ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ξανά)

Στη διάταξη του σχήματος δίνονται η σταθερά του ιδανικού ελατηρίου K=100N/m και ότι η μάζα του σώματος Σ είναι m=4Kg.Η τροχαλία θεωρείται αβαρής.

Το χέρι μας ασκεί περιοδική δύναμη F, και το σώμα Σ  εκτελεί εξαναγκασμένη  αρμονική ταλάντωση συχνότητας f₁=4/2πHz και πλάτους Α=4,4cm χωρίς αρχική φάση. Το σώμα κινούμενο δέχεται δύναμη αντίστασης F_αντ= -b×υ με σταθερά απόσβεσης b=0,4Kg×s^-1.

α) Να γράψετε τις σχέσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας του ταλαντωτή σε συνάρτηση με το χρόνο.

β) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης F του διεγέρτη σε συνάρτηση με το χρόνο.

γ) Να υπολογίσετε τη δύναμη του διεγέρτη τη χρονική στιγμή t=π/12s, καθώς και το ρυθμό προσφερόμενης ενέργειας εκείνη τη στιγμή.

δ) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης F του διεγέρτη σε συνάρτηση με το χρόνο όταν έχουμε συντονισμό και να υπολογίσετε το ρυθμό προσφερόμενης ενέργειας τη στιγμή t=π/15 s.

Συνοπτική λύση:

ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ ΘΕΣΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ

Βλήμα μάζας m = 0,1 kg βάλλεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Όταν βρίσκεται κατά h = 3,25 m, κάτω από το σώμα μάζας Μ = 1,9 kg - που ισορροπεί δεμένο σε κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m - η ταχύτητα του είναι υ₀ = 15m/s. Η κρούση είναι πλαστική και το συσσωμάτωμα μετά την κρούση εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Ως στιγμή t = 0 για την έναρξη της ταλάντωσης θεωρούμε τη στιγμή που το συσσωμάτωμα περνά από την θέση ισορροπίας της ταλάντωσης με θετική ταχύτητα (θετική η φορά προς τα πάνω). Να βρείτε:

α. Την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.

β. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος που αποτελεί η ενέργεια της ταλάντωσης.

γ. Την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της δύναμης που δέχεται από το ελατήριο

δ. Την κινητική ενέργεια που έπρεπε να έχει το βλήμα ελάχιστα πριν την κρούση ώστε το συσσωμάτωμα μετά την κρούση να φτάσει ως την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου.

Δίνεται g = 10 m/s².

 

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ-ΚΡΟΥΣΗ… ΚΑΙ ΜΕΤΑ ΤΙΠΟΤΑ!!

Στο σχήμα απεικονίζεται κατακόρυφο ελατήριο, στη θέση φυσικού μήκους(θ.Φ.Μ.), με το κάτω άκρο δεμένο στο δάπεδο, ενώ στο πάνω έχουμε προσδέσει σώμα μάζας m₁. Αφήνουμε το σώμα να κινηθεί τη χρονική στιγμή t_o=0 και τη χρονική στιγμή  t₁ αφήνουμε από το ίδιο σημείο, να κάνει ελεύθερη πτώση το σώμα μάζας m₂ . Τα σώματα συγκρούονται πλαστικά και ακαριαία τη χρονική στιγμή t₂, πριν  ολοκληρώσει πλήρη ταλάντωση το σώμα m₂, και αμέσως μετά την κρούση τους ισορροπούν. Δίνονται: m₁=0,4kg ,  k=40N/m ,g=10m/s² . Να υπολογίσετε:

1   1.  Τη μάζα m₂
2.    Τη θέση που έγινε η κρούση
3.    Τις χρονικές στιγμές t₁ και t₂ 
4.    Την απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση
5.    Τη θέση του σώματος μάζας m₂ τη στιγμή που το m₁ σταμάτησε στιγμιαία για πρώτη φορά.

Απάντηση: 

Μια ΑΑΤ…. τμήμα μιας ταλάντωσης.

Ένα κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k=200Ν/m, στηρίζεται στο έδαφος με το κάτω άκρο του, ενώ στο πάνω άκρο του ηρεμεί ένα σώμα μάζας m=8kg, χωρίς να είναι δεμένο με το ελατήριο. Ασκώντας κατάλληλη κατακόρυφη δύναμη, εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y₁=0,8m και για t=0 το αφήνουμε να κινηθεί.

i)  Ν’ αποδειχθεί ότι, για όσο χρόνο το σώμα βρίσκεται σε επαφή με το ελατήριο, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

ii) Ποια χρονική στιγμή το σώμα εγκαταλείπει το ελατήριο; Τι κίνηση θα πραγματοποιήσει από κει και πέρα;

iii) Πόσο θα απέχει το σώμα από το πάνω άκρο του ελατηρίου, τη στιγμή που θα μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητά του;

iv) Ποια χρονική στιγμή το σώμα θα επιστρέψει ξανά στην αρχική του θέση, για πρώτη φορά;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μια ΑΑΤ…. τμήμα μιας ταλάντωσης.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΙ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕΡΟΣ 2

1. Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m που έχει τον άξονα του κατακό­ρυφο έχει το φυσικό του μήκος και η πάνω άκρη του είναι δεμένη σε σταθε­ρό σημείο. Δένουμε στη κάτω άκρη του ελατήριου ένα σώμα, που έχει μάζα m = 1 kg και τη χρονική στιγμή t = 0 δίνουμε από τη θέση αυτή στο σώμα ταχύτητα υ = √3  m/s. Θεωρείστε θετική τη φορά προς τα κάτω. Δίνεται g = 10 m/s².

Για κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να εξηγήσετε αν είναι σωστή ή λανθα­σμένη.

α. η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης συμπίπτει με το φυσικό μήκος του ελατήριου.

β. η επιτάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t = 0 είναι α = 10 m/s².

γ. το σώμα θα περάσει και πάλι για πρώτη φορά από την αρχική του θέση σε χρό­νο Τ.

δ. το πλάτος της ταλάντωσης είναι 0,1 m.

 

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΙ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕΡΟΣ 1

1.  Στην κάτω άκρη ενός ιδανικού ελατήριου είναι δεμένο ένα σώμα που έχει μά­ζα m₁ = m και ισορροπεί. Στην κάτω άκρη ενός άλλου ομοίου ελατήριου είναι δεμένο ένα άλλο σώμα που έχει μάζα m₂ = 4m και ισορροπεί. Τα πάνω άκρα των δυο ελατήριων είναι δεμένα σε σταθερά σημεία. Απομακρύνουμε κάθε σώμα κατακόρυφα κατά d από τη θέση ισορροπίας του και τα αφήνουμε ελευθέρα να εκτελέσουν απλή αρμονική ταλάντωση.

Α. Για ποιο από τα δυο σώματα καταναλώσαμε περισσότερη ενέργεια;

Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Β. Αν α₁,_max η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά το σώμα μάζας m₁ τότε, η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά το σώμα μάζας m₂ είναι:

 

Πότε ολισθαίνει;

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ του σχήματος έχουν μάζες Μ=4Kg και m=1Kg αντίστοιχα. Το Σ₁ είναι δεμένο στην άκρη δυο όμοιων ελατηρίων συνολικής σταθεράς Κ=500N/m ενώ το Σ₂ ακουμπά πάνω στο Σ₁. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί. Μετακινούμε τα σώματα ώστε τα ελατήρια να συσπειρωθούν επιπλέον κατά A=ΔL=0,1m ενώ ασκούμε στο Σ₂ μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=2,5N όπως φαίνεται στο σχήμα.  Στη συνέχεια τη χρονική στιγμή t=0, αφήνουμε το σύστημα  ελεύθερο και αυτό πραγματοποιεί α.α.τ. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ των δυο σωμάτων είναι μ=0,5 να βρείτε:

α) Σε ποια θέση αρχίζει η ολίσθηση του Σ₂; Ποια χρονική στιγμή γίνεται αυτό για πρώτη φορά;

β) Ποια είναι η συνολική επ₂ στη θέση που τα ελατήρια έχουν το φυσικό του μήκος;

ιτάχυνση του Σ

Δίνεται g=10m/s² .

Συνοπτική λύση:

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΣΤΑ ΕΛΑΤΗΡΙΑ

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την επιλογή σας στις παρακάτω ερωτήσεις.

1.Βλήμα, μάζας m, κινείται με ταχύτητα μέτρου υ₀ και συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας Μ που βρίσκεται δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Αρχικά το βλήμα βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα και το συσσωμάτωμα ταλαντώνεται με πλάτος Α₁. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία εκτοξεύοντας αυτή τη φορά το βλήμα με ταχύτητα μέτρου υ₀ που σχηματίζει γωνία φ = 60^ο με την οριζόντια διεύθυνση. Το συσσωμάτωμα τώρα ταλαντώνεται με πλάτος Α₂. Για τα δύο πλάτη ισχύει:

α. Α₁ = 2Α₂                 β. Α₁ = Α₂                   γ. Α₂ = 2Α₁

Λύση

Μια κατακόρυφη ταλάντωση μετά κρούσεως!!!

Μια άσκηση σε test του 2004

Ένα σώμα Σ μάζας 4kg ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Η συσπείρωση που προκαλείται στο ελατήριο είναι ίση με 0,1m. Ανεβάζουμε το σώμα κατακόρυφα κατά d= 0,2m και για t=0 το αφήνουμε να κινηθεί.

i) Ν’ αποδειχθεί ότι το σώμα Σ θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.

ii) Να γράψετε της εξίσωση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με το χρόνο, αν η θετική φορά είναι προς τα πάνω.

iii) Να βρεθεί η εξίσωση της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

iv) Μόλις το σώμα Σ μετακινηθεί κατά 0,3m, από την θέση που το αφήσαμε, συγκρούεται (όχι πλαστικά) με ένα άλλο σώμα Σ₁ που κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω. Το νέο πλάτος ταλάντωσης του σώματος Σ μετά την κρούση είναι ίσο με 0,3m.

α) Πόση ενέργεια πήρε το σώμα Σ, από το Σ₁ κατά την κρούση;

β)Πόση ήταν η Κινητική ενέργεια του σώματος Σ αμέσως μετά την κρούση;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μια κατακόρυφη ταλάντωση μετά κρούσεως!!!

ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΕΣ

ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΕΣ

Μια πλαστική κρούση και ενέργειες ταλάντωσης.

Ένα σώμα Σ₁ μάζας m₁=2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m. Μετακινούμε το σώμα Σ₁ συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά Δℓ=0,5m, φέρνοντάς το στη θέση Γ. Για t=0 αφήνουμε το σώμα Σ ελεύθερο να ταλαντωθεί, (δεχόμαστε ότι αυτό εκτελεί α.α.τ.) ενώ τη στιγμή αυτή απέχει απόσταση (ΓΔ)= d=5m από ένα δεύτερο σώμα  μάζας m₂=3kg, το οποίο κινείται αντίθετα κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου. Τη χρονική στιγμή t₁=1s τα δύο σώματα συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά.

i) Σε ποια θέση συγκρούσθηκαν τα δύο σώματα και με ποια ταχύτητα υ₂ κινείτο το δεύτερο σώμα  Σ₂;

ii) Ποια η ενέργεια ταλάντωσης πριν και μετά την κρούση;

iii) Με ποια ταχύτητα το συσσωμάτωμα θα φτάσει στη θέση Γ;

iv) Ποιο το πλάτος ταλάντωσης μετά την κρούση;

 Θεωρείστε ότι και το σώμα Σ₂ κινείται χωρίς τριβές, η κίνηση μετά την κρούση είναι απλή αρμονική ταλάντωση και π² »10.

Απάντηση: 

ή

Μια πλαστική κρούση και ενέργειες ταλάντωσης.