ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΟΥ ΜΕΤΑΤΡΕΠΕΤΑΙ ΣΕ ΦΘΙΝΟΥΣΑ

Ένα σώμα Σ μάζας m=2kg είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=50N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Αρχικά το σώμα ισορροπεί ακίνητο πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο και το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος l_o=0,5m. Στο σώμα έχουμε δέσει μη εκτατό αβαρές νήμα που έχει όριο θραύσεως Τ_max. Ασκούμε στο άλλο άκρο του νήματος κατάλληλη οριζόντια δύναμη , οπότε το σώμα αρχίζει να μετακινείται από τη θέση ισορροπίας του με σταθερή επιτάχυνση μέτρου 7,5m/s² και κάποια στιγμή, που τη θεωρούμε ως t=0, το ελατήριο έχει μήκος l₁=0,7m και το νήμα σπάει.

α) Να υπολογίσετε το όριο θραύσεως του νήματος.

β) Για την κίνηση του σώματος μετά το σπάσιμο του νήματος, να υπολογίσετε:

i) την ενέργεια της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Σ

ii) την χρονική εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του σώματος Σ, θεωρώντας ως θετική τη φορά προς τα δεξιά

iii) το χρονικό διάστημα στη διάρκεια μίας περιόδου στο οποίο ισχύει Κ≤3U

iv) το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη χρονική στιγμή t=0 έως τη χρονική στιγμή που το ελατήριο βρίσκεται για 1^η φορά στην κατάσταση μέγιστης επιμήκυνσής του.

γ) Την χρονική στιγμή t₁=7T/6, στο σώμα αρχίζει να ενεργεί δύναμη αντίστασης της μορφής F_αντ=−b^.u, όπου b θετική σταθερά, με αποτέλεσμα η ταλάντωση να μετατρέπεται σε φθίνουσα. Κάποια στιγμή t₂ όπου το ελατήριο έχει μήκος 0,8m το σώμα έχει ταχύτητα μέτρου 1m/s και επιταχύνεται με ρυθμό 7,1m/s² ενώ την στιγμή t₃ το μέτρο της ταχύτητας είναι κατά 25% μεγαλύτερο του μέτρου της την στιγμή t₂, παίρνοντας έτσι την μέγιστη τιμή του για 1^η φορά μετά την επίδραση της δύναμης αντίστασης (με την έννοια του τοπικού ακρότατου). Να υπολογιστούν:

i) η απώλεια μηχανικής ενέργειας στην χρονική διάρκεια Δt=t₂-t₁,

ii) η τιμή της σταθεράς b,

iii) η απομάκρυνση του σώματος από την θέση x=0 την χρονική στιγμή t₃.

Λύση: