Η ράβδος στο «πλευρό» του δίσκου.

Ο ξύλινος δίσκος του σχήματος μάζας (56/9)kg και ακτίνας R=0,3m, μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος είναι κάθετος στο επίπεδό του και διέρχεται από το κέντρο του Ο. Καρφώνουμε στο άκρο μιας ακτίνας του δίσκου, το μέσον Μ μιας ομογενούς ράβδου ΑΒ μάζας 12kg και μήκους 0,8m, κατασκευάζοντας έτσι το στερεό s. Αφήνουμε το στερεό s ελεύθερο να κινηθεί από τη θέση, όπου η ράβδος ΑΒ είναι κατακόρυφη, όπως στο σχήμα.

i) Για τη στιγμή αμέσως μόλις αφέθηκε το στερεό να κινηθεί, να βρεθούν:

α) Η γωνιακή επιτάχυνση του s.

β) Οι επιταχύνσεις των άκρων Α και Β της ράβδου.

γ) Οι ρυθμοί μεταβολής της στροφορμής, ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο:

a) του στερεού s,    b) του δίσκου,   c) της ράβδου.

ii) Για τη στιγμή που η ράβδος γίνεται οριζόντια για πρώτη φορά, να βρεθούν:

α) Οι ταχύτητες των άκρων Α και Β της ράβδου.

β) Η στροφορμή της ράβδου ως προς:

a) Τον άξονα περιστροφής στο Ο,  

b) Οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο του σχήματος, ο οποίος περνά από το μέσον της Μ.

γ) Η κινητική ενέργεια της ράβδου.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι₁= ½ m₁R², η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Μ Ι₂= (1/12)m₂l² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η ράβδος στο «πλευρό» του δίσκου.

Δύναμη στην ταλάντωση.

Ένα σώμα Σ μάζας m είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α₀ = 0,2√3 m. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής έχει μέγιστο μέτρο |dp/dt| = 40√3N κάθε 0,1π s. Κάποια στιγμή που ο ταλαντωτής διέρχεται από την θέση ισορροπίας και κατέρχεται, του ασκούμε με φορά προς τα κάτω σταθερή κατακόρυφη δύναμη F διπλάσια του βάρους.

Α. Να βρεθεί το πλάτος Α₁ και η ενέργεια της ταλάντωσης Ε₁ μετά την άσκηση της δύναμης F.

B. Αν η δύναμη ασκείται για χρονικό διάστημα Δt = π/6 s και μετά καταργείται. Μετά την κατάργηση της δύναμης F:

α. να υπολογισθεί το πλάτος Α₂ της νέας ταλάντωσης

β. να γραφεί η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης (t = 0 η στιγμή εφαρμογής της δύναμης).

γ. Να υπολογίσετε το έργο της F για το χρόνο δράσης της.

Γ. Ποια χρονική στιγμή (η ελάχιστη), έπρεπε να καταργήσουμε την δύναμη F ώστε το πλάτος της ταλάντωσης μετά την κατάργηση της να είναι μέγιστο και ποιο είναι αυτό;

Δίνεται g = 10 m/s², θετική η φορά προς τα πάνω και σε κάθε περίπτωση το σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με D = k.

 

   

 

Δυο διαδοχικές «κρούσεις»

Ένας οριζόντιος δίσκος μάζας Μ=18kg και ακτίνας R=1m μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, που περνά από το κέντρο του Ο. Στον άξονα περιστροφής έχουμε περάσει ένα μικρό δακτυλίδι, το οποίο μέσω αβαρούς (τεντωμένου) νήματος μήκους l=0,5m συνδέεται με σώμα Σ₂, το οποίο εμφανίζει με το δίσκο

συντελεστή τριβής μ=0,4 και το οποίο ηρεμεί. Σε μια στιγμή ένα βλήμα το οποίο κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ₀=200m/s κάθετα  στο νήμα, σφηνώνεται στο σώμα  Σ₂, δημιουργώντας ένα συσσωμάτωμα Σ μάζας m=4kg, το οποίο αποκτά αρχική ταχύτητα υ_Σ=20m/s.

i)  Να υπολογίσετε την απώλεια της μηχανικής ενέργειας η οποία οφείλεται στην κρούση.

ii) Ποια η τάση του νήματος, αμέσως μετά την κρούση;

iii) Κάποια στιγμή η ταχύτητα του συσσωματώματος έχει μέτρο u=10m/s. Για τη στιγμή αυτή να υπολογιστούν:

α) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος Σ.

β) Ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου.

iv) Πόση είναι η συνολική μηχανική ενέργεια που εμφανίζεται ως θερμική, εξαιτίας της τριβής μεταξύ του Σ και του δίσκου, μέχρι που να σταματήσει η ολίσθηση του συσσωματώματος πάνω στο δίσκο;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα z, Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Δυο διαδοχικές «κρούσεις»

Σύνδεση με μη αβαρή ράβδο

Με τη βοήθεια μιας ράβδου μάζας Μ_ρ=2kg και μήκους L  συνδέουμε τα κέντρα μάζας ενός δίσκου μάζας m₁=4kg και ενός δακτυλίου μάζας m₂=6kg , όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο δίσκος  και η ράβδος έχουν ίδιες ακτίνες και η ράβδος δεν εμποδίζει την περιστροφή τους και δεν ασκεί τριβές. Το σύστημα κυλίεται στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει. Το σύστημα που προκύπτει αφήνεται να κινηθεί σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30^ο.

α) Βρείτε την επιτάχυνση του συστήματος.

β) Υπολογίστε τις δυνάμεις που ασκεί η ράβδος στο δίσκο και τον δακτύλιο.

γ) Υπολογίστε την δύναμη που δέχεται ο δίσκος στην 
συνέχεια εδώ

Ένας κυλινδρικός φλοιός σε ένα σκαλοπάτι. Συνέχεια.

2. Το σκαλοπάτι δεν είναι λείο.

Ένας λεπτός κυλινδρικός φλοιός, μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=50cm, φέρει σχισμή βάθους y=10cm, εντός της οποίας έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Το σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σε επαφή με σκαλοπάτι ύψους h=20cm, με το οποίο εμφανίζει τριβή με συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,5. Σε μια στιγμή ασκούμε μια οριζόντια δύναμη F=20Ν στο άκρο Α του νήματος χωρίς να κινηθεί ο φλοιός.

i) Να υπολογίσετε την τριβή και την κάθετη αντίδραση που ασκείται στον κυλινδρικό φλοιό, από το σκαλοπάτι. 

ii)  Αυξάνουμε σιγά-σιγά το μέτρο της δύναμης F με σκοπό να κινηθεί ο φλοιός. Να εξετάσετε τι πρόκειται να συμβεί πρώτα:

 α) Ο φλοιός θα εκτελέσει περιστροφική κίνηση χωρίς να ανέβει στο σκαλοπάτι.

 β) Ο κυλινδρικός φλοιός θα αρχίσει να ανεβαίνει στο σκαλοπάτι, εκτελώντας σύνθετη κίνηση.

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα ασκώντας οριζόντια δύναμη F₁=120Ν, με αποτέλεσμα  το στερεό να ανέβει στο σκαλοπάτι.

α) Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση του κέντρου Ο, του κυλινδρικού φλοιού.

β) Ποια τιμή παίρνει η παραπάνω επιτάχυνση μόλις το κέντρο Ο απέχει κατά h₁=60cm από το οριζόντιο επίπεδο;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του φλοιού, ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ mR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Ένας κυλινδρικός φλοιός σε  ένα σκαλοπάτι. Συνέχεια.

Ενάμισυ δεύτερο θέμα στο στερεό

Πάνω σε ένα οριζόντιο χαρτόνι βρίσκονται ένας συμπαγής κύλινδρος και ένας κυλινδρικός φλοιός.

Έχουν ίσες μάζες, ίσες ακτίνες και παρουσιάζουν με το χαρτόνι ίδιους συντελεστές τριβής.

Τραβάω το χαρτόνι έτσι ώστε να κινείται με σταθερή επιτάχυνση.

Δυστυχώς αμφότερα τα σώματα ολισθαίνουν στο χαρτόνι.

Συνέχεια:

Πως θα τα τοποθετήσουμε;

Σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30^ο αφήνουμε να κινηθούν μαζί ένας κύβος μάζας m₁=6kg και μία ομογενής συμπαγής σφαίρα μάζας m₂=10kg και ακτίνας R με δύο τρόπους,  την διάταξη 1 και τη διάταξη 2.

 Ο κύβος δεν εμφανίζει τριβές με το κεκλιμένο επίπεδο ούτε με τη σφαίρα. Η σφαίρα μπορεί να κυλίεται και ο συντελεστής οριακής τριβής ολίσθησης μεταξύ της σφαίρας και του κεκλιμένου επιπέδου είναι μ_ορ=0,5. Αρχικά συγκρατούμε τη σφαίρα και τον κύβο ακίνητα με το χέρι μας και μια χρονική στιγμή που θεωρούμε μηδέν αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. Οι διαστάσεις των σωμάτων είναι τέτοιες ώστε η ευθεία που ενώνει τα κέντρα μάζας των σωμάτων να είναι παράλληλη στην ευθεία του κεκλιμένου επιπέδου.

Α) Υποδείξτε σε ποια απο τις δύο διατάξεις τα σώματα μπορούν να κινηθούν μαζί με κοινή επιτάχυνση κέντρου μάζας.

Συνέχεια εδώ 

Ένας κυλινδρικός φλοιός σε ένα σκαλοπάτι.

1. Το σκαλοπάτι είναι λείο.

Ένας λεπτός κυλινδρικός φλοιός, μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=50cm, φέρει σχισμή βάθους y=10cm, εντός της οποίας έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Το σώμα ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο εμφανίζει συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,5, σε επαφή με λείο σκαλοπάτι, ύψους h=20cm. Σε μια στιγμή ασκούμε μια οριζόντια δύναμη F=20Ν στο άκρο Α του νήματος χωρίς να κινηθεί ο φλοιός.

i)  Να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούνται στον κυλινδρικό φλοιό.

ii)  Αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₁=100Ν και παρατηρούμε ότι ο φλοιός περιστρέφεται, χωρίς να ανεβαίνει στο σκαλοπάτι. Για τη στιγμή που έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους l=1m:

α) Πόση είναι η κινητική ενέργεια του φλοιού;

β) Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η κινητική του ενέργεια;

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αυξάνοντας το μέτρο της ασκούμενης δύναμης στην τιμή F₃=300Ν με αποτέλεσμα  το στερεό να ανέβει στο σκαλοπάτι.

α) Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση του κέντρου Ο, του κυλινδρικού φλοιού.

β) Ποια τιμή παίρνει ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του κέντρου Ο, στη θέση όπου το Ο απέχει κατά h₁=60cm από το οριζόντιο επίπεδο; 

Δίνεται η ροπή αδράνειας του φλοιού, ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ mR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Ένας κυλινδρικός φλοιός σε  ένα σκαλοπάτι.

Διερευνώντας την ανατροπή και την ολίσθηση.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας «όρθιος» ομογενής κύλινδρος, μάζας Μ=60kg, ακτίνας R και ύψους 4R. Ασκούμε στο σημείο Α, το οποίο απέχει κατακόρυφη απόσταση y=R από το κέντρο μάζας Ο, μια οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα (η προβολή του κυλίνδρου στο επίπεδο κίνησής του).

i)  Ποιο το ελάχιστο μέτρο της δύναμης F για να ανατραπεί ο κύλινδρος, αν ο συντελεστής τριβής είναι αρκετά μεγάλος, ώστε να μην προηγηθεί ολίσθηση του κυλίνδρου;

ii)  Στο σημείο Α ασκούμε μεταβλητή οριζόντια δύναμη που το μέτρο της μεταβάλλεται με το χρόνο, σύμφωνα με την εξίσωση F=4t (S.Ι.). Αν οι συντελεστές τριβής μεταξύ κυλίνδρου και επιπέδου έχουν τιμές μ=μ_s=0,3 ο κύλινδρος πρώτα θα ανατραπεί ή θα ολισθήσει;

iii) Ποια χρονική  στιγμή θα ανατραπεί ο κύλινδρος;

iv)  Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου τη στιγμή που αρχίζει να ανατρέπεται.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

 ή

Διερευνώντας την ανατροπή και την ολίσθηση.

Το έργο και η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου

Ένας ομογενής δίσκος μάζας 40kg και ακτίνας 0,5m μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου και περνά από το κέντρο του Ο. Γύρω από το δίσκο τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, στο άκρο Α του οποίου, ασκούμε μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=10Ν.

i) Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου τη στιγμή t₁ όπου το άκρο Α του νήματος έχει μετατοπισθεί κατά x₁=4m.

ii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου τη στιγμή t₁;

Απελευθερώνουμε τον παραπάνω  δίσκο από τον άξονα και τον τοποθετούμε σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

iii) Να βρεθεί ξανά η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου τη στιγμή που το άκρο Α του νήματος έχει μετατοπισθεί κατά 4m.

iv) Ποιος θα είναι τώρα ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου την παραπάνω στιγμή;

v) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα μεταβάλλουμε το μέτρο της δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση F=2t  (S.Ι.), διατηρώντας σταθερή την κατεύθυνσή της. Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του δίσκου τη χρονική στιγμή t₁=10s.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR².

Απάντηση:

ή

Το έργο και η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου

Τράβηξε για να δούμε αν τα καταφέρεις…

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα ομογενές δοκάρι ΑΒ, μήκους 4m και μάζας Μ=50kg. Θέλοντας ένα παιδί να το ανασηκώσει, δένει το ένα του άκρο Α με σχοινί, το οποίο αφού περάσει από μια τροχαλία, στο άλλο του άκρο τραβάει ασκώντας δύναμη F, όπως στο σχήμα, όπου το τμήμα του νήματος μεταξύ τροχαλίας και δοκαριού, είναι κατακόρυφο.

i)  Αν F=100Ν το δοκάρι δεν ανασηκώνεται. Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκείται στο δοκάρι από το έδαφος και τη ροπή της ως προς το άκρο Α, αν:

 α) Δεν αναπτύσσονται τριβές ανάμεσα στο σχοινί και την τροχαλία.

 β) Υπάρχουν τριβές, με αποτέλεσμα να μην γλιστράει το νήμα στο αυλάκι της τροχαλίας.

ii) Αν κάποια στιγμή (t₀=0) το παιδί αυξήσει το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₁=300Ν, το δοκάρι αρχίζει να ανασηκώνεται. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση που θα αποκτήσει, αμέσως μετά (t=0⁺), το άκρο Α του δοκαριού, όταν:

 α) Η τροχαλία έχει μάζα m=10kg και το σχοινί δεν γλιστράει στο αυλάκι της.

 β) Η τροχαλία έχει μάζα m=10kg και δεν αναπτύσσονται τριβές μεταξύ τροχαλίας και σχοινιού.

 γ) Η τροχαλία έχει μάζα m=0,5kg και το σχοινί δεν γλιστράει στο αυλάκι της.

Δίνονται: Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά της Ι₁= ½ mR², η ροπή αδράνειας του δοκαριού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον του Ι₂= (1/12)Μl² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Τράβηξε για να  δούμε αν τα καταφέρεις…