Ένα γιο – γιο σε ταλάντωση

Ομογενής κύλινδρος Σ₂, (γιο–γιο) ισορροπεί έχοντας το νήμα τυλιγμένο γύρω της πολλές φορές. Η μία άκρη του νήματος είναι στερεωμένη στην οροφή Ο και η άλλη στο σώμα Σ₂, το οποίο ισορροπεί κρεμασμένο από κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=10Ν/m, που είναι στερεωμένο στην οροφή, όπως φαίνεται στο σχήμα 1.

Η μάζα του γιο–γιο είναι m₂=0,8kg και η ακτίνα του R=0,1m. Η ροπή αδράνειας του γιο–γιο, ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του και ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας του δίνεται από σχέση Ι_cm= ½·m₂·R².

Το σώμα Σ₁ θεωρείται σημειακό αντικείμενο μάζας m₁ =0,1kg. Το νήμα και το ελατήριο έχουν αμελητέες μάζες.

i. Να υπολογίσετε την επιμήκυνση d₀ του ελατηρίου από το φυσικό του μήκος στη θέση που ισορροπεί το σύστημα.

Κατόπιν ανυψώνουμε το σώμα m₁ από τη θέση που ισορροπεί κατά  d₁=0,2m  προς τα πάνω και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί μια χρονική στιγμή t που θεωρείται η t=0.

ii. Να βρεθεί η ενέργεια που προσφέρθηκε στο σύστημα για την ανύψωση των σωμάτων.

iii. Να υπολογίσετε την κατακόρυφη απόσταση y₂ του γιο–γιο που θα βρεθεί κάτω από τη θέση ισορροπίας του, τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητα του σώματος Σ₁ για πρώτη φορά.

iv. Nα βρείτε τη θέση που το σώμα Σ₁ αποκτά μέγιστη ταχύτητα και να την υπολογίσετε.

v. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου και ο ρυθμός μεταβολής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του Σ₁ και του γιο–γιο, τη στιγμή που έχουν μέγιστη ταχύτητα για πρώτη φορά.

vi. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος τη στιγμή που τα σώματα αποκτούν μέγιστες ταχύτητες για πρώτη φορά.

+ extra

 

Δίνονται: το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g=10m/s^2 .

Το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας και είναι συνεχώς τεντωμένο.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση