Τρίτη, 30 Απριλίου 2019

Μία ράβδος με ένα σφαιρίδιο



Λεπτή ομογενής ράβδος μάζας M=3kg και μήκους L=2m αρθρώνεται σε άξονα στο άκρο της Ο γύρω από το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές. Στο άλλο άκρο Β της ράβδου είναι ενσωματωμένο σφαιρίδιο Σ1 αμελητέων διαστάσεων η μάζα του οποίου είναι m1=1kg. Το σύστημα που προκύπτει ισορροπεί οριζόντιο μέσω νήματος που είναι δεμένο σε σημείο Γ που απέχει από το άκρο Ο απόσταση ΟΓ=1,25m. Το άλλο άκρο Α του νήματος είναι ακλόνητα στερεωμένο στο ταβάνι.

i) Υπολογίστε τις δυνάμεις που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση και το νήμα ΑΓ.
Μία χρονική στιγμή που θεωρείται t=0 κόβουμε το νήμα οπότε η ράβδος στρέφεται περί άξονα που διέρχεται από το Ο.

ii) Όταν η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία θ σε σχέση με την οριζόντια διεύθυνση τέτοια ώστε ημθ=0,8 και συνθ=0,6 να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ράβδος­­– σφαιρίδιο.

iii) Στη θέση του ερωτήματος ii) να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου.

iv) Να βρεθεί η δύναμη που ασκείται στο σώμα Σ1 από την ράβδο όταν η ράβδος βρεθεί στην κατακόρυφη θέση.

Όταν η ράβδος φθάνει στην κατακόρυφη θέση συγκρούεται με σφαιρίδιο Σ2 αμελητέων διαστάσεων μάζας m2=6kg, το οποίο κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους ℓ=2m που είναι αναρτημένο στον άξονα στο σημείο Ο. Αν η ποσοστιαία μεταβολή της τάσης του νήματος πριν και στο τέλος της κρούσης είναι 45%
v) Να βρεθεί η απώλεια ενέργειας του συστήματος στη διάρκεια της κρούσης.
Δίνεται √2=1.4

Δίνονται:
Η ροπή αδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου μάζας Μ και μήκους L περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι  Icm=M·L2/12
Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι  |g| =10m/s2.

Απάντηση 

Διαγωνισμός Βασίλη Ξανθόπουλου. 2019

Πραγματοποιήθηκε και φέτος στη Δράμα, ο διαγωνισμός στη μνήμη του αδικοχαμένου Βασίλη Ξανθόπουλου.
Τα θέματα ανά τάξη:

Δευτέρα, 29 Απριλίου 2019

Ένα στερεό και οι κινητικές ενέργειες των μερών του

Στο άκρο Α μιας ομογενούς ράβδου ΑΒ μήκους ℓ=4m και μάζας m=3kg, έχουμε καρφώσει ένα υλικό σημείο Σ, της ίδιας μάζας m, δημιουργώντας ένα στερεό s.
Το στερεό s, κινείται πάνω σε μια παγωμένη λίμνη, χωρίς τριβές και τη στιγμή t=0, βρίσκεται στη θέση που δείχνει το διπλανό σχήμα και τα άκρα του Α και Β έχουν αντιπαράλληλες ταχύτητες κάθετες στη ράβδο, με μέτρα υΑΒ=2m/s. Με δεδομένο ότι το κέντρο μάζας του στερεού s είναι το σημείο Κ, όπου (ΚΑ)=1m, ενώ η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ο δίνεται από την σχέση Ιο=mℓ2/12, ζητούνται:
i)   Η ταχύτητα υcm του κέντρου μάζας του στερεού s, καθώς και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του.
ii) Η κινητική ενέργεια του στερεού s.
iii) Η κινητική ενέργεια του υλικού σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.
iv) Ποια είναι η αντίστοιχη γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας της ράβδου ΑΒ, σε συνάρτηση με το χρόνο;
ή

Σάββατο, 27 Απριλίου 2019

Δύο ράβδοι για μία ταλάντωση.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ένα κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k, με το πάνω άκρο του δεμένο στο ταβάνι και το κάτω άκρο του δεμένο στο σφαιρίδιο μάζας m. Το σφαιρίδιο μέσω νήματος συνδέεται με το άκρο συστήματος δύο ράβδων (μάζας Μ η καθεμία) όπου έχουν συγκολληθεί στα άλλα άκρα τους έτσι ώστε η κυρτή γωνία να είναι 120ο. Στο σχήμα 1, όπως φαίνεται το σύστημα των ράβδων συνδέεται στο άκρο Α με το νήμα, ενώ στο σχήμα 2 συνδέεται στο άκρο Γ. Αν κόψουμε το νήμα στο σχήμα 1, το σφαιρίδιο εκτελεί Α.Α.Τ. πλάτους Α1 ενώ αν κάνουμε το ίδιο στο σχήμα 2, το σφαιρίδιο εκτελεί ταλάντωση πλάτους Α2. Για τα δύο πλάτη των ταλαντώσεων ισχύει η σχέση:
α. Α1 = 2Α2                                         β. Α1 = Α2                                           γ. Α2 = 2Α1

Πέμπτη, 25 Απριλίου 2019

Δύο πλάκες και μερικές ερωτήσεις

Διαθέτουμε δυο όμοιες ορθογώνιες πλάκες, οι οποίες περιστρέφονται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερούς κατακόρυφους άξονες, χωρίς τριβές. Στην  πρώτη (ΑΒΓΔ), ο άξονας περνά από την κορυφή Α, ενώ στη δεύτερη (ΕΖΗΘ) από το μέσον Μ της πλευράς ΕΘ.
Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.
i) Αν Ι1 η ροπή αδράνειας της πρώτης πλάκας και Ι2 της δεύτερης, ως προς τους άξονες περιστροφής τους, ισχύει:
α) Ι1 < Ι2,    β) Ι12,   γ) Ι1 > Ι2.
ii) Αν στις πλάκες ασκείται η ίδια δύναμη F, όπως στο σχήμα με διεύθυνση μόνιμα παράλληλη στην ΑΒ και ΕΖ αντίστοιχα, τότε μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση αποκτά:
α) Η πρώτη πλάκα,  β) Η δεύτερη πλάκα,   γ) Οι πλάκες αποκτούν ίσες γωνιακές επιταχύνσεις.
iii) Αν οι πλάκες αρχικά είναι ακίνητες, μετά από μια περιστροφή τους θα έχουν κινητικές ενέργειες Κ1 και Κ2 όπου:
α) Κ1 < Κ2,     β) Κ1 = Κ2,      γ) Κ1 > Κ2.
iv) Αν κάποια στιγμή οι δύο πλάκες στρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω, τότε:
α) Μεγαλύτερη ταχύτητα έχει η κορυφή Β ή η κορυφή Ζ;
β) Να συγκριθούν οι κινητικές ενέργειες των δύο πλακών.
γ) Να συγκριθούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας των πλακών, αν πάνω τους ασκούνται οι δυνάμεις του ii) ερωτήματος.

Τα ερωτήματα είναι ανεξάρτητα και δεν αναφέρονται στην εξέλιξη ενός φαινομένου.
Απάντηση:
ή

Τρίτη, 23 Απριλίου 2019

Μια ισορροπία και δύο  επιταχυνόμενες κινήσεις


Μια λεπτή ομογενής δοκός, μάζας m=10kg και μήκους ΑΒ=2m, ισορροπεί σε οριζόντια θέση, στηριζόμενη σε λείο τρίποδο και σε κύλινδρο, με τον οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4, όπως στο σχήμα. Ο κύλινδρος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον σταθερό οριζόντιο άξονά του, ο οποίος περνά από τα κέντρα των δύο βάσεών του.
Δίνεται ακόμη (ΑΓ)=(ΔΒ)=0,5m και g=10m/s2.
i)  Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που δέχεται η δοκός από τρίποδο και κύλινδρο.
ii)  Πριν τοποθετήσουμε τη δοκό στην παραπάνω θέση, θέτουμε σε δεξιόστροφη περιστροφή  τον κύλινδρο. Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση που θα αποκτήσει η δοκός, μόλις αφεθεί στην παραπάνω θέση.
 iii) Αν τη θέση της δοκού πάρει ένα ορθογώνιο με ύψος h=0,5m, του ίδιου μήκους και μάζας Μ=100kg, το οποίο εμφανίζει την ίδια συμπεριφορά στις επαφές Γ και Δ, όσον αφορά τις τριβές, πόση θα είναι αντίστοιχα η επιτάχυνση που θα αποκτήσει;
ή

Δευτέρα, 22 Απριλίου 2019

Μια δοκός πάνω σε κύλινδρο

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας ομογενής κύλινδρος μάζας m=8kg, ενώ πάνω του συγκρατείται σε οριζόντια θέση μια ομογενής λεπτή δοκός ΑΒ, μήκους 4m και μάζας Μ=10kg, με τη βοήθεια μιας δύναμης που ασκείται στο άκρο της Α, με συνιστώσες Fx και Fy, όπως στο σχήμα. Η δοκός στηρίζεται στον κύλινδρο στο σημείο Γ, όπου (ΓΑ)=1m.
i) Να υπολογιστούν οι συνιστώσες Fx και Fy για την ισορροπία της δοκού.
Σε μια στιγμή t=0 μεταβάλλουμε την ασκούμενη δύναμη στο άκρο Α, καθορίζοντας σταθερή οριζόντια συνιστώσα Fx=2,6Ν. Το αποτέλεσμα είναι να τεθούν σε κίνηση και η δοκός και ο κύλινδρος, χωρίς να υπάρχει ολίσθηση ούτε μεταξύ κυλίνδρου και εδάφους, ούτε μεταξύ δοκού και κυλίνδρου.
ii) Να υπολογιστούν οι επιταχύνσεις της δοκού και του κέντρου μάζας Ο του κυλίνδρου.
iii) Να υπολογιστούν την χρονική στιγμή t1=2s :
α) Η κατακόρυφη συνιστώσα Fy της ασκούμενης δύναμης.
β) Οι κινητικές ενέργειες δοκού και κυλίνδρου.
γ) Η ισχύς της ασκούμενης δύναμης καθώς και οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας της δοκού και του κυλίνδρου.
Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης, η δοκός παραμένει οριζόντια, g=10m/s2, ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ mR2.
ή

Σάββατο, 20 Απριλίου 2019

Σειρά για μια ιδιαίτερη ελαστική κρούση


Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=1m και μάζας Μ=2,88kg μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο, χωρίς τριβές. Στο άλλο άκρο της ράβδου έχουμε καρφώσει ένα δίσκο μάζας m=2kg και ακτίνας R=0,2m, όπου το κέντρο του Κ ταυτίζεται με το άκρο της ράβδου, έχοντας έτσι κατασκευάσει ένα στερεό s, το οποίο συγκρατείται στη θέση Α του σχήματος, όπου η ράβδος σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ. Σε μια στιγμή αφήνουμε το στερεό s να περιστραφεί, με αποτέλεσμα τη στιγμή t1 που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, το κέντρο του δίσκου έχει ταχύτητα υ1=4m/s. Τη στιγμή αυτή ο δίσκος συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σφαίρα της ίδιας ακτίνας με το δίσκο, η οποία ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο και η οποία, μετά την κρούση, αποκτά την μέγιστη δυνατή κινητική ενέργεια.
i)   Να αποδειχτεί ότι για την αρχική γωνία, που σχηματίζει η ράβδος με την οριζόντια διεύθυνση, ισχύει ημθ=0,3 (συνθ=0,95).
ii)  Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου, τη στιγμή που το στερεό s αφήνεται να κινηθεί, ως προς:
α) Οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο της Κ.
β) Τον άξονα περιστροφής του στερεού στο Ο.
iii) Ποια η στροφορμή του δίσκου και ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του, ως προς τον άξονα στο Ο, ελάχιστα πριν την κρούση;
iv) Να υπολογιστεί η ταχύτητα την οποία θα αποκτήσει η σφαίρα, μετά την κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Ιρ= 1/3 Μℓ2 και η αντίστοιχη ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Κ, Ικ= ½ mR2 και g=10m/s2.
ή

Κόβοντας τα Νήματα…



Με τη βοήθεια ενός νήματος  συγκρατούμε ακίνητο το σύστημα του διπλανού σχήματος που αποτελείται από μία τροχαλία ένα σώμα m1 και έναν κύλινδρο. Το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό, παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο και δε γλιστράει στο αυλάκι της τροχαλίας. Το νήμα είναι συνδεδεμένο στο κέντρο του κυλίνδρου ενώ δεν είναι τυλιγμένο γύρω από την τροχαλία. Η τροχαλία και ο κύλινδρος έχουν ίδια μάζα M12=Μ=2kg και ίδια ακτίνα R=10cm. Η τροχαλία είναι στερεωμένη στο κέντρο της και μπορεί να στρέφεται περί τον άξονά της χωρίς τριβές. Το βαρίδι έχει αρχικά μάζα m και το κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία βάσης φ=30°. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί με τα σώματα ακίνητα.
i) Να υπολογίσετε την μάζα m1 του βαριδίου, ώστε το σύστημα να ισορροπεί.

Αντικαθιστούμε το βαρίδι με άλλο μάζας m=6kg και το αφήνουμε ελεύθερο οπότε ο κύλινδρος αρχίζει να κυλάει προς τα πάνω, χωρίς να ολισθαίνει.
ii)  Να βρεθούν οι επιταχύνσεις των σωμάτων κατά την κίνησή τους.
iii)  Να βρεθεί η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που δέχεται η τροχαλία από τον άξονα στήριξης.                                                                                                                                    
Τη στιγμή που ο κύλινδρος έχει μετακινηθεί κατά S=10m κόβουμε το σχοινί μεταξύ του κυλίνδρου και της τροχαλίας.
iv) Να βρεθεί ο λόγος της κινητικής ενέργειας του σώματος m προς την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου 0,6sec αργότερα μετά το κόψιμο του νήματος.
v) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου 1,2s μετά το κόψιμο του νήματος.
vi) Αν το νήμα ήταν αρχικά τυλιγμένο πολλές φορές στην τροχαλία με τέτοιο τρόπο ώστε όταν τοm, να βρείτε το λόγο της κινητικής ενέργειας του σώματος m προς την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου 0,6sec αργότερα, μετά το κόψιμο του νήματος που συνδέει τον κύλινδρο και την τροχαλία.
σύστημα αφηνόταν ελεύθερο να κινηθεί, να τυλίγεται στην τροχαλία εξαιτίας της κίνησης του κυλίνδρου και να ξετυλίγεται εξαιτίας της κίνησης του σώματος

Δίνονται : Για τον κύλινδρο και την τροχαλία, Icm=0,5MR­2 , |g|=10m/s







Τετάρτη, 17 Απριλίου 2019

Μια διαφορετική πλαστική κρούση

Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=1m και μάζας Μ=3kg μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο, χωρίς τριβές. Στο άλλο άκρο της ράβδου έχουμε συγκολλήσει μια μικρή σφαίρα Σ, αμελητέων διαστάσεων και μάζας m=1kg.  Φέρνουμε τη ράβδο σε οριζόντια θέση και την αφήνουμε να κινηθεί.
i)  Μετά από λίγο η ράβδος σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ=60°, όπως φαίνεται στο σχήμα. Για τη θέση αυτή να βρεθούν:
α) Η κινητική ενέργεια του στερεού s. 
β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, ως προς τον ίδιο άξονα, της σφαίρας Σ.
ii) Τη στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, η σφαίρα Σ συγκρούεται πλαστικά με δεύτερη όμοια σφαίρα Σ1, η οποία κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους ℓ. Να υπολογιστούν:
α) Η ταχύτητα της σφαίρας Σ πριν την κρούση.
β) Η απώλεια κινητικής ενέργειας η οποία οφείλεται στην κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Ιρ= 1/3 Μℓ2 και g=10m/s2.
ή

Κυριακή, 14 Απριλίου 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2019.

Ένα γιο – γιο σε ταλάντωση



Ομογενής κύλινδρος Σ2, (γιο–γιο) ισορροπεί έχοντας το νήμα τυλιγμένο γύρω της πολλές φορές. Η μία άκρη του νήματος είναι στερεωμένη στην οροφή Ο και η άλλη στο σώμα Σ2, το οποίο ισορροπεί κρεμασμένο από κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=10Ν/m, που είναι στερεωμένο στην οροφή, όπως φαίνεται στο σχήμα 1.
Η μάζα του γιο–γιο είναι m2=0,8kg και η ακτίνα του R=0,1m. Η ροπή αδράνειας του γιο–γιο, ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του και ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας του δίνεται από σχέση Ιcm= ½·m2·R2.

Το σώμα Σ1 θεωρείται σημειακό αντικείμενο μάζας m1 =0,1kg. Το νήμα και το ελατήριο έχουν αμελητέες μάζες.

i. Να υπολογίσετε την επιμήκυνση d0 του ελατηρίου από το φυσικό του μήκος στη θέση που ισορροπεί το σύστημα.

Κατόπιν ανυψώνουμε το σώμα m1 από τη θέση που ισορροπεί κατά  d1=0,2m  προς τα πάνω και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί μια χρονική στιγμή t που θεωρείται η t=0.
ii. Να βρεθεί η ενέργεια που προσφέρθηκε στο σύστημα για την ανύψωση των σωμάτων.
iii. Να υπολογίσετε την κατακόρυφη απόσταση y2 του γιο–γιο που θα βρεθεί κάτω από τη θέση ισορροπίας του, τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητα του σώματος Σ1 για πρώτη φορά.
iv. Nα βρείτε τη θέση που το σώμα Σ1 αποκτά μέγιστη ταχύτητα και να την υπολογίσετε.
v. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου και ο ρυθμός μεταβολής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του Σ1 και του γιο–γιο, τη στιγμή που έχουν μέγιστη ταχύτητα για πρώτη φορά.
vi. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος τη στιγμή που τα σώματα αποκτούν μέγιστες ταχύτητες για πρώτη φορά.
+ extra
 
Δίνονται: το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g=10m/s^2 .
Το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας και είναι συνεχώς τεντωμένο.
Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.


Δύο ράβδοι δημιουργούν ένα στερεό s.



Διαθέτουμε δύο ομογενείς ράβδους, την ΑΒ μήκους ℓ1=3m  και μάζας m1=2kg και την ΓΔ μήκους ℓ2=2m και μάζας m2. Συγκολλούμε τα άκρα Β και Γ των δύο ράβδων δημιουργώντας μια νέα ράβδο, το στερεό s. Αφήνουμε ελεύθερο το στερεό s σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή ασκούμε πάνω του ένα ζεύγος δυνάμεων με κατακόρυφη ροπή τ=4Ν∙m για ορισμένο χρονικό διάστημα.
i)   Το στερεό s θα εκτελέσει:
α) Μεταφορική κίνηση,   β) Στροφική κίνηση,   γ) Σύνθετη κίνηση.
Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
ii) Αν τα άκρα Α και Δ έχουν ταχύτητες μέτρων υΑ=6m/s και υΔ=4m/s να βρεθούν:
α) Το κέντρο μάζας του στερεού s.
β) Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού.
iii) Αν το ζεύγος που επιτάχυνε το στερεό s, ασκήθηκε πάνω του μέχρι να το στρέψει κατά γωνία φ=5rαd, να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του στερεού s καθώς και η μάζα της ράβδου ΓΔ.
iv) Κάποια στιγμή (t0=0) το στερεό s βρίσκεται στη θέση που δείχνει το παραπάνω σχήμα. Τη στιγμή αυτή γίνεται αποκόλληση των δύο ράβδων, οι οποίες πλέον συνεχίζουν να κινούνται ανεξάρτητα η μια της άλλης. Να βρεθούν τη χρονική στιγμή t1=(5π/4)s≈3,9s:
α) Η απόσταση των άκρων Β και Γ των δύο ράβδων.
β) Η συνολική στροφορμή του συστήματος των δύο ράβδων ως προς τον κατακόρυφο νοητό άξονα που αρχικά στρέφεται το στερεό s.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της  Ι=mℓ2/12.
ή

Τρίτη, 9 Απριλίου 2019

Δύο δίσκοι σε λείο οριζόντιο επίπεδο


Δύο όμοιοι ομογενείς δίσκοι, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με το επίπεδό τους κατακόρυφο. Στον πρώτο μπορούμε να ασκήσουμε μια δύναμη στο κέντρο του Κ, τραβώντας το άκρο Α του νήματος, ενώ γύρω από τον δεύτερο έχουμε τυλίξει ένα μη εκτατό νήμα αμελητέου βάρους, στο άκρο Β του οποίου μπορούμε να ασκήσουμε κάποια δύναμη. Κάποια στιγμή (t0=0) ασκούμε ταυτόχρονα στα άκρα Α και Β των νημάτων την ίδια σταθερή οριζόντια δύναμη F, μέχρι το σημείο εφαρμογής της, να μετατοπισθεί κατά Δx=2m, όπου οι δυνάμεις παύουν να ασκούνται.
i) Ποιος δίσκος θα αποκτήσει τελικά μεγαλύτερη κινητική ενέργεια; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
ii) Αν τελικά η ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ του πρώτου δίσκου έχει μέτρο υcm,1=1m/s, ποια η τελική αντίστοιχη ταχύτητα του κέντρου Ο του δεύτερου δίσκου;
iii) Αν F=2Ν, να υπολογιστούν:
α) Η μάζα κάθε δίσκου.
β) Η κινητική ενέργεια κάθε δίσκου και ο ρυθμός μεταβολής της, τη χρονική στιγμή t1=2s.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR2.
ή

Αναποδογυρίζοντας έναν τροχό


Ένας μαθητής κάθεται σε κάθισµα που µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον κατακόρυφο άξονά του zz΄. Ο μαθητής κρατά στα χέρια του έναν οριζόντιο τροχό ποδηλάτου ο οποίος περιστρέφεται αντιωρολογιακά χωρίς τριβές κατά τον κατακόρυφο άξονά του με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω0 και μέτρο στροφορμής L0. Το κάθισµα και ο μαθητής στην κατάσταση αυτή είναι ακίνητοι. Ο τροχός έχει μάζα M, ακτίνα R και η ροπή αδράνειάς του περί τον κατακόρυφο άξονά του είναι Ιcm. Το κέντρο του τροχού από τον άξονα zz΄ του καθίσματος απέχει απόσταση R. Το σύστημα μαθητής–κάθισμα έχει ροπή αδράνειας Ιμ-κ περί τον άξονα zz΄.
Κάποια στιγµή ο μαθητής περιστρέφει τον τροχό γύρω από οριζόντιο άξονα κατά 180ο, ώστε η πάνω επιφάνεια του τροχού να έρθει από κάτω χωρίς να μεταβληθεί το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας.
Το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του συστήματος μαθητής–κάθισµα μετά την περιστροφή του τροχού ως προς τον zz΄ είναι:

Απάντηση

Κυριακή, 7 Απριλίου 2019

Η κινητική ενέργεια και η στροφορμή ενός συστήματος


Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ και μάζας Μ μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο, παρουσιάζοντας, ως προς τον άξονα, ροπή αδράνειας Ι. Στο άλλο της άκρο Α έχουμε πακτώσει ένα άξονα κάθετο σ’ αυτήν περί τον οποίο μπορεί ελεύθερα να στρέφεται, χωρίς τριβές, ένας ομογενής  δίσκος ακτίνας R και μάζας m. Το σύστημα φέρεται σε τέτοια θέση που η ράβδος να είναι οριζόντια (θέση 1) και αφήνεται να κινηθεί. Μετά από λίγο η ράβδος γίνεται κατακόρυφη (θέση 2) έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω  και ταχύτητα κέντρου μάζας υcm  . Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του, κάθετο στο επίπεδό του Ιδ= ½ mR2.
i)   Αν κατά την παραπάνω κίνηση έχουμε μπλοκάρει το δίσκο, μη επιτρέποντας την περιστροφή του, η κινητική ενέργεια του συστήματος στη θέση (2) υπολογίζεται από την εξίσωση:
ii) Αν ο δίσκος είναι ελεύθερος να περιστραφεί, ποια από τις παραπάνω εξισώσεις μας δίνει την κινητική ενέργεια του συστήματος στη θέση (2);
iii) Θέτουμε το δίσκο σε περιστροφή με γωνιακή ταχύτητα ω1, όπως στο διπλανό σχήμα, στη θέση (1). Τη στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, η κινητική ενέργεια του συστήματος υπολογίζεται από την εξίσωση:
iv) Σε κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις να γράψετε την σχέση από την οποία υπολογίζεται η ολική στροφορμή του συστήματος ως προς (κατά) τον άξονα περιστροφής στο άκρο Ο της ράβδου.
ή

Παρασκευή, 5 Απριλίου 2019

Ένα σύστημα σε ισορροπία και επιτάχυνση



Το στερεό s του σχήματος, αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονικούς ομογενείς κυλίνδρους με ακτίνες R=0,4m και r= ½R  αντίστοιχα. Το στερεό s μπορεί να  στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονα των κυλίνδρων που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεων. Γύρω από τον μικρό κύλινδρο έχουμε τυλίξει ένα μη εκτατό και αμελητέου βάρους νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου έχουμε δέσει ένα σώμα Σ. Γύρω από τον μεγάλο κύλινδρο αντίθετα, έχουμε τυλίξει ένα άλλο, όμοιο με το προηγούμενο, νήμα και ασκώντας στο άκρο του Α μια δύναμη F, μέτρου F=10Ν, ισορροπούμε όλο το σύστημα, όπως στο σχήμα.
i) Να υπολογιστεί η μάζα του σώματος Σ.
ii) Διπλασιάζουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F με αποτέλεσμα τη στιγμή t1 που το άκρο του νήματος Α έχει μετατοπισθεί κατά d=1,6m, να έχει ταχύτητα μέτρου υΑ=2m/s.
α) Να υπολογιστεί η ενέργεια που μεταφέρθηκε στο σύστημα μέσω του έργου της δύναμης.
β) Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του στερεού s.
iii) Για τη χρονική στιγμή t1 να υπολογιστούν:
α) Η ισχύς της δύναμης F
β) Ο ρυθμός μεταβολής της μηχανικής ενέργειας του στερεού s και του σώματος Σ.
γ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, ως προς τον άξονα Ο περιστροφής:
γ1) του σώματος Σ,       γ2) του στερεού s,         γ3) του συστήματος.
Δίνεται ότι ένα υλικό σημείο το οποίο κινείται με ταχύτητα υ, παρουσιάζει ως προς ένα τυχαίο σημείο Γ, στροφορμή μέτρου L=mυ∙d, όπου d η απόσταση του σημείου Γ από τον φορέα της δύναμης, με κατεύθυνση όπως στο σχήμα. Δίνεται επίσης g=10m/s2.
ή