Μια διαφορετική πλαστική κρούση

Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=1m και μάζας Μ=3kg μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο, χωρίς τριβές. Στο άλλο άκρο της ράβδου έχουμε συγκολλήσει μια μικρή σφαίρα Σ, αμελητέων διαστάσεων και μάζας m=1kg.  Φέρνουμε τη ράβδο σε οριζόντια θέση και την αφήνουμε να κινηθεί.

i)  Μετά από λίγο η ράβδος σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ=60°, όπως φαίνεται στο σχήμα. Για τη θέση αυτή να βρεθούν:

α) Η κινητική ενέργεια του στερεού s. 

β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, ως προς τον ίδιο άξονα, της σφαίρας Σ.

ii) Τη στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, η σφαίρα Σ συγκρούεται πλαστικά με δεύτερη όμοια σφαίρα Σ₁, η οποία κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους ℓ. Να υπολογιστούν:

α) Η ταχύτητα της σφαίρας Σ πριν την κρούση.

β) Η απώλεια κινητικής ενέργειας η οποία οφείλεται στην κρούση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι_ρ= 1/3 Μℓ² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια  διαφορετική πλαστική κρούση

Μια  διαφορετική πλαστική κρούση

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2019.

 

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2019.

ή εδώ.

Ένα γιο – γιο σε ταλάντωση

Ομογενής κύλινδρος Σ₂, (γιο–γιο) ισορροπεί έχοντας το νήμα τυλιγμένο γύρω της πολλές φορές. Η μία άκρη του νήματος είναι στερεωμένη στην οροφή Ο και η άλλη στο σώμα Σ₂, το οποίο ισορροπεί κρεμασμένο από κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=10Ν/m, που είναι στερεωμένο στην οροφή, όπως φαίνεται στο σχήμα 1.

Η μάζα του γιο–γιο είναι m₂=0,8kg και η ακτίνα του R=0,1m. Η ροπή αδράνειας του γιο–γιο, ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του και ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας του δίνεται από σχέση Ι_cm= ½·m₂·R².

Το σώμα Σ₁ θεωρείται σημειακό αντικείμενο μάζας m₁ =0,1kg. Το νήμα και το ελατήριο έχουν αμελητέες μάζες.

i. Να υπολογίσετε την επιμήκυνση d₀ του ελατηρίου από το φυσικό του μήκος στη θέση που ισορροπεί το σύστημα.

Κατόπιν ανυψώνουμε το σώμα m₁ από τη θέση που ισορροπεί κατά  d₁=0,2m  προς τα πάνω και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί μια χρονική στιγμή t που θεωρείται η t=0.

ii. Να βρεθεί η ενέργεια που προσφέρθηκε στο σύστημα για την ανύψωση των σωμάτων.

iii. Να υπολογίσετε την κατακόρυφη απόσταση y₂ του γιο–γιο που θα βρεθεί κάτω από τη θέση ισορροπίας του, τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητα του σώματος Σ₁ για πρώτη φορά.

iv. Nα βρείτε τη θέση που το σώμα Σ₁ αποκτά μέγιστη ταχύτητα και να την υπολογίσετε.

v. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου και ο ρυθμός μεταβολής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του Σ₁ και του γιο–γιο, τη στιγμή που έχουν μέγιστη ταχύτητα για πρώτη φορά.

vi. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος τη στιγμή που τα σώματα αποκτούν μέγιστες ταχύτητες για πρώτη φορά.

+ extra

 

Δίνονται: το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g=10m/s^2 .

Το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας και είναι συνεχώς τεντωμένο.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση

Δύο ράβδοι δημιουργούν ένα στερεό s.

Διαθέτουμε δύο ομογενείς ράβδους, την ΑΒ μήκους ℓ₁=3m  και μάζας m₁=2kg και την ΓΔ μήκους ℓ₂=2m και μάζας m₂. Συγκολλούμε τα άκρα Β και Γ των δύο ράβδων δημιουργώντας μια νέα ράβδο, το στερεό s. Αφήνουμε ελεύθερο το στερεό s σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή ασκούμε πάνω του ένα ζεύγος δυνάμεων με κατακόρυφη ροπή τ=4Ν∙m για ορισμένο χρονικό διάστημα.

i)   Το στερεό s θα εκτελέσει:

α) Μεταφορική κίνηση,   β) Στροφική κίνηση,   γ) Σύνθετη κίνηση.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

ii) Αν τα άκρα Α και Δ έχουν ταχύτητες μέτρων υ_Α=6m/s και υ_Δ=4m/s να βρεθούν:

α) Το κέντρο μάζας του στερεού s.

β) Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού.

iii) Αν το ζεύγος που επιτάχυνε το στερεό s, ασκήθηκε πάνω του μέχρι να το στρέψει κατά γωνία φ=5rαd, να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του στερεού s καθώς και η μάζα της ράβδου ΓΔ.

iv) Κάποια στιγμή (t₀=0) το στερεό s βρίσκεται στη θέση που δείχνει το παραπάνω σχήμα. Τη στιγμή αυτή γίνεται αποκόλληση των δύο ράβδων, οι οποίες πλέον συνεχίζουν να κινούνται ανεξάρτητα η μια της άλλης. Να βρεθούν τη χρονική στιγμή t₁=(5π/4)s≈3,9s:

α) Η απόσταση των άκρων Β και Γ των δύο ράβδων.

β) Η συνολική στροφορμή του συστήματος των δύο ράβδων ως προς τον κατακόρυφο νοητό άξονα που αρχικά στρέφεται το στερεό s.

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της  Ι=mℓ²/12.

Απάντηση:

ή

 Δύο ράβδοι δημιουργούν ένα στερεό s.

Δύο ράβδοι δημιουργούν ένα στερεό s.

Διαγωνισμός Φυσικής «Αριστοτέλης» 2019

Δείτε τα σημερινά θέματα του διαγωνισμού για το Γυμνάσιο:

  Θέματα A’ Γυμνασίου

  Θέματα Β’ Γυμνασίου

  Θέματα Γ’ Γυμνασίου

Θέματα Α′ Λυκείου + Λύσεις

  Θέματα B′ Λυκείου + Λύσεις

Θέματα Γα′ Λυκείου + Λύσεις

Δύο δίσκοι σε λείο οριζόντιο επίπεδο

Δύο όμοιοι ομογενείς δίσκοι, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με το επίπεδό τους κατακόρυφο. Στον πρώτο μπορούμε να ασκήσουμε μια δύναμη στο κέντρο του Κ, τραβώντας το άκρο Α του νήματος, ενώ γύρω από τον δεύτερο έχουμε τυλίξει ένα μη εκτατό νήμα αμελητέου βάρους, στο άκρο Β του οποίου μπορούμε να ασκήσουμε κάποια δύναμη. Κάποια στιγμή (t₀=0) ασκούμε ταυτόχρονα στα άκρα Α και Β των νημάτων την ίδια σταθερή οριζόντια δύναμη F, μέχρι το σημείο εφαρμογής της, να μετατοπισθεί κατά Δx=2m, όπου οι δυνάμεις παύουν να ασκούνται.

i) Ποιος δίσκος θα αποκτήσει τελικά μεγαλύτερη κινητική ενέργεια; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii) Αν τελικά η ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ του πρώτου δίσκου έχει μέτρο υ_cm,1=1m/s, ποια η τελική αντίστοιχη ταχύτητα του κέντρου Ο του δεύτερου δίσκου;

iii) Αν F=2Ν, να υπολογιστούν:

α) Η μάζα κάθε δίσκου.

β) Η κινητική ενέργεια κάθε δίσκου και ο ρυθμός μεταβολής της, τη χρονική στιγμή t₁=2s.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR².

Απάντηση:

ή

 Δύο δίσκοι σε λείο οριζόντιο επίπεδο

Δύο δίσκοι σε λείο οριζόντιο επίπεδο

Αναποδογυρίζοντας έναν τροχό

Ένας μαθητής κάθεται σε κάθισµα που µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον κατακόρυφο άξονά του zz΄. Ο μαθητής κρατά στα χέρια του έναν οριζόντιο τροχό ποδηλάτου ο οποίος περιστρέφεται αντιωρολογιακά χωρίς τριβές κατά τον κατακόρυφο άξονά του με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω₀ και μέτρο στροφορμής L₀. Το κάθισµα και ο μαθητής στην κατάσταση αυτή είναι ακίνητοι. Ο τροχός έχει μάζα M, ακτίνα R και η ροπή αδράνειάς του περί τον κατακόρυφο άξονά του είναι Ι_cm. Το κέντρο του τροχού από τον άξονα zz΄ του καθίσματος απέχει απόσταση R. Το σύστημα μαθητής–κάθισμα έχει ροπή αδράνειας Ι_μ-κ περί τον άξονα zz΄.

Κάποια στιγµή ο μαθητής περιστρέφει τον τροχό γύρω από οριζόντιο άξονα κατά 180^ο, ώστε η πάνω επιφάνεια του τροχού να έρθει από κάτω χωρίς να μεταβληθεί το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας.

Το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του συστήματος μαθητής–κάθισµα μετά την περιστροφή του τροχού ως προς τον zz΄ είναι:

Απάντηση

Η κινητική ενέργεια και η στροφορμή ενός συστήματος

Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ και μάζας Μ μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο, παρουσιάζοντας, ως προς τον άξονα, ροπή αδράνειας Ι. Στο άλλο της άκρο Α έχουμε πακτώσει ένα άξονα κάθετο σ’ αυτήν περί τον οποίο μπορεί ελεύθερα να στρέφεται, χωρίς τριβές, ένας ομογενής  δίσκος ακτίνας R και μάζας m. Το σύστημα φέρεται σε τέτοια θέση που η ράβδος να είναι οριζόντια (θέση 1) και αφήνεται να κινηθεί. Μετά από λίγο η ράβδος γίνεται κατακόρυφη (θέση 2) έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω  και ταχύτητα κέντρου μάζας υ_cm  . Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του, κάθετο στο επίπεδό του Ι_δ= ½ mR².

i)   Αν κατά την παραπάνω κίνηση έχουμε μπλοκάρει το δίσκο, μη επιτρέποντας την περιστροφή του, η κινητική ενέργεια του συστήματος στη θέση (2) υπολογίζεται από την εξίσωση:

ii) Αν ο δίσκος είναι ελεύθερος να περιστραφεί, ποια από τις παραπάνω εξισώσεις μας δίνει την κινητική ενέργεια του συστήματος στη θέση (2);

iii) Θέτουμε το δίσκο σε περιστροφή με γωνιακή ταχύτητα ω₁, όπως στο διπλανό σχήμα, στη θέση (1). Τη στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, η κινητική ενέργεια του συστήματος υπολογίζεται από την εξίσωση:

iv) Σε κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις να γράψετε την σχέση από την οποία υπολογίζεται η ολική στροφορμή του συστήματος ως προς (κατά) τον άξονα περιστροφής στο άκρο Ο της ράβδου.

Απάντηση:

ή

 Η κινητική ενέργεια και η στροφορμή ενός συστήματος

Η κινητική ενέργεια και η στροφορμή ενός συστήματος

Ένα σύστημα σε ισορροπία και επιτάχυνση

Το στερεό s του σχήματος, αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονικούς ομογενείς κυλίνδρους με ακτίνες R=0,4m και r= ½R  αντίστοιχα. Το στερεό s μπορεί να  στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονα των κυλίνδρων που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεων. Γύρω από τον μικρό κύλινδρο έχουμε τυλίξει ένα μη εκτατό και αμελητέου βάρους νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου έχουμε δέσει ένα σώμα Σ. Γύρω από τον μεγάλο κύλινδρο αντίθετα, έχουμε τυλίξει ένα άλλο, όμοιο με το προηγούμενο, νήμα και ασκώντας στο άκρο του Α μια δύναμη F, μέτρου F=10Ν, ισορροπούμε όλο το σύστημα, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογιστεί η μάζα του σώματος Σ.

ii) Διπλασιάζουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F με αποτέλεσμα τη στιγμή t₁ που το άκρο του νήματος Α έχει μετατοπισθεί κατά d=1,6m, να έχει ταχύτητα μέτρου υ_Α=2m/s.

α) Να υπολογιστεί η ενέργεια που μεταφέρθηκε στο σύστημα μέσω του έργου της δύναμης.

β) Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του στερεού s.

iii) Για τη χρονική στιγμή t₁ να υπολογιστούν:

α) Η ισχύς της δύναμης F

β) Ο ρυθμός μεταβολής της μηχανικής ενέργειας του στερεού s και του σώματος Σ.

γ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, ως προς τον άξονα Ο περιστροφής:

γ₁) του σώματος Σ,       γ₂) του στερεού s,         γ₃) του συστήματος.

Δίνεται ότι ένα υλικό σημείο το οποίο κινείται με ταχύτητα υ, παρουσιάζει ως προς ένα τυχαίο σημείο Γ, στροφορμή μέτρου L=mυ∙d, όπου d η απόσταση του σημείου Γ από τον φορέα της δύναμης, με κατεύθυνση όπως στο σχήμα. Δίνεται επίσης g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Ένα σύστημα σε ισορροπία και επιτάχυνση

Ένα σύστημα σε ισορροπία και επιτάχυνση

Μια ράβδος στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα

Η ράβδος του σχήματος είναι οριζόντια και μπορεί να στρέφεται αριστερόστροφα γύρω από κατακόρυφο άξονα zz΄ που διέρχεται από το μέσον της μέσω κινητήρα. Το μήκος της ράβδου είναι L=1m και η μάζα της Μ=12kg. Σε κάθε άκρο της ράβδου έχει συγκολληθεί παράλληλα στον άξονα zz΄ μία λεπτή ράβδος μήκους l=0,3m και μάζας m_ρ=1kg όπως φαίνεται στο σχήμα. Σε απόσταση r=0,1m από τον άξονα περιστροφής βρίσκονται δύο σημειακοί μεταλλικοί δακτύλιοι μάζας m_Δ=5kg ο καθένας, που συνδέονται μεταξύ τους με ένα ιδανικό νήμα. Το σύστημα στρέφεται γύρω από τον άξονα με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω₁=10r/s.

i) Βρείτε τη ροπή αδράνειας του συστήματος των ράβδων χωρίς τους δακτυλίους περί τον άξονα zz΄.

ii) Βρείτε τη στροφορμή του συστήματος ως προς τον αξονα zz'.

iii) Αν το όριο θραύσης του νήματος είναι T_ορ=200Ν να βρεθεί η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος.

iv) Αν τη στιγμή που το νήμα σπάει σταματά η λειτουργία του κινητήρα να βρεθεί η νέα γωνιακή ταχύτητα του συστήματος όταν οι δακτύλιοι βρεθούν στα άκρα της ράβδου.

v) Να βρεθεί η μεταβολή στη μηχανική ενέργεια του συστήματος στη θέση που κόβεται το νήμα και στη θέση που οι δακτύλιοι βρεθούν στα άκρα της ράβδου. Που οφείλεται η διαφορά αυτή;

Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι I = 1/12 ML².

Απάντηση

Μια ράβδος στο άκρο αβαρούς … ράβδου

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους ℓ=2m και μάζας m=0,6kg έχει καρφωθεί στο άκρο  δεύτερης ράβδου ΟΜ αμελητέου βάρους και μήκους d=1m, δημιουργώντας ένα στερεό s, με κάθετες τις δύο ράβδους. Το στερεό αυτό μπορεί να περιστρέφεται, σε κατακόρυφο επίπεδο, χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο Ο της αβαρούς ράβδου. Το στερεό s συγκρατείται στη θέση που δείχνει το σχήμα, όπου η ράβδος ΟΜ σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο, όπου ημθ=0,6 (συνθ=0,8). Σε μια στιγμή αφήνουμε το στερεό μας ελεύθερο να κινηθεί. Να βρεθούν:

i)   Οι αρχικές επιταχύνσεις του μέσου Μ και των δύο άκρων Α και Β της ράβδου.

ii)  Ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου AB, ως προς οριζόντιο άξονα:

α) Ο οποίος περνά από το σημείο πρόσδεσης Ο.

β) Ο οποίος είναι κάθετος στη ράβδο AB, στο μέσον της Μ.

iii)  Να σχεδιάστε το στερεό s τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο και για τη θέση αυτή να υπολογιστούν:

α) Οι ταχύτητες των άκρων Α και Β της ράβδου ΑΒ.

β) Η στροφορμή της ράβδου ΑΒ ως προς οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο που περνά από το μέσον της Μ καθώς και η αντίστοιχη στροφορμή ως προς τον άξονα περιστροφής στο σημείο Ο.

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι_cm= mℓ²/12 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια ράβδος στο άκρο  αβαρούς … ράβδου

Μια ράβδος στο άκρο αβαρούς … ράβδου