Δίσκος, σώματα και στροφορμή – τρεις παραλλαγές στο ίδιο θέμα

 

Δίσκος ακτίνας R φέρει λεπτή διαμπερή κυλινδρική τρύπα και στρέφεται χωρίς τριβές με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω, περί κατακόρυφο σταθερό άξονα κάθετο στο επίπεδό του, ως προς τον οποίο έχει ροπή αδράνειας Ι.

Μέσα στην τρύπα μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές δύο όμοιες σημειακές σφαίρες  μάζας m η κάθε μία. Οι σφαίρες είναι αρχικά στερεωμένες με αβαρή μη εκτατά νήματα από τον άξονα περιστροφής και στρέφονται μαζί με το δίσκο.

Στην περίπτωση (Ι), τα νήματα έχουν μήκος R το καθένα.

Στην περίπτωση (ΙΙ) τα νήματα έχουν το καθένα μήκος r < R.

Τέλος στην περίπτωση (ΙΙΙ) τα νήματα έχουν επίσης μήκος r < R και τώρα υπάρχει ανάμεσα στις δύο σφαίρες ιδανικό συμπιεσμένο ελατήριο φυσικού μήκους 2∙R, με τη μεσαία σπείρα του στερεωμένη στον άξονα, που έχει δυναμική ενέργεια U.

Κάποια στιγμή τα νήματα κόβονται ταυτόχρονα απελευθερώνοντας τις δύο σφαίρες. Να βρείτε σε κάθε περίπτωση την ταχύτητα με την οποία εξέρχονται οι δύο σφαίρες από την τρύπα, καθώς και τη νέα γωνιακή ταχύτητα του δίσκου. Επίσης, να συγκρίνετε τα αποτελέσματα των περιπτώσεων (Ι), (ΙΙ) και (ΙΙΙ).

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

 

Αλλαγή του άξονα περιστροφής.

Ας μην διδαχτεί σε μαθητές...

Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=1m και μάζας Μ=3kg στρέφεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το ένα της άκρο Α με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω₁=4rad/s. Σε μια στιγμή η ράβδος αποδεσμεύεται από τον άξονα περιστροφής της, ενώ ταυτόχρονα προσδένεται σε δεύτερο κατακόρυφο άξονα Κ, ο οποίος απέχει από το άκρο Β απόσταση (ΒΚ) = ¼ ℓ. Να υπολογιστούν:

i)  Η ταχύτητα του μέσου Ο της ράβδου, πριν και μετά την πρόσδεσή της στον 2^ο άξονα περιστροφής της.

ii) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας που συνοδεύει την παραπάνω πρόσδεση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου γύρω από κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=Μℓ²/12.

Απάντηση:

ή

	Αλλαγή του άξονα περιστροφής.

Κρούση και κέντρο μάζας.

Μια ομογενής ράβδος μάζας 3m και  μήκους ℓ=6m ηρεμεί σε οριζόντια θέση σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα σώμα Σ μάζας m που θεωρείται υλικό σημείο κινείται με ταχύτητα υ₀=8m/s,  σε διεύθυνση κάθετη στη ράβδο και προσκολλάται σε αυτήν, στο μέσον της Ο.

i) Να βρεθεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας που μετατρέπεται σε θερμική κατά την κρούση.

Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα το σώμα Σ προσκολλάται στο σημείο Μ της ράβδου δημιουργώντας έτσι ένα στερεό S. Αμέσως μετά την κρούση τα άκρα Α και Β της ράβδου έχουν ταχύτητες μέτρων υ_Α=4,5m/s και υ_Β=1,5m/s, όπως στο (2) σχήμα. Να βρεθούν:

     

ii)   Η ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού S.

iii)  Η θέση του κέντρου μάζας Κ γύρω από το οποίο στρέφεται το σύστημα μετά την κρούση.

iv)  Ποιο είναι στην περίπτωση αυτή, το αντίστοιχο ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας που μετατρέπεται σε θερμική κατά την κρούση;

Σε μια επανάληψη του πειράματος, το σώμα Σ αντικαθίσταται από άλλο Σ₁ ίδιας μάζας, το οποίο κτυπά ξανά τη ράβδο στο σημείο Μ, με την ίδια ταχύτητα υ₀. Μετά την κρούση το Σ₁, κινείται προς τ’ αριστερά με ταχύτητα μέτρου υ₁=1m/s.

v)  Ποιο είναι τώρα το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας που μετατρέπεται σε θερμική κατά την κρούση;

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της I=mℓ²/12.

Απάντηση:

ή

	Κρούση και κέντρο μάζας.

Η στροφορμή και μια κρούση.

Μια ομογενής ράβδος μάζας m και μήκους ℓ =2m μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το ένα άκρο της Α, σε κατακόρυφο επίπεδο. Η ράβδος αφήνεται από κάποια θέση και φτάνοντας στην κατακόρυφη θέση έχει γωνιακή ταχύτητα ω₁=3rad/s.

i)  Δυο μαθητές συζητώντας για τη στροφορμή της ράβδου στη θέση αυτή, ως προς τον άξονα ο οποίος περνά από το άκρο Α, υποστηρίζουν:

α)  Ο Α, η στροφορμή δίνεται από την εξίσωση L_Α=Ι_Α∙ω.

β)  Ο Β, η στροφορμή της ράβδου δίνεται από την εξίσωση L_Α=Ι_cm∙ω + mυ_m∙R, όπου R= ½ℓ η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει το κέντρο μάζας Κ της ράβδου.

Ποιος έχει δίκιο;

ii) Στη θέση αυτή η ράβδος συγκρούεται με μια μικρή σφαίρα που θεωρείται υλικό σημείο μάζας ½ m, η οποία αμέσως μετά την κρούση αποκτά ταχύτητα υ. Η σφαίρα κρέμεται από νήμα, σε τρεις διαφορετικές εκδοχές, που φαίνονται στο σχήμα, όπου για το μήκος του νήματος ισχύει:

α) ℓ₁= ½ ℓ      β) ℓ₂= ℓ,     γ)  ℓ₃= 1,5 ℓ.

Σε ποια περίπτωση η σφαίρα αποκτά μεγαλύτερη ταχύτητα;

iii) Η σφαίρα αποκτά αμέσως μετά την κρούση ταχύτητα υ=3m/s. Θέλουμε να βρούμε τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση και μας προτείνονται οι απόψεις τριών μαθητών Α, Β και Γ:

Α)  Να εφαρμόσουμε για την κρούση της αρχή διατήρηση της ορμής.

Β)  Να εφαρμόσουμε και για τα τρία σχήματα την ΑΔΣ ως προς όποιο σημείο θέλουμε.

Γ)  Να εφαρμόσουμε την αρχή διατήρηση της στροφορμής (ΑΔΣ) ως προς το σημείο Α.

Ποιος ή ποιοι μαθητές έχουν δίκιο;

iv) Να υπολογίσετε την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση και στις τρεις παραπάνω περιπτώσεις.

    Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της
 Ι= mℓ²/12.

Απάντηση:

ή

	Η στροφορμή και μια κρούση.

Η μία τριβή σταθερή η άλλη… με αστάθεια.

Σημειακό αντικείμενο Σ μάζας m₁ = 0,8 kg βρίσκεται στο άκρο Α της δοκού μάζας m₂ = 3,2 kg και μήκους ℓ = 5 m. Η δοκός βρίσκεται σε επαφή με τροχό, ροπής αδράνειας Ι = 0,9 kg·m² και ακτίνας R = 0,3 m ο οποίος περιστρέφεται. Η δοκός παρουσιάζει ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης και με το σημειακό αντικείμενο αλλά και με τον τροχό. Κάποια στιγμή (t₀ = 0) που ο τροχός έχει γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω₀ = 37 rad/s εκτοξεύουμε το σημειακό αντικείμενο με ταχύτητα μέτρου υ = 1 m/s, η οποία διατηρείται σταθερή κατά την διάρκεια της ολίσθησης πάνω στη δοκό.

α. Να βρείτε το συντελεστής τριβής ολίσθησης της δοκού με τα δύο σώματα.

β. Να υπολογίσετε την κάθετη δύναμη που δέχεται η δοκός από τον τροχό σε συνάρτηση με το χρόνο.

Δυο σώματα και μια διπλή τροχαλία.

H τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ =2kg, ακτίνα R = 0,3m, είναι συμπαγής και ομογενής και φέρει ομόκεντρη κυκλική προεξοχή ακτίνας r = 0,1m. Στην περιφέρεια της τροχαλίας και στην κυκλική προεξοχή έχουμε τυλίξει δύο νήματα, (1) και (2), πολλές φορές ώστε να μην ολισθαίνουν και στα άκρα τους έχουμε δέσει δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁=2kg και m₂=1kg αντίστοιχα. Τα σώματα οποία ισορροπούν δεμένα και με τα κατακόρυφα νήματα (3) και (4) με το έδαφος, όπως στο σχήμα.

i)   Ποιο νήμα, το (3) ή το (4) μπορούμε να κόψουμε, χωρίς να πάψει να ισορροπεί το σύστημα; Να δικαιολογήστε την επιλογή σας.

ii)  Να υπολογισθεί η τάση του νήματος που είναι απαραίτητο για την ισορροπία.

ii)  Σε μια στιγμή κόβουμε το παραπάνω νήμα. Να υπολογισθεί η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας.

iii)  Πόσο θα έχει αυξηθεί η δυναμική ενέργεια του Σ₁ τη στιγμή που η δυναμική ενέργεια του Σ₂ έχει μειωθεί κατά 3J;

Δίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Απάντηση:

	Δυο σώματα και μια διπλή τροχαλία.

Τρεις ιδέες ...σε μια τροχαλία.

Μια ''ομάδα παιδιών'' που τους αρέσει η Φυσική αποφάσισαν να διανυκτερεύσουν στο δάσος. Για να προστατέψουν το κιβώτιο με τα τρόφιμα από τα ζώα του δάσους επέλεξαν ένα πολύ ψηλό δέντρο....

Η άσκηση ...εδώ.

4 Β Θέματα στην μηχανική στερεού + 1 bonus.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε μία τετράγωνη ταμπέλα μάζας Μ και πλευράς ℓ η οποία είναι κρεμασμένη από σχοινί μήκους ℓ/2. Η ροπή αδράνειας τετράγωνης πλάκας ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο της και διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι Ι_cm,1 = Mℓ²/6, ενώ η ροπή αδράνειας ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σ’ αυτή είναι Ι_cm,2 = Mℓ²/12.

Αυτά είναι τα Β θέματα από το διαγώνισμα στην μηχανική στερεού από αρχή εώς και ροπή αδράνειας.
Ολόκληρο το διαγώνισμα και οι λύσεις είναι διαθέσιμα εδώ.

Περί κύλισης και τριβής.

Με αφορμή ένα τεθέν ερώτημα, ας δούμε λίγο αναλυτικά τι σημαίνει κύλιση ενός τροχού και τι συμβαίνει με την ασκούμενη δύναμη τριβής.

Ας δούμε αρχικά, τι γράφει το σχολικό βιβλίο:

Για να  δούμε, πώς «μεταφράζονται» από μια άλλη οπτική γωνία τα παραπάνω.

Η κύλιση του τροχού μπορεί να θεωρηθεί σύνθετη κίνηση, αποτελούμενη από μια μεταφορική με ταχύτητα υ_cm και μια στροφική με γωνιακή ταχύτητα ω. Αλλά τότε αν εστιάσουμε στο σημείο Α, σημείο επαφής του τροχού με το έδαφος, αυτό έχει τις ταχύτητες του διπλανού σχήματος, όπου υ_γρ=ωR. Αλλά τότε με βάση την παραπάνω σχέση του βιβλίου υ_cm=ωR, έχουμε ότι υ_γρ=υ_cm=ωR.

Αλλά τότε το σημείο του τροχού Α δεν έχει ταχύτητα ή αν προτιμάτε έχει την ίδια ταχύτητα με το σημείο επαφής Α΄ του εδάφους.

Θα μπορούσαμε λοιπόν να ορίσουμε ως κύλιση, την κίνηση εκείνη, όπου δεν υπάρχει σχετική κίνηση μεταξύ των σημείων επαφής Α-Α΄ του τροχού και του εδάφους.

Ας δούμε πώς εφαρμόζονται τα παραπάνω σε διάφορες περιπτώσεις, αλλά και πώς και αν η κύλιση συνδέεται με την άσκηση δύναμης τριβής, με τη βοήθεια κάποιων εφαρμογών.

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

	Περί κύλισης και τριβής.

Μην χάσουμε τον σύνδεσμο ή τον κινηματικό περιορισμό!!!

Σε πάρα πολλές περιπτώσεις κατά τη μελέτη του στερεού, το πρόβλημα επιλύεται με εφαρμογή του 2^ου νόμου του Νεύτωνα, τόσο για την περιστροφική κίνηση κάποιου στερεού, όσο και για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας του ή μεταφορική κίνηση άλλου υλικού σημείου, το οποίο συνδέεται με κάποιο τρόπο με το στερεό μας. Αλλά οι εξισώσεις αυτές δεν επαρκούν από μόνες τους για την επίλυση. Μας λείπει μια εξίσωση, η οποία συνήθως είναι μια «εξίσωση συνδέσμου», δηλαδή μια εξίσωση που αναφέρεται σε κάποιο σημείο και στις ιδιαίτερες συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί και που μπορεί να συνδέει τις δύο διαφορετικές κινήσεις. Αν δεν εστιάσουμε στο σύνδεσμο αυτό, το πρόβλημά μας, δεν θα επιλυθεί…

Ας δούμε μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις.

Εφαρμογή 1^η:

Ένας τροχός μάζας 20kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή ασκείται στον άξονά του μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=30Ν, οπότε αρχίζει να κυλίεται. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του άξονα μετά από 10s.

Η συνέχεια σε pdf

ή

Μην χάσουμε τον σύνδεσμο ή τον κινηματικό περιορισμό!!!

Βρείτε την επιτάχυνση και την γωνιακή επιτάχυνση.

Ο κύλινδρος του σχήματος έχει ακτίνα R=0,2 m, και εγκοπή βάθους R/2 στην οποία έχει τυλιχθεί νήμα δεμένο σταθερά στο σημείο Α.

 Ο συντελεστής τριβής μεταξύ αυτού και  του κεκλιμένου επιπέδου είναι 0,5

Το νήμα είναι παράλληλο με το κεκλιμένο επίπεδο.

Δίδεται ότι ημφ=0,6   και συνφ=0,8

Απάντηση: