Μια ΑΑΤ…. τμήμα μιας ταλάντωσης.

Ένα κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k=200Ν/m, στηρίζεται στο έδαφος με το κάτω άκρο του, ενώ στο πάνω άκρο του ηρεμεί ένα σώμα μάζας m=8kg, χωρίς να είναι δεμένο με το ελατήριο. Ασκώντας κατάλληλη κατακόρυφη δύναμη, εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y₁=0,8m και για t=0 το αφήνουμε να κινηθεί.

i)  Ν’ αποδειχθεί ότι, για όσο χρόνο το σώμα βρίσκεται σε επαφή με το ελατήριο, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

ii) Ποια χρονική στιγμή το σώμα εγκαταλείπει το ελατήριο; Τι κίνηση θα πραγματοποιήσει από κει και πέρα;

iii) Πόσο θα απέχει το σώμα από το πάνω άκρο του ελατηρίου, τη στιγμή που θα μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητά του;

iv) Ποια χρονική στιγμή το σώμα θα επιστρέψει ξανά στην αρχική του θέση, για πρώτη φορά;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μια ΑΑΤ…. τμήμα μιας ταλάντωσης.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΙ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕΡΟΣ 2

1. Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m που έχει τον άξονα του κατακό­ρυφο έχει το φυσικό του μήκος και η πάνω άκρη του είναι δεμένη σε σταθε­ρό σημείο. Δένουμε στη κάτω άκρη του ελατήριου ένα σώμα, που έχει μάζα m = 1 kg και τη χρονική στιγμή t = 0 δίνουμε από τη θέση αυτή στο σώμα ταχύτητα υ = √3  m/s. Θεωρείστε θετική τη φορά προς τα κάτω. Δίνεται g = 10 m/s².

Για κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να εξηγήσετε αν είναι σωστή ή λανθα­σμένη.

α. η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης συμπίπτει με το φυσικό μήκος του ελατήριου.

β. η επιτάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t = 0 είναι α = 10 m/s².

γ. το σώμα θα περάσει και πάλι για πρώτη φορά από την αρχική του θέση σε χρό­νο Τ.

δ. το πλάτος της ταλάντωσης είναι 0,1 m.

 

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΙ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕΡΟΣ 1

1.  Στην κάτω άκρη ενός ιδανικού ελατήριου είναι δεμένο ένα σώμα που έχει μά­ζα m₁ = m και ισορροπεί. Στην κάτω άκρη ενός άλλου ομοίου ελατήριου είναι δεμένο ένα άλλο σώμα που έχει μάζα m₂ = 4m και ισορροπεί. Τα πάνω άκρα των δυο ελατήριων είναι δεμένα σε σταθερά σημεία. Απομακρύνουμε κάθε σώμα κατακόρυφα κατά d από τη θέση ισορροπίας του και τα αφήνουμε ελευθέρα να εκτελέσουν απλή αρμονική ταλάντωση.

Α. Για ποιο από τα δυο σώματα καταναλώσαμε περισσότερη ενέργεια;

Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Β. Αν α₁,_max η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά το σώμα μάζας m₁ τότε, η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά το σώμα μάζας m₂ είναι:

 

Πότε ολισθαίνει;

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ του σχήματος έχουν μάζες Μ=4Kg και m=1Kg αντίστοιχα. Το Σ₁ είναι δεμένο στην άκρη δυο όμοιων ελατηρίων συνολικής σταθεράς Κ=500N/m ενώ το Σ₂ ακουμπά πάνω στο Σ₁. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί. Μετακινούμε τα σώματα ώστε τα ελατήρια να συσπειρωθούν επιπλέον κατά A=ΔL=0,1m ενώ ασκούμε στο Σ₂ μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=2,5N όπως φαίνεται στο σχήμα.  Στη συνέχεια τη χρονική στιγμή t=0, αφήνουμε το σύστημα  ελεύθερο και αυτό πραγματοποιεί α.α.τ. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ των δυο σωμάτων είναι μ=0,5 να βρείτε:

α) Σε ποια θέση αρχίζει η ολίσθηση του Σ₂; Ποια χρονική στιγμή γίνεται αυτό για πρώτη φορά;

β) Ποια είναι η συνολική επ₂ στη θέση που τα ελατήρια έχουν το φυσικό του μήκος;

ιτάχυνση του Σ

Δίνεται g=10m/s² .

Συνοπτική λύση:

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΣΤΑ ΕΛΑΤΗΡΙΑ

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την επιλογή σας στις παρακάτω ερωτήσεις.

1.Βλήμα, μάζας m, κινείται με ταχύτητα μέτρου υ₀ και συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας Μ που βρίσκεται δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Αρχικά το βλήμα βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα και το συσσωμάτωμα ταλαντώνεται με πλάτος Α₁. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία εκτοξεύοντας αυτή τη φορά το βλήμα με ταχύτητα μέτρου υ₀ που σχηματίζει γωνία φ = 60^ο με την οριζόντια διεύθυνση. Το συσσωμάτωμα τώρα ταλαντώνεται με πλάτος Α₂. Για τα δύο πλάτη ισχύει:

α. Α₁ = 2Α₂                 β. Α₁ = Α₂                   γ. Α₂ = 2Α₁

Λύση

Μια κατακόρυφη ταλάντωση μετά κρούσεως!!!

Μια άσκηση σε test του 2004

Ένα σώμα Σ μάζας 4kg ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Η συσπείρωση που προκαλείται στο ελατήριο είναι ίση με 0,1m. Ανεβάζουμε το σώμα κατακόρυφα κατά d= 0,2m και για t=0 το αφήνουμε να κινηθεί.

i) Ν’ αποδειχθεί ότι το σώμα Σ θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.

ii) Να γράψετε της εξίσωση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με το χρόνο, αν η θετική φορά είναι προς τα πάνω.

iii) Να βρεθεί η εξίσωση της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

iv) Μόλις το σώμα Σ μετακινηθεί κατά 0,3m, από την θέση που το αφήσαμε, συγκρούεται (όχι πλαστικά) με ένα άλλο σώμα Σ₁ που κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω. Το νέο πλάτος ταλάντωσης του σώματος Σ μετά την κρούση είναι ίσο με 0,3m.

α) Πόση ενέργεια πήρε το σώμα Σ, από το Σ₁ κατά την κρούση;

β)Πόση ήταν η Κινητική ενέργεια του σώματος Σ αμέσως μετά την κρούση;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μια κατακόρυφη ταλάντωση μετά κρούσεως!!!

ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΕΣ

ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΕΣ

Μια πλαστική κρούση και ενέργειες ταλάντωσης.

Ένα σώμα Σ₁ μάζας m₁=2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m. Μετακινούμε το σώμα Σ₁ συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά Δℓ=0,5m, φέρνοντάς το στη θέση Γ. Για t=0 αφήνουμε το σώμα Σ ελεύθερο να ταλαντωθεί, (δεχόμαστε ότι αυτό εκτελεί α.α.τ.) ενώ τη στιγμή αυτή απέχει απόσταση (ΓΔ)= d=5m από ένα δεύτερο σώμα  μάζας m₂=3kg, το οποίο κινείται αντίθετα κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου. Τη χρονική στιγμή t₁=1s τα δύο σώματα συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά.

i) Σε ποια θέση συγκρούσθηκαν τα δύο σώματα και με ποια ταχύτητα υ₂ κινείτο το δεύτερο σώμα  Σ₂;

ii) Ποια η ενέργεια ταλάντωσης πριν και μετά την κρούση;

iii) Με ποια ταχύτητα το συσσωμάτωμα θα φτάσει στη θέση Γ;

iv) Ποιο το πλάτος ταλάντωσης μετά την κρούση;

 Θεωρείστε ότι και το σώμα Σ₂ κινείται χωρίς τριβές, η κίνηση μετά την κρούση είναι απλή αρμονική ταλάντωση και π² »10.

Απάντηση: 

ή

Μια πλαστική κρούση και ενέργειες ταλάντωσης.

Έργο εξωτερικής δύναμης – Ενέργεια Ταλάντωσης

Δύο ασκήσεις:

1) Το σώμα m=2Kg του σχήματος είναι ακίνητο στην Θ.Φ.Μ. ελατηρίου σταθεράς k=200N/m, ξαφνικά δέχεται σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=4,5N για Δx=0,02m που στη συνέχεια μηδενίζεται.

α) Να υπολογίσετε  την ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα μέσου του έργου της δύναμης F.

β) Να υπολογίσετε την ενέργεια ταλάντωσης, καθώς και το πλάτος ταλάντωσης του ταλαντωτή.

Η συνέχεια …

ΠΟΙΟ ΤΟ ΕΥΡΟΣ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ;

Στο διπλανό σχήμα τα σώματα m₁ = 1 kg και m₂ = 4 kg, ισορροπούν πάνω σε ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m. Ένα τρίτο σώμα μάζας m₃ = 3 kg, δεμένο σε νήμα μήκους ℓ = 0,8 m, αφήνεται από την οριζόντια θέση όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο κατώτερο σημείο της τροχιάς του που ταυτίζεται με την θέση του σώματος m₂ γίνεται ανταλλαγή θέσεων και το σύστημα των m₁ – m₃, αρχίζει να ταλαντώνεται.

α. Να βρεθεί η ενέργεια της ταλάντωσης του συστήματος m₁ – m₃

β. Ποιο το εύρος τιμών της μάζας m₃ και ποιο το μέγιστο πλάτος ώστε να έχουμε απλή αρμονική ταλάντωση

γ. Αν υποθέσουμε ότι για κάθε τιμή της μάζας m₃ έχουμε ακινητοποίηση αυτής μετά την κρούση με την μάζα m₃ να γίνει η γραφική παράσταση της απώλειας ενέργειας κατά την κρούση σε σχέση με την μάζα m₃ για το παραπάνω εύρος τιμών (της μάζας m₃).

Δίνεται g = 10 m/s² και ότι το σώμα m₃ στην κατακόρυφη θέση βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το δάπεδο.

Θέσεις-αντιθέσεις αλλά και …άρσεις!

Με αφορμή την πολύ ωραία ανάρτηση του Βασίλη Δουκατζή «ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΘΕΜΑ ΣΤΑ ΕΛΑΤΗΡΙΑ», αλλά και μια συζήτηση που είχαμε προχθές σε μια παρέα φίλων, ας δούμε κάποιες αντιφάσεις που συναντάμε, όταν μελετάμε την ταλάντωση και την ενέργειά της.

Παράδειγμα 1^ο:

Στο παραπάνω σχήμα το σώμα ηρεμεί, ενώ για τις σταθερές των δύο ελατηρίων k₂=3k₁ και Δℓ₂=Α. Εκτρέπουμε το σώμα προς τα δεξιά μέχρι που το ελατήριο σταθεράς k₂, να αποκτήσει το φυσικό μήκος του (θέση Γ) και το αφήνουμε να ταλαντωθεί.

i) Να υπολογιστεί η ενέργεια που απαιτήθηκε για την εκτροπή του σώματος καθώς και η ενέργεια ταλάντωσης.

ii) Να βρεθεί η μηχανική ενέργεια του συστήματος τη στιγμή που αφήνεται να ταλαντωθεί.

iii) Κάποια στιγμή που το σώμα βρίσκεται στο δεξιό άκρο της ταλάντωσης, αφαιρούμε το ελατήριο σταθεράς k₂ χωρίς απώλεια ενέργειας και το σώμα ταλαντώνεται πλέον με πλάτος Α₁. Αφού βρεθεί το νέο πλάτος ταλάντωσης, να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης και να συγκριθεί με την ενέργεια της πρώτης ταλάντωσης.

Απάντηση:

ή

Θέσεις-αντιθέσεις αλλά και …άρσεις!