποδιών του, ξεκινώντας προς τα πάνω. Τη χρονική στιγμή t=2π s έχει πραγματοποιήσει 10 πλήρεις ταλαντώσεις. Παρατηρεί ότι η μέγιστη ένδειξη της ζυγαριάς είναι 110kg  και η ελάχιστη 90kg.

Δίνεται g=10m/s2. Να υπολογίσετε:

1.  Την σταθερά D των μυών των ποδιών του .

2.  Το πλάτος ταλάντωσης του κέντρου μάζας του σώματός του.

Κάποια στιγμή σταματά και επαναλαμβάνει με τη μέγιστη δυνατή επιτάχυνση του κέντρου μάζας, του κάνοντας και πάλι Α.Α.Τ. Το πλάτος ταλάντωσης είναι τότε Α=10cm.

3.  Ποια η μέγιστη και ποια η ελάχιστη ένδειξη της ζυγαριάς.

4.  Πόση είναι η μέγιστη κινητική ενέργεια και ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της.  Δίνεται ότι ημ2φ=2ημφσυνφ.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

Πλαστική κρούση σε οριζόντιο ελατήριο

Τα σώματα (Α) και (Β) του σχήματος που έχουν μάζες m_A=2π/3m και m_B=m βρίσκονται ακίνητα πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο του σχήματος και απέχουν απόσταση d. Τo σώμα (Β) είναι δεμένο με το ελατήριο του σχήματος το οποίο βρίσκεται στη Θ.Φ.Μ. του. Τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε το σώμα (Α) με ταχύτητα μέτρου v₁=30/π m/s ενώ στο σώμα (Β) του δίνουμε ταχύτητα μέτρου v₂=40m/s και στη συνέχεια εκτελεί ταλάντωση. Τα δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά σε ένα σημείο Λ (αριστερά της Θ.Φ.Μ.) τη χρονική στιγμή t₁ = 2π/15s, έχοντας αντίθετες ταχύτητες. Το σώμα Β στη θέση Λ έχει ταχύτητα μέτρου υ′₂ και ισχύει η σχέση U = 3K, όπου U η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του και Κ η κινητική του ενέργεια. Να βρεθούν:

α) To μέτρο της ταχύτητας v₂΄ του σώματος Β πριν την κρούση με το σώμα Α.

β) Να βρεθεί η μικρότερη τιμή που πρέπει να έχει η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Β, ώστε να συγκρουστεί με το σώμα Α στη θέση Λ.

γ) Την αρχική απόσταση d των δύο σωμάτων.

δ) Πόσο θα απέχει από τη θέση Λ το συσσωμάτωμα, τη στιγμή που σταματάει  στιγμιαία για πρώτη φορά μετά την δημιουργία του.

Δίνεται ως θετική φορά, η φορά προς τα δεξιά και √3=1,7.

Απάντηση

Ένα κατακόρυφο ελατήριο που είναι στη μόδα!

Πάνω σε ένα κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=200 Ν/m  έχουμε στερεώσει ένα  σημειακό  ελαστικό σώμα μάζας  m₁=1 kg.

Πάνω στο σώμα μάζας m₁ τοποθετούμε χωρίς να προσδένουμε δεύτερο ελαστικό σημειακό σώμα μάζας m₂= 1 kg. Πάνω στη  ίδια κατακόρυφο του ελατηρίου και από ύψος Η=0,45  m πάνω από το σώμα μάζας m₂ αφήνουμε  ελεύθερο τρίτο ελαστικό σώμα μάζας m₃=1  kg.Τη στιγμή που η ταχύτητα του σώματος με μάζα m₃ μηδενίζεται αφαιρούμε  το σώμα αυτό.

α)Ποιες οι  ταχύτητες  όλων των σωμάτων μετά την ελαστική κρούση.

β)Πόσες κρούσεις θα γίνουν συνολικά;

γ)Ποιο το μέγιστο ύψος που θα φτάσει το σώμα μάζας m₂.

Δίνεται το g=10m/s².

ΑΠΑΝΤΗΣΗ