Ένα δεύτερο θέμα με δυο κυλίνδρους.

Διαθέτουμε δύο κυλίνδρους Α και Β ίσων ακτίνων, από το ίδιο υλικό, αλλά ο Β έχει διπλάσιο ύψος του Α. Αφήνουμε την ίδια στιγμή τους  δύο κυλίνδρους να κυλίσουν κατά μήκος του ίδιου επιπέδου από ύψος h. Οι κύλινδροι κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν ενώ η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου ως προς τον άξονα που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεων είναι Ι_cm= ½ ΜR².

i) Πρώτος θα φτάσει στη βάση του επιπέδου:

α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα φτάσουν ταυτόχρονα.

ii) Μεγαλύτερη ταχύτητα κέντρου μάζας θα αποκτήσει:

α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα αποκτήσουν ίσες ταχύτητες cm.

iii) Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια θα αποκτήσει:

α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα αποκτήσουν ίσες κινητικές ενέργειες.

iv) Σε μια στιγμή στη διάρκεια της καθόδου, μεγαλύτερη στροφορμή, ως προς τον άξονά του έχει:

α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα έχουν ίσες στροφορμές.

v) Σε μια στιγμή στη διάρκεια της καθόδου, μεγαλύτερο ρυθμό μεταβολής της στροφορμής, ως προς τον άξονά του έχει:

α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) οι δυο ρυθμοί είναι ίσοι.

Απάντηση:

ή

Ένα δεύτερο θέμα με δυο κυλίνδρους.

Μια πτώση σφαίρας.

Μια σφαίρα μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=0,5m έχει προσκολληθεί  στο άκρο ομογενούς ράβδου μάζας m=16kg μήκους ℓ=0,75m, με αποτέλεσμα να έχει σχηματισθεί ένα στερεό Σ, το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο Ο της ράβδου. Φέρνουμε το στερεό σε τέτοια θέση, ώστε η ράβδος να είναι οριζόντια και το αφήνουμε να κινηθεί.

i) Να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα του κέντρου Κ της σφαίρας.

ii) Αν μειώσουμε τη μάζα της ράβδου, θα αυξηθεί ή θα μειωθεί η μέγιστη ταχύτητα της  σφαίρας;

iii) Σε ποια τιμή τείνει η ταχύτητα του κέντρου Κ της σφαίρας, αν η ράβδος θεωρηθεί αβαρής;

iv) Να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα του κέντρου Κ της σφαίρας στην περίπτωση που, η αβαρής ράβδος αντικατασταθεί με αβαρές νήμα  μήκους ℓ=1,25m. (Το νήμα συνδέεται στα άκρα μιας διαμέτρου, που ουσιαστικά είναι ισοδύναμο με το να έχει συνδεθεί στο κέντρο της σφαίρας).

Δίνεται για την σφαίρα Ι_cm= 2/5ΜR², για τη ράβδο Ι_cm= 1/12 mℓ²  και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μια πτώση σφαίρας.

Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου.

Ράβδος μάζας Μ βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Μπορεί να περιστραφεί χωρίς τριβές περί κατακόρυφο άξονα στο Ο.

Στο σημείο Κ συνδέεται οριζόντιος δίσκος μάζας m που μπορεί να περιστραφεί χωρίς τριβές περί κατακόρυφο άξονα στο σημείο Κ.

Ασκείται στο μέσον της ράβδου δύναμη F σταθερού μέτρου συνεχώς κάθετη στη ράβδο.

Ζητάμε υπολογισμό της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου και παίρνουμε τις παρακάτω απαντήσεις.

Συνέχεια:

Στρεφόμενη ράβδος και τροχαλία σε αλληλεπίδραση

Στο σχήμα έχουμε: Ράβδο ΟΑ μάζας m,μήκους l, ροπής αδράνειας ως προς τον σταθερό οριζόντιο άξονα περιστροφής Ο: Ι_Ο=(1/3)ml².

Τροχαλία μάζας m₂, ροπής αδράνειας Ι₂=(1/2)m₂r², έχει στο κέντρο της αύλακα από όπου έχουμε τυλίξει πολλές φορές νήμα, μη εκτατό, αμελητέας μάζας.

Το νήμα συνδέει το άκρο Α της ράβδου με ένα σώμα Σ, μάζας m₁  δεμένο στο άλλο άκρο του νήματος. Το σύστημα των σωμάτων ισορροπεί. Ο σταθερός άξονας της τροχαλίας απέχει l από το άκρο Α.

 1.    Βρείτε μια σχέση μεταξύ των μαζών m, m₁.

2.   Κόβουμε το νήμα που συνδέει το σώμα Σ με την τροχαλία. Η ράβδος λόγω βαρύτητας αρχίζει να στρέφεται και, επειδή το νήμα είναι τυλιγμένο πολλές φορές γύρω από την τροχαλία, στρέφει και την τροχαλία.

2Α: Πόση είναι η αρχική γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου και πόση της τροχαλίας;

2Β: Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου και πόση της τροχαλίας όταν η ράβδος γίνει κατακόρυφη;

2Γ: Μέχρι ποια θέση(γωνία φ με την κατακόρυφο) θα εκτραπεί η ράβδος μέχρι να ακινητοποιηθεί στιγμιαία για πρώτη φορά;

2Δ: Πόσες στροφές θα κάνει η τροχαλία μέχρι: α) η ράβδος γίνει κατακόρυφη

      β) σε χρόνο t₁ ,όπου t₁ ο χρόνος κίνησης της ράβδου από τη θέση της κατακορύφου μέχρι να σταματήσει στιγμιαία για πρώτη φορά.

2 Ε : Πόση δύναμη δέχεται ο άξονας της ράβδου μόλις κόψουμε το νήμα.

Δεδομένα: m,m₂, l ,g, t₁, δεν έχουμε τριβές.

Απάντηση:

Ένα δεύτερο θέμα με τροχούς.

Διαθέτουμε δύο όμοιους τροχούς σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο. Στον Α μπορούμε μέσω νήματος να ασκούμε δύναμη στο κέντρο μάζας Ο, στον Β έχουμε  τυλίξει γύρω του ένα νήμα, οπότε μπορούμε να ασκούμε δύναμη τραβώντας το νήμα, όπως στο σχήμα. Ασκούμε ίσες δυνάμεις F στα άκρα Ν των δύο νημάτων, μέχρι να μετακινήσουμε το άκρο του νήματος κατά x=1m, ενώ οι τροχοί κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν.

i) Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια αποκτά:

 α) Ο τροχός Α           β) ο τροχός Β,         γ) αποκτούν ίσες κινητικές ενέργειες.

ii) Σε μια στιγμή η κινητική ενέργεια του Β τροχού αυξάνεται με ρυθμό 4J/s. Την ίδια στιγμή η κινητική ενέργεια του Α τροχού αυξάνεται με ρυθμό:

α) 1J/s              β) 2J/s          γ) 4J/s,                   δ) 8J/s.

iii) Να κάνετε στο ίδιο διάγραμμα τις γραφικές παραστάσεις της ισχύος κάθε δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Ένα δεύτερο θέμα με τροχούς.

Η διατήρηση της στροφορμής μιας περιφερόμενης και περιστρεφόμενης μπάλας.

Η συμπαγής σφαίρα του σχήματος έχει μάζα 20 kg και ακτίνα R= 10 cm. Οι κατακόρυφες ράβδοι έχουν αμελητέα μάζα και μήκος 2R.

Οι κατακόρυφοι άξονες δεν εμφανίζουν τριβές.

Η γωνιακή ταχύτητα ιδοπεριστροφής της σφαίρας είναι ω₂ = 72 rad/s.

Οι ράβδοι περιστρέφονται με γωνιακή ταχύτητα      ω₁ =  5 rad/s.

Κάποια χρονική στιγμή που ονομάζουμε μηδέν η σφαίρα δέχεται σταθερή ροπή ζεύγους τ =0,56 Ν.m μέχρις ότου ακινητοποιηθεί. Ο μηχανισμός πέδησης βρίσκεται στις ράβδους.

1. Να υπολογισθεί η ολική αρχική στροφορμή της σφαίρας ως προς τον αριστερό άξονα.
2. Να υπολογιστεί η τελική γωνιακή ταχύτητα περιφοράς της σφαίρας.
3. Να παρασταθεί γραφικά η γωνιακή ταχύτητα περιφοράς της σφαίρας συναρτήσει του χρόνου.
4. Να υπολογισθεί η επιτρόχιος δύναμη που η σφαίρα δέχεται από τον άξονά της.

Απάντηση:

Ένα τρίωρο επαναληπτικό διαγώνισμα στη Φυσική Γ΄Τάξης

Ένας τροχός ο οποίος στρέφεται με κάποια γωνιακή ταχύτητα, εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η ταχύτητα του ανώτερου σημείου Α, τριπλάσια της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού, αμέσως μετά την εκτόξευση. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα περιγράφει σωστά την ταχύτητα του κέντρου μάζας Ο του τροχού, σε συνάρτηση με το χρόνο;

Δείτε όλο το διαγώνισμα από εδώ.

ΕΔΩ.

Μια ρακέτα του τένις.

Mια ρακέτα του τένις μπορούμε  να τη θεωρήσουμε ότι αποτελείται  από μία λεπτή ομογενής ξύλινη ράβδο μάζας M= 300gr και μήκους L=10cm και από ένα λεπτό ελαστικό δίσκο μάζας m=400gr και ακτίνας R=10cm που είναι κολλημένα μεταξύ τους στο άκρο της ξύλινης ράβδου με την ευθεία της ράβδου να διέρχεται από το κέντρο του ελαστικού δίσκου. Στο άκρο της ράβδου που δεν είναι ενωμένο με το δίσκο ανοίγουμε μία μικρή οπή έτσι ώστε το σύστημα να μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον οριζόντιo  άξονα Ο που  είναι συνεχώς παράλληλος με το επίπεδο του ελαστικού δίσκου όπως το παρακάτω σχήμα.

Η ρακέτα αφήνεται ελεύθερη από το ανώτερό της σημείο και όταν αποκτά την μέγιστη ταχύτητά της για πρώτη φορά συγκρούεται τελείως ελαστικά με μία σημειακή μπάλα του τένις  μάζας  m₁=100gr που κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ=10m/s . H σύγκρουση είναι ακαριαία και πραγματοποιείται στο κέντρο του ελαστικού δίσκου.

Να βρεθούν:

Α) Η ροπή αδράνειας της ρακέτας γύρω από τον άξονα περιστροφής της Ο.

Β) Η μέγιστη κινητική ενέργεια της ρακέτας πριν την κρούση

Γ) Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας  της ρακέτας αλλά και το μέτρο της ταχύτητας της μπάλας  μετά την κρούση.

Δ) Τη μέγιστη γωνία εκτροπής της ρακέτας μετά την κρούση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου Ι_cm=1/12 ML²   ενώ η ροπή αδράνειας του δίσκου είναι Ι_Δ= mR²/4  για άξονα που ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ του δίσκου και περνάει από το κέντρο μάζας.

Απάντηση:

Αλληλεπίδραση μεταξύ σταθερά συνδεδεμένων ράβδων

Δύο λεπτές ομογενείς ράβδοι ΑΒ και ΑΓ έχουν μάζες Μ, 2∙Μ και μήκη L, 2∙L αντίστοιχα. Τις συνδέουμε σταθερά στο ένα άκρο Α (π.χ. με συγκόλληση ή με βίδα / παξιμάδι και καλό σφίξιμο) έτσι ώστε να δημιουργηθεί ένα στερεό σχήματος (ανοικτού) ορθογωνίου τριγώνου με γωνία θ=60º μεταξύ των ράβδων. Το στερεό ηρεμεί ακουμπισμένο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο και κάποια στιγμή ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F_εξ στο μέσο της μικρής ράβδου και κάθετα προς αυτή, όπως στο σχήμα.

Α) Να προσδιορίσετε τη μεταφορική και τη γωνιακή επιτάχυνση του στερεού.

Β) Να περιγράψετε το είδος της αλληλεπίδρασης ανάμεσα στις δύο ράβδους και να προσδιορίσετε τα χαρακτηριστικά της.

( Δίνονται: Μ = 2 kg  ,  L = 3m  ,  F_εξ = 30 N )

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ποια είναι η στροφορμή του συστήματος; Βρείτε τη σωστή απάντηση.

Η λεπτή ομογενής ράβδος του σχήματος έχει μάζα Μ και μήκος ℓ.

Ο ομογενής δίσκος μάζα m και ακτίνα R.

Ποια είναι η στροφορμή του συστήματος ως προς τον κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο;

Βρείτε την σωστή απάντηση.

Συνέχεια:

Μια ορθή γωνία στρέφεται.

Διαθέτουμε δύο όμοιες ομογενείς ράβδους με μήκος ℓ=1m και μάζα Μ=3kg η καθεμιά. Τις καρφώνουμε ενώνοντας το ένα τους άκρο Α σχηματίζοντας γωνία 90°, δημιουργώντας ένα στερεό Σ, το οποίο μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο Ο της ράβδου ΟΑ, όπως στο σχήμα, χωρίς τριβές. Φέρνουμε το στερεό Σ σε τέτοια θέση, ώστε η ράβδος ΑΒ να είναι οριζόντια και το αφήνουμε να κινηθεί.

i)  Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του στερεού Σ καθώς και  η αρχική επιτάχυνση του άκρου Β της ράβδου ΑΒ.

ii) Για την θέση (2) που η ράβδος ΑΒ γίνεται ξανά οριζόντια, να υπολογιστούν:
α) η ταχύτητα του άκρου Β και ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητάς του.

β) η στροφορμή του στερεού Σ και η στροφορμή κάθε ράβδου, ως προς (κατά)  τον άξονα περιστροφής.

γ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς (κατά) τον άξονα περιστροφής του στερεού Σ και οι αντίστοιχοι ρυθμοί για κάθε ράβδο.

δ) Η ροπή που ασκείται  στην ράβδο ΑΒ από την ράβδο ΟΑ ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο.

Απάντηση:

ή

Μια ορθή  γωνία στρέφεται.