Κρούση δύο σφαιρών…μέσω ελατηρίων

Οι σφαίρες του παρακάτω σχήματος μπορούν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν πάνω σε οριζόντιο επίπεδο έχοντας αρχικές ταχύτητες υ_ocm1=3m/sec και υ_ocm2=1m/sec .Οι σφαίρες έχουν την ίδια ακτίνα R=0,2m και την ίδια μάζα m=1Kg.

Η κάθε σφαίρα έχει περασμένη συμμετρικά από το κέντρο της μία οριζόντια αβαρή και άκαμπτη βελόνα μήκους 3R. Στα άκρα της βελόνας που είναι περασμένη στη δεύτερη σφαίρα  είναι κολλημένα δύο οριζόντια ελατήρια φυσικού μήκους Lo=0,5m και σταθεράς Κ=140Ν/m το καθένα.

Α)  Να αποδείξετε ότι οι σφαίρες μόλις   θα έρθουν σε επαφή.

Β)  Το μέτρο του μέγιστου ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της κάθε σφαίρας

Γ)  Τα μέτρα των τελικών ταχυτήτων των κέντρων μάζας των δύο σφαιρών.

Δίνεται Ι_cm=0,4MR².

Aπάντηση:

Δύο σώματα και ελατήριο

Η άσκηση αφιερώνεται στο Διονύση Μάργαρη με την ευκαιρία μελέτης των ενεργειών στις κρούσεις.
Δύο σώματα με μάζες m1=1Kg και m2=2Kg συνδέονται μέσω ελατηρίου σταθεράς Κ=100N/m και φυσικού μήκους l0=90cm όπως στο σχήμα. Το σώμα m2 συνδέεται με αβαρές μη εκτατό νήμα, που έχει όριο θραύσης Τορ=9Ν, με ακλόνητο σημείο.
Το επίπεδο είναι λείο και στο σώμα μάζας m1 ασκούμε οριζόντια δύναμη F=200x (όπου χ η μετατόπιση του σώματος με μάζα m1), την οποία καταργούμε μόλις σπάσει το νήμα.
1. Ποιά η μέγιστη απόσταση των σωμάτων μετά το σπάσιμο του νήματος;
2.Μετά από πόσο χρόνο θα συμβεί αυτό;
3. Ποιες ακραίες τιμές ταχύτητας του σώματος με μάζα m2;
4. Πως μεταβάλλεται με το χρόνο η μετατόπιση του σώματος με μάζα m2 από την αρχική θέση;
(Δίδεται ημ490=0,75)
Συνέχεια docxpdf

15. Κύλιση με ολίσθηση (αρχικά σε πλάγιο και στη συνέχεια σε οριζόντιο επίπεδο)

Στερεός κύλινδρος μάζας m=4Kg και ακτίνας R=0,2m κατέρχεται υπό την επίδραση του βάρους του σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ με ημφ=0,6 και συνφ=0,8. Αν ο κύλινδρος καθώς κατεβαίνει κυλίεται ενώ ταυτόχρονα  ολισθαίνει  και η κίνησή του διαρκεί t=2s, τότε:

α) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του Κ.Μ του και η γωνιακή του ταχύτητα όταν φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου.

β) Να υπολογιστεί το έργο της τριβής ολίσθησης κατά την κίνηση του κυλίνδρου στο κεκλιμένο επίπεδο.

γ) Όταν φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου συναντάει οριζόντιο επίπεδο με τον ίδιο συντελεστή τριβής. Τι κίνηση θα κάνει ο κύλινδρος στο οριζόντιο επίπεδο και σε πόσο χρόνο θα αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει;

δ) Πόση είναι η απώλεια της μηχανικής του ενέργειας στο οριζόντιο επίπεδο, μέχρι να αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει;

ε) Για ποιες γωνίες του κεκλιμένου επιπέδου, έχουμε στο κεκλιμένο επίπεδο κύλιση χωρίς ολίσθηση;

Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης που τον θεωρούμε ίσο με το συντελεστή στατικής τριβής με τις επιφάνειες μ=0,2 και ακόμη Ι=0,5mR²  και g=10m/s².

Λύση:

Μια περισσότερο ιδιόμορφη «κρούση».

Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια λεπτή σανίδα μάζας Μ. Εκτοξεύουμε  οριζόντια, από το άκρο της σανίδας, μια σφαίρα ίδιας μάζας Μ με αρχική ταχύτητα υ₀ και με κινητική ενέργεια 40J, η οποία δεν περιστρέφεται. Παρατηρούμε ότι η σφαίρα αρχίζει να περιστρέφεται, ενώ ταυτόχρονα η σανίδα κινείται προς τα δεξιά επιταχυνόμενη για λίγο, ενώ στη συνέχεια τόσο η σφαίρα, όσο και η σανίδα κινούνται με σταθερές ταχύτητες.

i)  Μπορείτε να ερμηνεύσετε τις παραπάνω παρατηρήσεις;

ii) Αποδείξτε ότι όταν τα σώματα αποκτήσουν σταθερές ταχύτητες ισχύει υ_cm-ωR=υ₁, όπου υ_cm η ταχύτητα του άξονα της σφαίρας, ω η γωνιακή της ταχύτητα και υ₁ η ταχύτητα της σανίδας.

iii) Ας πάρουμε ένα νοητό σταθερό οριζόντιο άξονα z, ο οποίος ταυτίζεται με την αρχική θέση του άξονα περιστροφής της σφαίρας. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της στροφορμής του συστήματος σφαίρα-σανίδα, ως προς τον άξονα z, σε συνάρτηση με το χρόνο.

iv)Να υπολογιστεί η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της τριβής που αναπτύχθηκε μεταξύ σφαίρας και σανίδας.

Μια περισσότερο ιδιόμορφη «κρούση».

Μια περισσότερο ιδιόμορφη «κρούση».

14. Δυο _ράβδοι

ο στερεό του σχήματος αποτελείται από δυο ράβδους. Την (ΟΒ)=L₁=0,2m με μάζα m₁=3Kg και την (ΒΓ)=L₂=0,6m με μάζα m₂=1Kg, που συγκολλούνται στο κοινό τους άκρο Β. Κάθετα στις δυο ράβδους ασκούνται οι δυνάμεις F₁=16N και F₂=2N με τη φορά που φαίνεται στο σχήμα. H F₁
εφαρμόζεται στο άκρο Γ της ΒΓ και η F₂ στο μέσο Α της ΟΒ. Λόγω τριβών με τον άξονα περιστροφής το σύστημα ισορροπεί σχηματίζοντας γωνία φ=60⁰ με την κατακόρυφο.
α) Ποια είναι η συνολική ροπή που ασκείται στη ράβδο από την τριβή με τον άξονα περιστροφής;
β) Ποια είναι η συνολική δύναμη που ασκείται από τον άξονα περιστροφής στη ράβδο όταν αυτή ισορροπεί;
γ) Ρίχνουμε λίγο λαδάκι και μηδενίζουμε τις τριβές με τον άξονα περιστροφής οπότε το σύστημα ξεκινά να περιστρέφεται από την ηρεμία. Τότε να υπολογιστεί το έργο όλων των δυνάμεων και η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος μόλις αυτό γίνει κατακόρυφο για πρώτη φορά.
δ) Αν εκείνη τη στιγμή που γίνεται κατακόρυφο, συγκρούεται ελαστικά στο κατώτερο άκρο του, με σημειακή μάζα m=1Kg που κινείται με σταθερή ταχύτητα υ=10m/s σχηματίζοντας με την κατακόρυφο, γωνία 30⁰, και αν θεωρήσουμε  τις επιφάνειες λείες, τότε:
i) Να υπολογιστούν η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου καθώς και η ταχύτητα της μάζας m αμέσως μετά την κρούση.
ii) Πόση είναι η μέγιστη ενέργεια παροδικής παραμόρφωσης;
ε) Πόση είναι η αντίδραση από τον άξονα στήριξης αμέσως μετά την κρούση;
Δίνεται 3^1/2=1,7 και η ροπή αδράνειας ράβδου ως προς το Κ.Μ της είναι Ι=1/12mL².
Λύση:

Ένα μολύβι που πέφτει.

Τοποθετούμε τη μύτη ενός μολυβιού  μήκους ℓ στο νύχι του χεριού μας και φέρνουμε το μολύβι σε κατακόρυφη θέση. Το αφήνουμε να πέσει, οπότε η μύτη του εγκαταλείπει το νύχι σε μια θέση που σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη. Στη θέση αυτή η γωνιακή ταχύτητα του μολυβιού είναι ω. Να χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.

i)  Ελάχιστα πριν χαθεί η επαφή με το χέρι, η ταχύτητα του άκρου Α είναι μηδενική, ενώ του άκρου Β είναι υ_Β=ω∙ℓ.

ii) Αμέσως μετά το χάσιμο της επαφής, το άκρο Α έχει ταχύτητα υ_Α=ω∙ℓ/2, ενώ το άκρο Β υ_Β=ω∙ℓ/2.

iii) Ποια από τις παρακάτω εικόνες δείχνει τη θέση του μολυβιού μετά από λίγο χρόνο t₁;

Απάντηση

Ένα μολύβι που πέφτει.

Ένας αρμονικός ταλαντωτής χωρίς ελατήριο

Οι άξονες δύο ομοίων κυλίνδρων Κ1 και Κ2 είναι παράλληλοι,
βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σε απόσταση 2d. Αφήνουμε μία ισοπαχή ομογενή δοκό Δ μάζας m και ύψους 2h πάνω στους κυλίνδρους έτσι ώστε το μέσον της να βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το μέσον της απόστασης Κ1Κ2. Με κατάλληλο μηχανισμό βάζουμε τους κυλίνδρους σε περιστροφή, όπως δείχνει το σχήμα. Ο συντελεστής τριβής ανάμεσα στη δοκό και στους κυλίνδρους είναι μ. Απομακρύνουμε την δοκό από την θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί.

i) Να αποδείξετε ότι για μικρές τιμές του ύψους της δοκού και της αρχικής απομάκρυνσης, η δοκός εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
ii) Να βρείτε την μέγιστη τιμή του ύψους της δοκού ώστε αυτή να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
iii) Να μελετήσετε την κίνηση της δοκού στην περίπτωση που το ύψος της είναι μεγαλύτερο από αυτό του ερωτήματος ii).

Απάντηση σε  ή

Ένας αρμονικός ταλαντωτής χωρίς ελατήριο

 

Μια ιδιόμορφη "κρούση".

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια λεπτή και μακριά σανίδα μήκους ℓ και μάζας Μ=4kg. Ένα σώμα Α, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο, μάζας m=2kg, εκτοξεύεται από το ένα άκρο της σανίδας με αρχική ταχύτητα υ₀=10m/s. Αν το μισό μήκος της σανίδας είναι λείο, ενώ ο συντελεστής τριβής μεταξύ του Α και του υπόλοιπου μισού της σανίδας είναι μ=0,4, ενώ η τελική ταχύτητα του Α, τη στιγμή που εγκαταλείπει την σανίδα, είναι  υ₁=6m/s, να βρεθούν:

i)   Η ταχύτητα την οποία αποκτά η σανίδα.

ii)  Η επιτάχυνση την οποία απέκτησε η σανίδα, καθώς και το χρονικό διάστημα της επιτάχυνσής της.

iii) Η μηχανική ενέργεια που μετετράπη σε θερμική εξαιτίας της τριβής.

iv) Το χρονικό διάστημα που το σώμα Α είναι σε επαφή με την σανίδα.

Δίνεται g=10m/s².

Μια ιδιόμορφη κρούση.

Μια ιδιόμορφη κρούση.

Μια σφαίρα με λιπαντικό

Μία σφαίρα με  μάζα Μ=1Kg  και ακτίνας R=2,5/π m την ρίχνουμε μέσα σε μία λιπαντική  ουσία μέχρι η μισή ακριβώς να λιπανθεί ενώ η υπόλοιπη να μείνει χωρίς λιπαντική ουσία. Το στρώμα της λιπαντικής ουσίας είναι λεπτότατο και δεν μπορεί να μετακινηθεί.  Ανεβάζουμε τη σφαίρα πάνω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο μεγάλου μήκους με γωνίας κλίσης φ με ημφ=0,7  και με το χαμηλότερο σημείο της σφαίρας να είναι σε επαφή με τη διαχωριστική επιφάνεια της σφαίρας που έχει το λιπαντικό. Αφήνουμε τη σφαίρα ελεύθερη και αρχικά η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Μόλις η σφαίρα εκτελέσει μισή περιστροφή έρχεται σε επαφή η λιπαντική ουσία με το κεκλιμένο επίπεδο. Η λιπαντική ουσία επιτρέπει την σφαίρα να κινείται χωρίς τριβές όταν φυσικά είναι σε επαφή εκείνο το κομμάτι της σφαίρας που έχει το λιπαντικό. Όταν  η σφαίρα θα έχει διαγράψει μία πλήρη περιστροφή να βρεθούν:

Α)  H ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας .

Β) Η ταχύτητα του πιο απομακρυσμένου σημείου της σφαίρας από το κεκλιμένο επίπεδο καθώς και του σημείου που βρίσκεται σε επαφή με το κεκλιμένο επίπεδο.

Γ)  Η ολική κινητική ενέργεια της σφαίρας.

Δ) Η γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας  σε συνάρτηση με το χρόνο μέχρι η σφαίρα να εκτελέσει μία πλήρη περιστροφή.

Για τη σφαίρα δίνεται Ιcm=0,4MR²

Απάντηση:

Ερωτήσεις στις κρούσεις

Οι εκφωνήσεις εδώ
Οι απαντήσεις εδώ

Κρούση, ολίσθηση και Doppler

Μία ομογενής σανίδα μάζας Μ=4kg και μήκους L βρίσκεται ακίνητη πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο αριστερό άκρο της σανίδας, όπως φαίνεται στο σχήμα, βρίσκεται σώμα Σ₂ μάζας m₂=1kg, το οποίο φέρει δέκτη (Δ) ηχητικών κυμάτων αμελητέας μάζας και είναι ελεύθερο να κινηθεί πάνω στη σανίδα, με την οποία εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4. Σε μεγάλη απόσταση από τη σανίδα και στην ίδια διεύθυνση με το σώμα Σ₂ βρίσκεται πηγή S εκπομπής ηχητικών κυμάτων συχνότητας f_S=850Hz. Ένα δεύτερο σώμα Σ₁ μάζας m₁=0,5kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου u₁ και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ₂ που βρίσκεται πάνω στη σανίδα, με αποτέλεσμα αμέσως μετά την κρούση, που λαμβάνεται ως t=0, να ενεργοποιηθεί ο δέκτης που φέρει το σώμα Σ₂. Στο σχήμα (β) απεικονίζεται η μεταβολή των συχνότητας που καταγράφει ο δέκτης σε συνάρτηση με το χρόνο.

α) Να περιγράψετε την κίνηση του σώματος Σ₁ αμέσως μετά την κρούση

Να υπολογίσετε:

β) την ταχύτητα των σωμάτων Σ₁ και Σ₂ αμέσως μετά την κρούση.

γ) τη συχνότητα f_A που καταγράφει ο δέκτης από τη χρονική στιγμή t₁ και μετά.

δ) τον χρόνο εκπομπής των κυμάτων που εκπέμπει η πηγή και λαμβάνει ο δέκτης (Δ) στο χρονικό διάστημα που το σώμα Σ₂ ολισθαίνει πάνω στη σανίδα.

ε) το ελάχιστο μήκος της σανίδας L ώστε να μην το Σ₂ να μην εγκαταλείψει την σανίδα κατά την κίνηση του μετά την κρούση

στ) το έργο της τριβής ολίσθησης που δέχεται το σώμα Σ₂, καθώς και το έργο της τριβής ολίσθησης που δέχεται η σανίδα σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του σώματος Σ₂ πάνω σε αυτή

ζ) την τιμή του συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος Σ₂ και σανίδας ώστε αμέσως μετά την κρούση ο δέκτης του Σ₂ να καταγράφει συχνότητα που μειώνεται με ρυθμό 5s^-2.

Δίνεται ότι το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του ήχου στον ακίνητο αέρα ισούται με 340m/s και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s<sup>2

Λύση:</sup>