144. Σφαίρα και κύβος σε κεκλιμένο επίπεδο.

Η ομογενής σφαίρα του σχήματος μάζας m=0,3Kg και ακτίνας R=4cm βρίσκεται σε επαφή με κύβο μάζας Μ=m=0,3Kg όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα των δυο σωμάτων αφήνεται να κινηθεί από ένα σημείο Α κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ. Τότε ο κύβος μάζας Μ ολισθαίνει και η σφαίρα μάζας m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ενώ βρίσκεται συνέχεια σε επαφή με τον κύβο. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στον κύβο και το κεκλιμένο επίπεδο είναι μ=0,5 τότε:

α) Να υπολογιστεί η κοινή επιτάχυνση των δυο σωμάτων.

 

 β)  Να υπολογιστεί:

1. η στατική τριβή που δέχεται η σφαίρα από το κεκλιμένο επίπεδο
2. η τριβή ολίσθησης κύβου – κεκλιμένου επιπέδου
3. η δύναμη επαφής μεταξύ των δυο σωμάτων.

γ) Να υπολογιστεί:

1. η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος (m-M) και
2. η στροφορμή του συστήματος (m-M)  ως προς σημείο του κεκλιμένου επιπέδου όταν αυτό κατέβει κατά (ΑΒ)=x=60cm πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο.

δ) Αν αντικαταστήσουμε τον κύβο με έναν άλλο από πάγο και αφήσουμε ξανά το σύστημα να κινηθεί κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου, τότε ποια είναι η επιτάχυνση των σωμάτων του συστήματος.

ε) Έστω ότι στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου υπάρχει ελατήριο σταθερά Κ=30Ν/m και αφήνουμε το σύστημα [m-M(πάγου)] να ισορροπήσει πάνω σ’ αυτό, οπότε το ελατήριο συσπειρώνεται κατά x₁. Στη συνέχεια συμπιέζουμε το ελατήριο κατά επιπλέον  και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Τότε να αποδείξετε ότι αυτό πραγματοποιεί α.α.τ  και να υπολογίσετε τη σταθερά D και το πλάτος Α της ταλάντωσης.

Θεωρείστε ότι τα κέντρα μάζας βρίσκονται στην ευθεία που είναι παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο και ότι μεταξύ των επιφανειών των δυο μαζών δεν ασκείται κάποια δύναμη τριβής.

Ακόμη δίνεται για τη σφαίρα Ι_cm= ×m×R², ημφ=0,6 και g=10m/s².

Συνοπτική λύση

Ελατήριο-Λείο Κεκλιμένο-Τραχύ Κεκλιμένο

Το ελατήριο του σχήματος έχει σταθερά επαναφοράς k=100N/m, τη χρονική στιγμή t=0 δένουμε στο ελατήριο σώμα μάζας m=1Kg και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί πάνω στο λείο κεκλιμένο επίπεδο. θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας  το οριζόντιο επίπεδο στο οποίο το ελατήριο βρίσκεται στην θέση φυσικού του μήκους, να βρείτε:.
Για συνέχεια εδώ

Κρούση στο αποκορύφωμα.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁ = 0,8 kg, είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους ℓ = 0,8 m και ισορροπεί. Βλήμα μάζας m₂ 0,2 = kg συγκρούεται πλαστικά με το Σ₁ και το συσσωμάτωμα αρχίζει την κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο. Το συσσωμάτωμα συναντά στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του ακίνητο σώμα Σ μάζας Μ = 7 kg που φέρει ελατήριο σταθεράς k και βρίσκεται πάνω σε λείο επίπεδο. Η τάση του νήματος που δέχεται το συσσωμάτωμα, είναι διπλάσια λίγο πριν την κρούση συσσωματώματος και Σ σε σχέση με αυτή λίγο μετά την κρούση. Αν υ₁ το μέτρο την ταχύτητας του συσσωματώματος λίγο πριν την κρούση και υ₂ αμέσως μετά, ο λόγος αυτών είναι ίσος με υ₁/υ₂ = 4/3 και οι κατευθύνσεις τους αντίθετες. Το σώμα στο ελατήριο αφού συναντήσει κατακόρυφο τοίχο καρφώνεται σ’ αυτόν (το ελατήριο) χωρίς απώλειες ενέργειας και ταλαντώνεται με πλάτος Α. Η φορά κίνησης του ταλαντούμενου σώματος αντιστρέφεται κάθε φορά που δέχεται δύναμη από το ελατήριο 140 Ν. Να βρείτε:

α. τα μέτρα των ταχυτήτων υ₁, υ₂.

Κρούση με γνωστή επιτάχυνση.

Σώμα μάζας m₁ ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθερός k. Δεύτερο σώμα μάζας m₂ = 1 kg κινούμενο κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου υ₀, σφηνώνεται τη χρονική στιγμή t₀ = 0 ακαριαία μέσα στο σώμα μάζας m₁. Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται εκτελεί κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση με επιτάχυνση που μεταβάλλεται σύμφωνα με την εξίσωση: α = -5ημ(10t + π/6) (S.I.). Θεωρήστε ως θετική φορά για την ταλάντωση του συσσωματώματος, τη φορά προς τα πάνω και τη χρονική διάρκεια της κρούσης αμελητέα. Να υπολογίσετε:

Κρατώντας το ελατήριο.

Τα δύο ελατήρια του σχήματος έχουν σταθερές k₁ = 25 N/m και k₂ = 75 N/m. Τα φυσικά τους μήκη απέχουν  μεταξύ τους d = 0,4 m και είναι αρκετά μεγάλα. Κρατάμε με το χέρι μας το ελατήριο σταθεράς k₂, σε σημείο που είναι ίσο με τα 4/5 του μήκους του από τον δεξιό τοίχο. Σώμα Σ μάζας m = 1 kg, δένεται στα δύο ελατήρια και εκτρέποντας το κατά 0,05 m προς την μεριά του k₂ θέτουμε το σύστημα σε ταλάντωση (t₀ = 0).

Όταν το σώμα περνά από την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου k₂ κινούμενο προς την θετική φορά, ελευθερώνουμε το ελατήριο k₂ και ξεκινά μία νέα ταλάντωση. Να βρείτε:

α. την χρονική στιγμή που ελευθερώσαμε το ελατήριο k₂

β. την κινητική ενέργεια του σώματος την στιγμή αυτή και τον ρυθμό μεταβολής της

Συναντήσεις με ραντεβού.

Τα δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ που φαίνονται στο σχήμα έχουν την ίδια μάζα m = 1 kg και είναι δεμένα στα άκρα των ελατηρίων σταθερών k₁ = 64 N/m και k₂. Τα άλλα άκρα των ελατηρίων είναι δεμένα σε ακλόνητα τοιχώματα. Απομακρύνουμε τα δύο σώματα από τις θέσεις ισορροπίας τους κατά Δℓ = 0,4 m έτσι ώστε να εφάπτονται μεταξύ τους. Την χρονική στιγμή t₀ = 0 αφήνονται ταυτόχρονα να εκτελέσουν απλή αρμονική ταλάντωση. Τα δύο σώματα επανέρχονται στην αρχική τους κατάσταση (σε οριακή επαφή) όταν το κάθε σώμα εκτελέσει Ν₁ και Ν₂ πλήρεις ταλαντώσεις έτσι ώστε N₁ / N₂ = 4/5. Θεωρούμε ως θετική την φορά προς δεξιά.

α. Να γράψετε τις εξισώσεις ταλάντωσης των δύο σωμάτων

Ταλαντώσεις για … γερά μολύβια.

Τρία σώματα Σ₁, Σ₂, Σ₃ με μάζες m₁ = 1 kg, m₂, m₃ φέρονται σε επαφή έτσι ώστε να σχηματίσουν ένα σώμα Σ  συνολικής μάζας m = 4 kg. Τα σώματα αυτά συγκρατούνται μέσου κάποιου μηχανισμού που μπορούμε ανά πάσα χρονική στιγμή να τα ελευθερώσουμε. Το σώμα Σ ισορροπεί στο πάνω άκρο ελατηρίου πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο ακλόνητα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Την χρονική στιγμή t₀ = 0 ασκούμε δύναμη παράλληλα με το κεκλιμένο επίπεδο και φορά προς τα πάνω με μέτρο που δίνεται από τη σχέση F = 36 – 44x (S.I.), όπου x η απομάκρυνση από την αρχική θέση που ισορροπούσε το σώμα.

Και… στη συνέχεια μια φθίνουσα Ηλεκτρική Ταλάντωση.

Στο διπλανό κύκλωμα δίνονται Ε=40V, R=2Ω, C=10μF και το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=4mΗ. Ο διακόπτης είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα. Σε μια στιγμή t_ο=0, ανοίγουμε το διακόπτη. Για αμέσως μετά (t=0⁺) να βρεθούν:

i)    Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα και το φορτίο του πυκνωτή.

ii)   Ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου του πυκνωτή και ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος.

iii)  Οι ρυθμοί μεταβολής της ενέργειας του πυκνωτή και του πηνίου.

Απάντηση:

ή

	Και… στη συνέχεια μια φθίνουσα Ηλεκτρική Ταλάντωση.

Αρχίζοντας με ΕΟΚ τελειώνοντας με ταλάντωση.

Σώμα μάζας m = 1 kg και αμελητέων διαστάσεων, ξεκινά την χρονική στιγμή t₀ = 0 να κινείται πάνω στον  άξονα xꞌx με εξίσωση κίνησης x = -10 + 2√3·t  (S.I.). Την χρονική στιγμή t₁ = 2√3 s  δέχεται συνισταμένη δύναμη ΣF που η αλγεβρική της τιμή μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση ΣF = 40 - 400x  (S.I.), όπου x η τετμημένη του σώματος.

α.Να βρεθεί η θέση που βρίσκεται το σώμα την στιγμή που δέχεται την συνισταμένη δύναμη

 

 

Φθίνουσα Ηλεκτρική Ταλάντωση. Ένα φύλλο εργασίας.

Στο διπλανό κύκλωμα δίνονται Ε=40V, R₁=2Ω, R₂=8Ω C=10μF και το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=4mΗ. Ο διακόπτης είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα.

1)      Χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις:

α) Ο αντιστάτης R₁ δεν διαρρέεται από ρεύμα, ενώ ο R₂ διαρρέεται από ρεύμα σταθερής έντασης.

β) Ο πυκνωτής είναι φορτισμένος  με τον οπλισμό που συνδέεται στο σημείο Α (στο εξής οπλισμός Α), να έχει θετικό φορτίο.

γ) Η τάση V_c του πυκνωτή, είναι η διαφορά δυναμικού V_Α-V_Β και ισχύει V_c=Ε.

δ) Η τάση V_L του πηνίου είναι η διαφορά δυναμικού V_Γ-V_Δ και ισχύει V_L=Ε.

ε) Ο αντιστάτης R₂ διαρρέεται από ρεύμα, έντασης Ι₂=5Α.

i)  Να υπολογίσετε το φορτίο…

Η συνέχεια:

Η συνέχεια:

εκφώνηση

απάντηση

Γιατί ΣF=- Dx και όχι ΣF=Dx στην α.α.τ ; 

Μια πολύ ενδιαφέρουσα ερώτηση.

Η εργασία ....εδώ.