Μια ισορροπία και μια επιτάχυνση μέσω ελατηρίου

Ο ομογενής κύλινδρος του σχήματος μάζας m=4kg και ακτίνας R, ισορροπεί σε οριζόντιο επίπεδο, ενώ γύρω του έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα στο άκρο του οποίου συνδέεται οριζόντιο ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k=100Ν/m, με την επίδραση οριζόντιας δύναμης F=30Ν, η οποία ασκείται στο κέντρο μάζας του Ο.

i)   Να δικαιολογήσετε γιατί ο κύλινδρος εμφανίζει τριβή με το επίπεδο.

ii)  Να βρείτε την επιμήκυνση του ελατηρίου, καθώς και τον ελάχιστο συντελεστή οριακής στατικής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και επιπέδου, για την παραπάνω ισορροπία.

iii) Κάποια στιγμή σταματάμε την εξάσκηση της δύναμης F. Να υπολογιστεί η επιτάχυνση την οποία θα αποκτήσει το ανώτερο σημείο του κυλίνδρου Α, καθώς και η τριβή η οποία θα ασκηθεί στον κύλινδρο, αμέσως μόλις αφεθεί να κινηθεί.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ι_cm= ½ mR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια ισορροπία και μια επιτάχυνση μέσω ελατηρίου

 Μια ισορροπία και μια επιτάχυνση μέσω ελατηρίου

Δύο κινήσεις του ίδιου κυλίνδρου

 

 Ο κύλινδρος του σχήματος  έχει μάζα m=4kg και ακτίνα R και στο κεντρικό του τμήμα φέρει εγκοπή ακτίνας r=0,5R. Στην εγκοπή έχουμε τυλίξει ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε μια οριζόντια σταθερή δύναμη μέτρου F=16Ν. Στο σχήμα βλέπετε τρία σημεία Α, Β και Γ, όπου το Α είναι ένα σημείο επαφής του κυλίνδρου με το επίπεδο, το Β το σημείο όπου το νήμα έρχεται σε επαφή με το κύλινδρο και το Γ είναι αντιδιαμετρικό του σημείου Α.

i)  Αν το επίπεδο είναι λείο:

α) Να βρεθούν οι αρχικές επιταχύνσεις των σημείων Α και Β.

β) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των αντίστοιχων σημείων στις θέσεις των Α, Β και Γ τη χρονική στιγμή t₁=5s.

ii) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις αν ο κύλινδρος παρουσίαζε με το επίπεδο συντελεστή τριβής μ=0,2;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου γύρω από τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ mR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Δύο κινήσεις του ίδιου κυλίνδρου

 Δύο κινήσεις του ίδιου κυλίνδρου

Όταν εμφανιστεί η τριβή…

 

Γύρω από ένα κύλινδρο, ο οποίος ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο Α, έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Σε μια στιγμή τραβάμε το νήμα ασκώντας στον κύλινδρο μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα.

i)  Η κίνηση του κυλίνδρου θα είναι μια κύλιση (χωρίς ολίσθηση) ή όχι και γιατί;

ii) Μετά από λίγο ο κύλινδρος περνά σε δεύτερο μη λείο οριζόντιο επίπεδο Β, όπως στο σχήμα, οπότε:

α) Θα δεχτεί στατική τριβή με φορά προς τα αριστερά.

β) Θα δεχτεί στατική τριβή με φορά προς τα δεξιά.

γ) Θα δεχτεί τριβή ολίσθησης με φορά προς τα αριστερά.

δ) Θα δεχτεί τριβή ολίσθησης με φορά προς τα δεξιά.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που ενώνει τα κέντρα των δύο βάσεών του Ι= ½ ΜR².

 Απάντηση:

ή

 Όταν εμφανιστεί η τριβή…

 Όταν εμφανιστεί η τριβή…

Η δύναμη από το σκαλοπάτι και η τριβή.

 

Γύρω από ένα κύλινδρο έχουμε τυλίξει ένα νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε μια οριζόντια δύναμη F. Ο κύλινδρος ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σε επαφή με εμπόδιο ύψους h, όπως στο σχήμα.

i)  Η δύναμη που δέχεται ο κύλινδρος από το εμπόδιο είναι:

α)  η δύναμη F₁ με κατεύθυνση προς το κέντρο Ο του κυλίνδρου.

β) η δύναμη F₂ με κατεύθυνση προς το ανώτερο σημείο Β του κυλίνδρου.

γ) Καμιά από τις δύο παραπάνω περιπτώσεις.

ii) Να αποδείξετε ότι μεταξύ κυλίνδρου και σκαλοπατιού αναπτύσσεται δύναμη τριβής.

iii) Για το μέτρο της ασκούμενης τριβής ισχύει:

α) Τ < F,   β) Τ = F,  γ) Τ > F.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Η δύναμη από το σκαλοπάτι και η τριβή.

 Η δύναμη από το σκαλοπάτι και  η τριβή.

Μερικές ερωτήσεις στη δυναμική στερεού.

 

Στις παρακάτω ερωτήσεις ένας ομογενής δίσκος μπορεί να κινείται σε οριζόντιο μη λείο επίπεδο.

Ερώτηση 1^η:

Ο δίσκος αρχικά ηρεμεί και κάποια στιγμή δέχεται στο κέντρο του οριζόντια δύναμη F, με αποτέλεσμα να αρχίσει να κυλίεται.

i) Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στον δίσκο είναι ή όχι οριζόντια;

ii) Ο φορέας της συνισταμένης δύναμης στον δίσκο, περνά από το σημείο:

α) το κέντρο Ο του δίσκου,    β) Α,      γ) το Β.

όπου τα σημεία Α και Β είναι σημεία μιας κατακόρυφης διαμέτρου, όπως στο σχήμα.

Απάντηση:

ή

 Μερικές ερωτήσεις στη δυναμική στερεού.

 Μερικές ερωτήσεις στη δυναμική στερεού.

Η ροπή αδράνειας ενός τριγώνου

 

Στο σχήμα βλέπετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, οι πλευρές του οποίου έχουν προκύψει από την ίδια ομογενή λεπτή ράβδο, έχοντας μήκη (ΑΒ)= 3m, (ΑΓ)= 4m και (ΒΓ)= 5m. Το τρίγωνο έχει μάζα 24kg και μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από την κορυφή Α, όπως στο πρώτο σχήμα, ενώ συγκρατείται σε τέτοια θέση, ώστε η πλευρά ΑΒ να είναι οριζόντια.

i)  Να υπολογιστεί η μάζα κάθε ράβδου-πλευράς του τριγώνου.

ii)  Αν η  ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της, δίνεται από την σχέση Ι_cm= (mℓ²/12), να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση της κορυφής Β, μόλις το τρίγωνο αφεθεί να περιστραφεί.

Στο δεύτερο σχήμα, το τρίγωνο μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος ταυτίζεται με την πλευρά ΑΓ.

iii) Ξεκινώντας από τον ορισμό της ροπής αδράνειας, μπορείτε να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της ράβδου ΒΓ ως προς τον άξονα z, συσχετίζοντάς την με την αντίστοιχη ροπή αδράνειάς της ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Γ;

iv) Πόση δύναμη, κάθετη στο επίπεδο του τριγώνου και με σταθερό μέτρο, πρέπει να ασκηθεί στην κορυφή Β, ώστε το τρίγωνο να περιστραφεί κατά 120° σε χρόνο Δt=2s;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η  ροπή αδράνειας ενός τριγώνου

 Η  ροπή αδράνειας ενός τριγώνου

Γύρω από ποιο άξονα περιστρέφεται η ράβδος;

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ηρεμεί μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=2m και μάζας m=3kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή δέχεται μια οριζόντια δύναμη μέτρου F=6Ν, κάθετη στην ράβδο, στο άκρο της Α, όπως στο σχήμα. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από  το μέσον της Ο,  Ι_cm= mℓ²/12.

i)  Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Ο της ράβδου, καθώς και η επιτάχυνση του άκρου Α, αμέσως μόλις ασκηθεί η δύναμη F.

ii) Υποστηρίζεται ότι η κίνηση της ράβδου μπορεί να θεωρηθεί μόνο στροφική. Να εξετάσετε αν αυτό είναι σωστό ή όχι.

iii) Μπορείτε να υπολογίσετε την γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου, θεωρώντας ως σημείο αναφοράς το άκρο Α της ράβδου και όχι το κέντρο μάζας Ο;

iv) Αν σας δίνετε ότι το άκρο Α της ράβδου αποκτά επιτάχυνση α_Α=4m/s², όταν αλλάξουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης, να βρείτε την αρχική επιτάχυνση του κέντρου Ο της ράβδου, θεωρώντας την κίνηση σύνθετη, μια μεταφορική και μια περιστροφή γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το σημείο Α.

Τα δύο τελευταία ερωτήματα απευθύνονται μόνο σε καθηγητές.

Απάντηση:

ή

 Γύρω από ποιο άξονα περιστρέφεται η ράβδος;

 Γύρω από ποιο άξονα περιστρέφεται η ράβδος;

Ανοίγοντας ένα παράθυρο στην πόρτα

 

Μια ξύλινη ομογενής πόρτα μάζας M=30kg με άνοιγμα α=1m και ύψος h=2m, στηρίζεται σε δύο μεντεσέδες Α και Β, οι οποίοι απέχουν από το πάνω και το κάτω μέρος της, αποστάσεις d=0,25m, όπως στο σχήμα.

i)   Αν ο κάτω μεντεσές Β ασκεί στην πόρτα οριζόντια  δύναμη, να βρεθεί η δύναμη που δέχεται η πόρτα από τον πάνω μεντεσέ Α.

ii) Το πόσο εύκολα ανοιγοκλείνει η πόρτα καθορίζεται από την ροπή αδράνειας που εμφανίζει ως προς τον κατακόρυφο άξονα περιστροφής της, ο οποίος περνά από τους μεντεσέδες. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω ροπή αδράνειας, είναι ανεξάρτητη του ύψους της πόρτας.

iii) Θέλοντας να κάνουμε ελαφρύτερη την πόρτα, αλλά και για να αερίζεται το δωμάτιο, ανοίγουμε ένα τετράγωνο παράθυρο, κόβοντας το ξύλο, με πλευρά β=0,5m, όπως στο δεύτερο σχήμα (το παράθυρο ισαπέχει από τις δύο κατακόρυφες πλευρές της πόρτας). 

α) Πόσο τοις  % μειώθηκε το βάρος της;

β) Πόσο της % μειώθηκε η ροπή αδράνειάς της, ως προς τον άξονα περιστροφής της;

Δίνεται g=10m/s², ενώ η ροπή αδράνειας μιας λεπτής ομογενούς σανίδας ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ι_cm=ml²/12.

Απάντηση:

ή

 Ανοίγοντας ένα παράθυρο στην πόρτα

 Ανοίγοντας ένα παράθυρο στην πόρτα

Ένα τρίγωνο και η ροπή αδράνειάς του

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα στερεό s, το οποίο έχει σχήμα ισοπλεύρου τριγώνου, αποτελούμενο από τρεις ίδιες ομογενείς λεπτές ράβδους, μήκους ℓ=1m και μάζας m=2kg η καθεμιά. Το στερεό μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από την κορυφή Α του τριγώνου. Σε μια στιγμή t₀=0 ασκούμε στην κορυφή Β δύναμη σταθερού μέτρου F=1,5π (Ν), η οποία είναι διαρκώς κάθετη στην πλευρά ΑΒ, όπως στο σχήμα. Το στερεό εκτελεί 4,5 περιστροφές μέχρι τη χρονική στιγμή t₁=6s.

i) Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του τριγώνου, καθώς και η επιτάχυνση της κορυφής Β που έχει την κατεύθυνση της ασκούμενης δύναμης F.

ii) Να υπολογισθεί η επιτάχυνση της κορυφής Β που είναι κάθετη στην δύναμη F, τη χρονική στιγμή t₁.

iii) Πόση είναι η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής z;

iv) Αν η ροπή αδράνειας της ράβδου ΑΒ ως προς τον άξονα z δίνεται από την σχέση Ι_ΑΒ=λ∙mℓ², να βρεθεί η σταθερά αναλογίας λ.

Απάντηση:

ή

 Ένα τρίγωνο και η ροπή αδράνειάς του
 Ένα τρίγωνο και η ροπή αδράνειάς του

Τα θεωρήματα παραλλήλων και καθέτων αξόνων

 

Ας ξεκινήσουμε από το «εντός ύλης» θεώρημα των παραλλήλων αξόνων (θεώρημα Steiner).

Έστω ένα επίπεδο στερεό, τυχαίου σχήματος και Κ το κέντρο μάζας του. Έστω επίσης ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων x,y,z, με αρχή το σημείο Ο, όπου μας ενδιαφέρει η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα y. Χωρίζουμε το στερεό σε στοιχειώδεις μάζες m_i και έστω μια από αυτές στο σχήμα με διάνυσμα θέσης r όπου, με βάση το σχήμα ισχύει:

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

  Τα θεωρήματα παραλλήλων και καθέτων αξόνων

  Τα θεωρήματα παραλλήλων και καθέτων αξόνων

Η κίνηση ενός δίσκου.

Ο ομογενής δίσκος του σχήματος κέντρου Κ και ακτίνας R=8/15m μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το σημείο Α, στο άκρο της ακτίνας ΚΑ, χωρίς τριβές. Συγκρατούμε το δίσκο σε τέτοια θέση, ώστε η ακτίνα ΚΑ να είναι οριζόντια (θέση 1) και σε μια στιγμή τον αφήνουμε να κινηθεί.

i)  Για τη στιγμή αμέσως μόλις αφεθεί  ελεύθερος ο δίσκος να κινηθεί, να βρεθούν η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου καθώς και οι επιταχύνσεις του κέντρου Κ του δίσκου, καθώς και του σημείου Β, αντιδιαμετρικού του σημείου Α.

Μετά από λίγο η ακτίνα ΚΑ γίνεται κατακόρυφη (σχήμα 2), οπότε τη στιγμή αυτή το σημείο Β έρχεται σε επαφή με λείο οριζόντιο επίπεδο, έχοντας ταχύτητα υ_Β=16/3 m/s. Στη θέση αυτή ο δίσκος αποδεσμεύεται από τον άξονα περιστροφής του στο Α και κινείται πλέον ελεύθερα στο οριζόντιο επίπεδο.

ii)  Να υπολογιστούν οι επιταχύνσεις των σημείων Κ και Β ελάχιστα πριν την αποδέσμευση του δίσκου από τον άξονα και αμέσως μετά.

iii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Β μετά από χρονικό διάστημα Δt= (π/10)s, από τη στιγμή της αποδέσμευσης του δίσκου από τον άξονα.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας Κ Ι_cm= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

 Η κίνηση ενός δίσκου.

 Η κίνηση ενός δίσκου.