Πάρε κόσμε κρούσεις, έχω απ’ όλες!

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε μία κάτοψη μιας οριζόντιας επιφάνειας. Δύο σφαίρες, η Σ₁ με μάζα m₁ = 3 kg και η Σ₂ με μάζα m₂ = 1 kg βρίσκονται απλώς σε επαφή στα άκρα ελατηρίου σταθεράς k. Το ελατήριο είναι συμπιεσμένο έχοντας τις δύο σφαίρες δεμένες με αβαρές και μη εκτατό νήμα. Η αποθηκευμένη ενέργεια είναι Ε_ελ = 96 J. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα και η σφαίρα Σ₁ κινείται ευθύγραμμα και αφού συναντήσει τον τοίχο και συγκρουστεί, ανακλάται χωρίς απώλειες ενέργειας. Η σφαίρα Σ₂ εισέρχεται στο τμήμα κυκλικού διαδρόμου και την στιγμή που τον εγκαταλείπει η ταχύτητα της σχηματίζει 60^ο γωνία με την αρχική διεύθυνση. Οι δύο σφαίρες συγκρούονται πλαστικά και την πορεία τους συναντούν οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k₂ που στο άκρο του έχει δεμένο σώμα μάζας m₃. Η πρώτη κρούση με το σώμα μάζας m₃ που είναι δεμένο στο ελατήριο είναι ελαστική, ενώ η δεύτερη που συμβαίνει μετά από Τ/2 (όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης του m₃) και είναι πλαστική. Να βρείτε:

Doppler και λίγο ανάκλαση

Σώμα μάζας m = 1 kg, που είναι δεμένο με νήμα μήκους ℓ, αφήνεται από την οριζόντια θέση, έχοντας πάνω του ηχητική πηγή που εκπέμπει ήχο συχνότητας f_s. Την στιγμή που το σώμα – πηγή αφήνεται οι δύο παρατηρητές ακούν τον ίδιο ήχο συχνότητας f₁ = 4620 Hz, ενώ την στιγμή που φτάνει στο κατώτερο σημείο της τροχιάς του, το νήμα λύνεται και ο παρατηρητής Α καταγράφει ήχο συχνότητας f_A = (34/35)f_s  ενώ ο παρατηρητής Β ήχο συχνότητας f_B. Να βρείτε:

α. την ταχύτητα υ₁ που έχει το σώμα – πηγή όταν βρίσκεται στο κατώτερο σημείο της τροχιάς του.

Μια κύλιση πριν την «καταστροφή»…

Μια ομογενής σανίδα ΑΒ μήκους 8m και βάρους 40Ν ισορροπεί οριζόντια, στηριζόμενη στο άκρο της Α σε τρίποδο και δεμένη στο άκρο της Β σε κατακόρυφο νήμα. Πάνω στη σανίδα, στο σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=2m ηρεμεί ένας κύλινδρος μάζας 10kg, όπως στο διπλανό σχήμα. Σε μια στιγμή t₀=0 ασκείται στον άξονα του κυλίνδρου μια σταθερή δύναμη μέτρου F=50Ν, η οποία σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ, όπου ημθ=0,8,  με αποτέλεσμα ο κύλινδρος να αρχίσει να κυλίεται προς το άκρο Β, ενώ το νήμα παραμένει κατακόρυφο.

i)  Να αποδείξετε ότι μεταξύ του τρίποδου και της σανίδας αναπτύσσεται δύναμη τριβής.

ii) Αν τη χρονική στιγμή t₁=2s το νήμα ξεπερνά το όριο θραύσεώς του, με αποτέλεσμα να κόβεται, να κάνετε τη γραφική παράσταση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογίστε το όριο θραύσεως του νήματος.

iii) Να υπολογίσετε τους ελάχιστους συντελεστές οριακής στατικής τριβής τόσο μεταξύ σανίδας και κυλίνδρου, όσο και μεταξύ της σανίδας και  του τρίποδου για να μπορεί να υπάρξει η παραπάνω κύλιση  του κυλίνδρου.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ mR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μια κύλιση πριν την «καταστροφή»…

Doppler και πλήθος μεγίστων ενός ήχου.

Ένα αυτοκίνητο Α, το οποίο διαθέτει σειρήνα που εκπέμπει ήχο συχνότητας f_s κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με σταθερή ταχύτητα υ_s=20m/s. Ένα δεύτερο όχημα Β είναι ακίνητο και ο οδηγός του ακούει τον ήχο της σειρήνας με συχνότητα 3.400Ηz. Σε μια στιγμή, έστω t=0, που η απόσταση των δύο οχημάτων είναι 600m, το Β όχημα αποκτά σταθερή επιτάχυνση 2m/s² με κατεύθυνση προς το Α όχημα.

i)  Να βρεθεί η συχνότητα του ήχου που παράγει η σειρήνα.

ii) Ποιο το μήκος κύματος του ήχου που ακούει ο οδηγός του Β οχήματος;

iii) Να βρεθεί η συχνότητα του ήχου που ακούει ο οδηγός του Β οχήματος, σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t₁=15s και να γίνει η γραφική της παράσταση.

iv) Πόσες ταλαντώσεις εκτελεί το τύμπανο του αυτιού του οδηγού Β, στο παραπάνω χρονικό διάστημα;

v)  Πόσες αντίστοιχα ταλαντώσεις θα εκτελέσει το τύμπανο, σε χρονικό διάστημα Δt=2s κατά την κίνησή του οχήματος μεταξύ δύο θέσεων Κ και Λ, όπου η απόστασή τους είναι (ΚΛ)=40m.

Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα υ=340m/s.

Απάντηση:

ή

Doppler και πλήθος μεγίστων ενός ήχου.

ΘΕΜΑ Γ: Δύο ταλαντώσεις και στατική τριβή

Δύο όμοια οριζόντια ελατήρια, με σταθερές k = 4π² N/m, είναι στερεωμένα εκατέρωθεν σώματος Σ μάζας Μ = 5 kg, που βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και παρουσιάζει συντελεστή οριακής στατικής τριβής μ_ορ ως προς αυτό.

Στα άλλα άκρα των ελατηρίων είναι στερεωμένα αντίστοιχα δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁ = 1 kg και m₂ = (⁶⁰/₅₉)² kg (περίπου 1,034 kg), που δεν παρουσιάζουν τριβή με το δάπεδο. Τα δύο σώματα συγκρατούνται αρχικά με οριζόντιες δυνάμεις ίσου μέτρου F = 5 Ν ώστε να ισορροπούν, ενώ τα ελατήρια έχουν επιμηκυνθεί.

Τη στιγμή t_o = 0 αφήνουμε ταυτόχρονα ελεύθερα τα δύο σώματα να εκτελέσουν αρμονικές ταλαντώσεις και παρατηρούμε ότι το σώμα Σ αρχίζει να ολισθαίνει για πρώτη φορά μετά από παρέλευση χρόνου 10 s.

(Γ-1)   Να υπολογίσετε τον συντελεστή οριακής στατικής τριβής μ_ορ μεταξύ του σώματος Σ και του δαπέδου.

(Γ-2)   Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του μ_ορ για την οποία το Σ παραμένει διαρκώς ακίνητο. Για πόσο χρονικό διάστημα πρέπει να παρατηρούμε το Σ ώστε να ... βεβαιωθούμε ότι θα παραμείνει ακίνητο; (g = 10 m/s²)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Πότε εκπέμπεται και πότε γίνεται ακουστός ο ήχος.

Σε έναν ευθύγραμμο δρόμο κινούνται παράλληλα δύο αυτοκίνητα με ταχύτητες υ_Α=υ₁=40m/s και υ_Β=υ₀₂=16m/s  και έστω τη στιγμή t₀=0, τα  δύο αυτοκίνητα βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο, όπως στο σχήμα. Ας θεωρήσουμε τη θέση αυτή ως x=0.

Τη στιγμή t₁=11s το Β αυτοκίνητο αποκτά σταθερή επιτάχυνση α=2,5 m/s², ενώ τη στιγμή t₂=15s, ο οδηγός του, αρχίζει να ακούει έναν ήχο που εκπέμπεται από την σειρήνα του Α αυτοκινήτου. Η αρχική συχνότητα του ήχου που ακούει ο οδηγός Β είναι f_0Β=3.660Ηz.

i)  Να βρεθεί η συχνότητα του ήχου που παράγει η σειρήνα του Α αυτοκινήτου.

ii)  Ποιο το μήκος κύματος του ήχου που φτάνει στον οδηγού του Β αυτοκινήτου; Πώς μεταβάλλεται αυτό το μήκος κύματος, σε συνάρτηση με την ταχύτητα  του αυτοκινήτου Β;

iii) Σε ποια θέση βρίσκεται το Α αυτοκίνητο, τη στιγμή που άρχισε να ηχεί η σειρήνα του;

Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα υ=340m/s.

Απάντηση:

ή

Πότε εκπέμπεται και πότε γίνεται ακουστός ο ήχος.

Ιδιαίτερες Ισορροπίες

Ιδιαίτερες Ισορροπίες

Μια άλλη παραλλαγή σε κάτι γνωστό!

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ολισθαίνει μια σανίδα μάζας Μ=8kg με ταχύτητα υ₀=5m/s. Σε μια στιγμή αφήνουμε πάνω της, στο σημείο Α, ένα σώμα Σ μάζας m=2kg, χωρίς αρχική ταχύτητα. Παρατηρούμε ότι το Σ γλιστράει και τελικά σταματά την ολίσθησή του πάνω στη σανίδα, στο σημείο Β, όπου (ΑΒ)=2m.

i)  Να βρεθεί η απώλεια της μηχανικής ενέργειας που οφείλεται στην ολίσθηση του σώματος Σ.

ii)  Να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος Σ και της σανίδας.

iii) Η σανίδα και το σώμα Σ αλληλεπιδρούν εξαιτίας των τριβών που εμφανίζονται. Να υπολογιστούν τα έργα που παράγουν οι τριβές σε κάθε σώμα χωριστά.

Απάντηση:

ή

Μια άλλη παραλλαγή σε κάτι γνωστό!

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής κατ. 2015.

Ράβδος ΟΓ=l=1m  μάζας M=3kg και ροπής αδράνειας I_cm=1/12 ml² ισορροπεί οριζόντια, στηριζόμενη στο άκρο της Γ, και μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από το άλλο άκρο της Ο ,απ’ όπου διέρχεται οριζόντιος άξονας κάθετος στη ράβδο.  Σώμα μάζας m₁=4kg είναι δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k=625N/m, το οποίο συγκρατείται συσπειρωμένο κατά d=0,4m. Στη θέση φυσικού μήκους (Θ.Φ.Μ.) βρίσκεται σημειακή μάζα m₂=1kg. Το οριζόντιο επίπεδο καθώς και το τεταρτοκύκλιο ακτίνας R=1m , είναι λεία. Αφήνουμε το ελατήριο ελεύθερο, οπότε το σώμα m₁ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το m₂, το οποίο με τη σειρά του συγκρούεται πλαστικά με τη ράβδο στο άκρο της Γ. 
Δίνεται g=10m/s².   Υπολογίστε:                                                                                                            

Δ1)  την ταχύτητα του σώματος m₁ λίγο πριν την κρούση του με το m₂, και το νέο πλάτος ταλάντωσής του .    

Δ2)  την στροφορμή του m₂ ως προς το Ο, λίγο πριν συγκρουσθεί με τη ράβδο.

Δ3) τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής  ως προς το Ο, καθώς και το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος, αμέσως μετά την κρούση.

Δ4)  τη γωνία εκτροπής της ράβδου από την αρχική της θέση, καθώς και τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται στη  μάζα  m₂  στη θέση μέγιστης εκτροπής.                      

Δείτε όλο το διαγώνισμα σε  pdf  ή σε Word.

Μια ελαστική κρούση δύο στερεών.

Από την κορυφή ενός κατακόρυφου τεταρτοκυκλίου, ακτίνας R=2m αφήνεται να κινηθεί μια σφαίρα μάζας m₁=1kg. Η σφαίρα αρχικά ολισθαίνει για λίγο, ενώ στη συνέχεια κυλίεται και φτάνοντας στη βάση του επιπέδου, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σώμα Σ, σχήματος κύβου, με ακμή α=2r, όπου r η ακτίνα της σφαίρας και μάζας m₂=1kg. Μετά την κρούση το σώμα Σ κινείται στο οριζόντιο επίπεδο και διανύει απόσταση x=5m, μέχρι να σταματήσει εξαιτίας της τριβής. Δίνεται ο συντελεστής τριβής μεταξύ του σώματος Σ και του επιπέδου μ=0,25, g=10m/s², ενώ στη διάρκεια της κρούσης δεν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ σφαίρας-κύβου. Εξάλλου η ροπή αδράνειας της σφαίρας είναι ίση με Ι= 2/5 mr².

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του Σ αμέσως μετά την κρούση.

ii) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας, ελάχιστα πριν την κρούση.

iii) Να υπολογιστεί το ποσοστό της αρχικής δυναμικής ενέργειας της σφαίρας, το οποίο μετατρέπεται σε θερμική, κατά τη διάρκεια της ολίσθησής της στο τεταρτοκύκλιο. Θεωρείστε μηδενική τη δυναμική της ενέργεια, ελάχιστα πριν την κρούση και ότι r<<<R.

iv) Να εξετάστε αν θα υπάρξει δεύτερη κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων.

Απάντηση:

ή

Μια ελαστική κρούση δύο στερεών.

Η απόσταση δύο σωμάτων μετά την κρούση.

Ένα σώμα Α, μάζας m₁=1kg, κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερο σώμα Β που ήταν ακίνητο. Ελάχιστα πριν την κρούση το σώμα Α έχει ταχύτητα υ₁=4m/s, ενώ κατά την κρούση το 75% της κινητικής του ενέργειας, μεταφέρεται στο Β σώμα.

i) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής του σώματος Α στη διάρκεια της κρούσης.

ii) Πόση είναι η μάζα του Β σώματος;

iii) Αν τα δυο σώματα παρουσιάζουν με το επίπεδο τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,2, να γίνει η γραφική παράσταση της μεταξύ τους απόστασης, σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά την κρούση.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Η απόσταση δύο σωμάτων μετά την κρούση.