Τρία στερεά σε δύο ταλαντώσεις

Τρία ίδιας μάζας Μ=3/14 Κg  και ίδιας ακτίνας στερεά σώματα ,ένας λεπτός δίσκος, μία σφαίρα και ένα δαχτυλίδι μπορούν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το καθένα από τα παραπάνω σώματα δένεται με οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ=120N/m με το κέντρο του κάθε στερεού ενώ η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι μόνιμα στερεωμένη. Το κάθε στερεό ισορροπεί και στο καθένα από αυτά και την στιγμή t=0 ασκούμε στο κέντρο του σταθερή οριζόντια δύναμη F=60N  έτσι ώστε το κάθε  ελατήριο να  μπορεί να επιμηκύνεται.

α) Να αποδειχθεί ότι το κέντρο μάζας του κάθε στερεού εκτελεί γ.α.τ.  καθώς και να βρεθεί πόσο θα  είναι τότε  το πλάτος ταλάντωσης του κέντρου μάζας του κάθε στερεού;

β) Μετά από πόσο χρόνο πρέπει να καταργηθεί η  δύναμη στο καθένα από τα παραπάνω στερεά  έτσι ώστε να σταματήσει η περιοδική κίνηση του κάθε στερεού. Ποιο  κέντρο μάζας  κάποιου από τα παραπάνω στερεά θα μπορούσε να σταματήσει πρώτο;Σε πόσο χρόνο;

γ)  Αν καταργηθεί η εξωτερική δύναμη θα συνεχίσει το κέντρο μάζας του κάθε στερεού να εκτελεί γ.α.τ.Σε ποια θέση σε σχέση με το φυσικό μήκος του κάθε ελατηρίου  θα πρέπει  να καταργηθεί η κάθε δύναμη για ταλαντώνεται το σύστημα με την μέγιστη ενέργεια ταλάντωσης;

Δίνονται ο ροπές αδράνειας Ι_δαχ=ΜR²  I_δισκ=0,5ΜR² και Ι_σφ=0,4ΜR².

Απάντηση

Ερωτήσεις στην περιστροφή στερεού σώματος

Οι ερωτήσεις εδώ

Οι απαντήσεις εδώ

Ταλάντωση και κύλιση με ολίσθηση

Στην διάταξη του σχήματος εικονίζεται ένας συμπαγής κύλινδρος μάζας m=1Kg και ακτίνας R=10cm, ο οποίος είναι συνδεδεμένος με κατάλληλο μηχανισμού με ελατήριο σταθεράς k=100N/m με τέτοιο τρόπο ώστε ο κύλινδρος να μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον γεωμετρικό άξονα συμμετρίας του.
Ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και δαπέδου είναι ίσος με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης και είναι ίσος με μs=μ=1
Αρχικά ο κύλινδρος είναι ακίνητος και το ελατήριο βρίσκεται σε κατάσταση μηδενικής παραμόρφωσης.
Απομακρύνουμε τον κύλινδρο κατά x0 από την θέση ισορροπίας του και τον αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί.
Α) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του x0 ώστε ο κύλινδρος να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει
B) Απομακρύνουμε τον κύλινδρο κατά 10(1+π) cm και την στιγμή t0=0 τον αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί.
B1) Να εξηγήσετε γιατί ο κύλινδρος αρχίζει να κυλίεται ολισθαίνοντας.
Β2) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου συναρτήσει του χρόνου από την στιγμή 0 έως την στιγμή t1=π/20s.
Β3) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σημείου επαφής συναρτήσει του χρόνου από την στιγμή 0 έως την στιγμή t1=π/20s..
Β4) Να εξηγήσετε γιατί την στιγμή t1=π/20s ο κύλινδρος αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
Β5) Να υπολογίσετε το ποσοστό της αρχικής δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου που μετατράπηκε σε θερμική από την στιγμή t0=0 μέχρι την στιγμή t=t1
B6) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου την στιγμή που το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος για πρώτη φορά।

Απάντηση σε pdf και σε word

8. Θ.Μ.Κ.Ε σε κινούμενο γιο-γιο

Θ.Μ.Κ.Ε σε κινούμενο γιο- γιο.

Ο λεπτός σωλήνας του σχήματος έχει μάζα m=1Kg και ακτίνα R=0,1m. Τη χρονική στιγμή t=0, αφήνουμε το σωλήνα ελεύθερο να κινηθεί κατακόρυφα, ενώ το σημείο Γ παραμένει ακίνητο.

Όταν θα έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους L=2,5m:

Α)

α) Να υπολογιστεί η κινητική του ενέργεια.

β) Σε πόσο χρόνο ξετυλίγεται το νήμα;

γ) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος εκείνη τη στιγμή.

δ) Πόσος είναι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος λόγω στροφικής και λόγω μεταφορικής κίνησης;

ε) Πόσος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος και πόσος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του;

Β) Tη στιγμή που ξετυλίχτηκε το νήμα αρχίζουμε να τραβάμε προς τα πάνω το λεπτό σωλήνα ασκώντας κατακόρυφη δύναμη F, ενώ το σημείο εφαρμογής Γ, της δύναμης επιταχύνεται προς τα πάνω με επιτάχυνση α_Γ=g/4m/s². Τότε να υπολογίσετε:

 α) τη δύναμη F,

β) την κινητική ενέργεια του σωλήνα μετά από χρόνο t=0,8s, από τη στιγμή που άρχισε να ασκείται η δύναμη,

γ) το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής, στροφικής καθώς και το συνολικό ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σωλήνα εκείνη τη στιγμή.

g=10m/s².

 Λύση:

Κύλινδρος εν γωνία.

Γύρω από έναν κύλινδρο, μάζας 7kg, έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Τοποθετούμε τον κύλινδρο σε θέση όπως στο σχήμα και τραβώντας το άκρο του νήματος ασκούμε στον κύλινδρο δύναμη F. Η γωνία θ που σχηματίζει το νήμα με την οριζόντια διεύθυνση είναι θ=30°. Ο κατακόρυφος τοίχος είναι λείος, ενώ ο κύλινδρος παρουσιάζει με το έδαφος συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,5, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR².

i)  Ποια είναι η μέγιστη τιμή της δύναμης που μπορούμε να ασκήσουμε μέσω του νήματος, χωρίς να περιστραφεί ο κύλινδρος;

ii) Αυξάνουμε την ασκούμενη δύναμη, στην τιμή F=30Ν. Πόσο νήμα πρέπει να τραβήξουμε σε χρονικό διάστημα t₁=2s, για να εξασφαλίσουμε την εξάσκηση της παραπάνω σταθερής δύναμης στον κύλινδρο;

iii) Συνεχίζουμε να αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης F. Ποια η ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης F, ώστε ο κύλινδρος να χάσει την επαφή με το οριζόντιο επίπεδο;

Απάντηση:

ή με κλικ εδώ.

Η τριγωνική πλάκα και οι τρεις μεταφορείς

Τρεις φίλοι μεταφέρουν μια ομογενή μαρμάρινη πλάκα που έχει παντού το ίδιο πάχος.

Δείξατε ότι ασκούν σ’ αυτήν ίσου μέτρου δυνάμεις.

Απάντηση:

Κρούση και φθίνουσα ταλάντωση (όπως λύθηκε μέσα στην τάξη)

Σώμα μάζας m₁=3 kg είναι δεμένο στην άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m, όπως φαίνεται στο σχήμα, και ισορροπεί. Όλο το προαναφερθέν σύστημα βρίσκεται μέσα σε κατάλληλη διάταξη με την οποία είναι δυνατόν να ελέγχεται η πίεση του αέρα. Αρχικώς, η πίεση τείνει να είναι μηδενική.

Με κατάλληλη διάταξη, σώμα μάζας m₂=1 kg εκτοξεύεται με φορά προς τα πάνω και με ταχύτητα, λίγο πριν την κρούση, u2=2√3 m/s συγκρούεται πλαστικά με το σώμα μάζας m₁. Το συσσωμάτωμα θα εκτελέσει Απλή Αρμονική Ταλάντωση. Ως χρονική στιγμή t=0 θεωρείται αυτή της κρούσης και ως θετική φορά η άνω.

Τη χρονική στιγμή t=7π/15 s ακαριαία αυξάνεται η πίεση του αέρα στο εσωτερικό της διάταξης, με αποτέλεσμα μετά από χρόνο ίσο με δύο περιόδους το πλάτος της ταλάντωσης να έχει υποτετραπλασιαστεί. Η δύναμη της απόσβεσης είναι ανάλογη της ταχύτητας.

Δίνεται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s² και σταθερά Λ=b/2m.

Θεωρήστε πως η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι ίση με την περίοδο της αμείωτης ταλάντωσης.

Να απαντηθούν τα ακόλουθα ζητήματα.

1. Να γραφεί η εξίσωση της ΑΑΤ που εκτελεί το συσσωμάτωμα.

2. Να γίνει το διάγραμμα της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη Θέση Φυσικού Μήκους.

3. Να υπολογιστεί η σταθερά Λ και να γραφεί η δύναμη της απόσβεσης σε συνάρτηση με το χρόνο.

4. Να υπολογιστεί η θερμότητα που εκλύθηκε στο περιβάλλον μέχρι τη στιγμή που το πλάτος υποτετραπλασιάστηκε.

5. Να γίνει το διάγραμμα απομάκρυνσης από τη Θέση Ισορροπίας του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το χρόνο μέχρι τη στιγμή που το πλάτος υποτετραπλασιάστηκε.

6. Να υπολογιστεί η θερμότητα που θα εκλυθεί στο περιβάλλον από τη στιγμή που το πλάτος υποτετραπλασιάστηκε μέχρι τη στιγμή που μηδενίζεται.

Απάντηση

ΖΗΤΗΜΑ 4ο: Ο ΠΟΔΗΛΑΤΗΣ

Μια μικρή ιστορία … «καθημερινής τρέλας»! (ή μήπως … «εικονικής πραγματικότητας»;)

Ο ποδηλάτης του σχήματος κινείται σε οριζόντιο δρόμο και βλέπει μπροστά του κάποιο εμπόδιο. Μόλις όμως πάει να φρενάρει, κόβεται το συρματόσκοινο του πίσω φρένου. Αν το μέτρο της ταχύτητάς του είναι υ_ο = 20m/s τη στιγμή που συμβαίνει αυτό, να υπολογίσετε την ελάχιστη απόσταση που χρειάζεται, φρενάροντας μόνο με το μπροστινό φρένο, για να σταματήσει χωρίς να κινδυνέψει να πέσει.

ΔΙΝΟΝΤΑΙ:

Η μάζα του κάθε τροχού θεωρείται αμελητέα, ακτίνα κάθε τροχού  R=0,3m,

απόσταση  Κ₁Κ₂ = L = 1m,  μάζα ποδηλάτου – ανθρώπου  m = 60kg,

οριακός συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ ασφάλτου και ελαστικού  μ = 2  και

g = 10m/s².

Να θεωρήσετε επίσης ότι το κέντρο μάζας Κ του συστήματος ισαπέχει από τα κέντρα Κ₁, Κ₂ (δηλαδή ΚΚ₁ = ΚΚ₂) και βρίσκεται σε ύψος h = 1,1 m από το έδαφος. Τέλος, το σημείο εφαρμογής Σ της δύναμης που ασκεί το φρένο στον τροχό βρίσκεται στην κατακόρυφη που περνάει από το κέντρο Κ₁ και απέχει απόσταση R από αυτό.

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ...

ΠΩΣ ΘΑ ΚΙΝΗΘΕΙ Ο ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ, ΔΕΞΙΑ Ή ΑΡΙΣΤΕΡΑ-ΚΡΙΣΙΜΗ ΓΩΝΙΑ

Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α >>>>

Το ρολόι της εκκλησίας και ο "υπερβατικός χρόνος"

Το ρολόι της εκκλησίας και ο "υπερβατικός χρόνος"
Η συνέχεια εδώ

Μια σφαίρα κατά μήκος δύο επιπέδων.

Δίνονται δύο κεκλιμένα επίπεδα Α και Β με την ίδια κλίση. Μια σφαίρα αφήνεται να κινηθεί πρώτα από την κορυφή του επιπέδου Α και ύστερα του επιπέδου Β. Το Α επίπεδο είναι λείο, ενώ στο Β λόγω τριβών η σφαίρα κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει).

i) Η μηχανική ενέργεια διατηρείται κατά την κίνηση:

α) Στο επίπεδο Α,           β) Στο επίπεδο Β                 γ) και στα δύο επίπεδα.

ii) Με μεγαλύτερη κινητική ενέργεια φτάνει η σφαίρα στη βάση του επιπέδου:

             α)  Α      β) Β    γ) φτάνει με την ίδια κινητική ενέργεια και στα δυο επίπεδα.

iii) Πιο σύντομα φτάνει η σφαίρα στην βάση  του επιπέδου:

              α)  Α       β) Β    γ) οι χρόνοι κίνησης είναι ίσοι και στα δύο επίπεδα.

Απάντηση:

Μια σφαίρα κατά μήκος δύο επιπέδων.