Κίνηση κυλίνδρου σε λείο επίπεδο με χρήση αβαρούς τροχαλίας.

Γύρω από έναν κύλινδρο μάζας Μ=26,4kg και ακτίνας R=1m έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσει από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο του άκρο κρέμεται ένα σώμα Σ μάζας m=10/9 kg. Ο κύλινδρος συγκρατείται ακίνητος σε λείο οριζόντιο επίπεδο και το νήμα σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, όπου ημθ=0,6 (συνθ=0,8). Σε μια στιγμή αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί. Η τροχαλία έχει ακτίνα r=0,1m και το κέντρο της Κ απέχει 1m από το οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται και στο σχήμα.

i)  Να εξηγείστε γιατί ο κύλινδρος θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση. Να εξετάσετε αν πρόκειται:

α)  να ολισθήσει,    β) να κυλήσει           γ) να «σπινάρει»

ii) Να βρείτε μια σχέση που να συνδέει την αρχική επιτάχυνση του άξονα Ο του κυλίνδρου με την επιτάχυνση του σώματος Σ.

iii)  Να υπολογίσετε την αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ.

iv) Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής:

α) Του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής  του.

β) Του συστήματος κύλινδρος-σώμα Σ, ως προς το άξονα περιστροφής της τροχαλίας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Κίνηση κυλίνδρου σε λείο επίπεδο με χρήση αβαρούς τροχαλίας.

Κίνηση κυλίνδρου σε λείο επίπεδο με χρήση αβαρούς τροχαλίας.

25. Τροχαλία_ελατήριο_ράβδος

Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ=2Κg και ακτίνα R=20cm. Σε απόσταση r= από το κέντρο της υπάρχει ένα αυλάκι το οποίο είναι τυλιγμένο με αβαρές νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα μάζας m₁=1Kg. Το σώμα μάζας m₁ είναι επίσης δεμένο στο κατακόρυφο ελατήριο του σχήματος σταθεράς Κ=100Ν/m. Στην περιφέρεια της τροχαλίας είναι επίσης τυλιγμένο γύρω της, αβαρές νήμα στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα μάζας m₂=1Kg.
Το σύστημα αρχικά ισορροπεί.

α) Να υπολογίσετε την επιμήκυνση του ελατηρίου, για την αρχική ισορροπία του συστήματος,
β) Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα που συνδέει τη m₁ με την τροχαλία, τότε:
i) Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης που πραγματοποιεί η m₁ και
ii) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση της m₂,
γ) Η m₂ αφού διανύσει απόσταση h=0,4m σπάει το νήμα που τη συνδέει με την τροχαλία και συγκρούεται πλαστικά, χτυπώντας στο άκρο οριζόντιας ράβδου. Η ράβδος έχει μάζα m_ρ=3 Kg, μήκος L=1m. Ακόμη στηρίζεται στο κέντρο της Κ_1, σε τριγωνική βάση ενώ μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα χωρίς τριβές. Τότε,
i) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση όταν το σύστημα ράβδος – m₂, έχει περιστραφεί κατά 180⁰ και
ii) Να υπολογιστεί η γωνία στροφής για την οποία το σύστημα ράβδος – m₂ ηρεμεί στιγμιαία.

Συνοπτική λύση:

Μια κρούση σώματος με οριζόντιο κυκλικό τραπέζι.

Ένα τραπέζι σχήματος δίσκου, μάζας Μ=19,5kg και ακτίνας R=0,4m στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο, όπως στο διπλανό σχήμα, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Πάνω από το τραπέζι συγκρατείται ένα σώμα Σ, αμελητέων διαστάσεων, μάζας m=1kg, το οποίο είναι δεμένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους ℓ₀=0,2m. Το ελατήριο κρέμεται από σημείο Κ, το οποίο απέχει 0,3m από το τραπέζι, ο άξονάς του απέχει 0,2m από τον άξονα z και στη θέση αυτή έχει το φυσικό μήκος του. Αφήνουμε το σώμα τη στιγμή t₀=0, να κινηθεί και προσκολλάται στο τραπέζι. Αν αμέσως μετά την κρούση το σώμα Σ έχει ταχύτητα υ₁=0,6m/s, ζητούνται:

i)   Η επιτάχυνση και η ταχύτητα του σώματος Σ, ελάχιστα πριν την κρούση.

ii) Η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ που οφείλεται στην πλαστική του κρούση με το τραπέζι. Ποια η αντίστοιχη μεταβολή της στροφορμής του ως προς (κατά) τον άξονα z;

iii) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του σώματος Σ, τη στιγμή που θα έχει εκτελέσει μισή περιστροφή.

iv) Η γωνία κατά την οποία στρέφεται το τραπέζι από τη στιγμή t₀=0, μέχρι τη στιγμή της κρούσης.

Δίνεται ότι παρόλη την κρούση το τραπέζι δεν παύει να στρέφεται γύρω από τον ίδιο κατακόρυφο άξονα z χωρίς να «παλαντζάρει», η ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα z  Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Μια κρούση σώματος με οριζόντιο κυκλικό τραπέζι.

Μια κρούση σώματος με οριζόντιο κυκλικό τραπέζι.

Δύο κύλινδροι σε επαφή

Δύο  κύλινδροι μαζών m₁, m₂ έχουν τους άξονές τους κατακόρυφους. Ο δίσκος 1 περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω ενώ ο δίσκος 2 δεν περιστρέφεται. Φέρουμε σε επαφή τους δίσκους, οπότε λόγω τριβής, τίθεται σε περιστροφή και ο δίσκος 2. Mετά από χρόνο t , οι γωνιακές ταχύτητες των κυλίνδρων σταθεροποιούνται σε ω₁ και ω₂. Αν η ροπή αδράνειας κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του δίνεται από τη σχέση Ι_cm= ½ mr² να βρείτε :

1)  Τις γωνιακές ταχύτητες ω₁ και ω₂ .

2)  Την απώλεια ενέργειας του συστήματος σε θερμότητα.

3)  Τη ροπή που ασκήθηκε σε κάθε κύλινδρο

4) Την συνολική στροφορμή του συστήματος ως προς το σημείο επαφής τους, πριν την επαφή τους  και μετά από χρόνο t. Τι παρατηρείτε;

5)  Τον αριθμό στροφών που έκανε ο κάθε  κύλινδρος.

Δίνονται : ω, m₁, m₂, r₁,r₂ ,t.   Εφαρμογή:ω=40rad/s, m₁=1kg, m₂=4kg, r₁=0.1m, r₂=0.2m,t=10s.

Απάντηση: 

Δέκα δεύτερα θέματα με ανορθόδοξη διατύπωση.

Πρόκειται για ιδέες που με επεξεργασία δίνουν δεύτερα θέματα.
Σύντομα θα στείλω απαντήσεις.
Συνέχεια.

Μια σανίδα σε παγωμένη λίμνη.

Σε μια παγωμένη λίμνη ηρεμεί μια σανίδα μήκους ℓ=6m και μάζας 8kg. Σε μια στιγμή, t=0, ασκούμε πάνω της δυο οριζόντιες παράλληλες σταθερού μέτρου δυνάμεις F₁=F₂=12π Ν, όπως στο σχήμα, όπου (ΜΒ)= 1,5m, οι οποίες παραμένουν συνεχώς κάθετες στη σανίδα.

i) Η σανίδα θα περιστραφεί οριζόντια γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος περνά από το:

α) Το άκρο Α,        β) Το μέσον της Ο,   γ) Το μέσον της ΜΒ.

ii)  Να βρείτε τις ταχύτητες (μέτρο και κατεύθυνση) του μέσου Ο και του άκρου Β τη στιγμή t₁=2s.

iii) Για τη στιγμή t₁ να βρεθούν:

 α) Η στροφορμή της σανίδας και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της, ως προς   κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέσον της Ο.

 β) Η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σανίδας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της  Ι=Μℓ²/12.

Μια σανίδα σε παγωμένη λίμνη.

Μια σανίδα σε παγωμένη λίμνη.

Τροχαλία-Ισορροπία-ΑΑΤ.

ΘΕΜΑ Δ

Ιδανικό ελατήριο σταθεράς K=100N/m έχει τον άξονά του παράλληλα σε λείο πλάγιο επίπεδο κλίσης θ. Το άνω άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο ενώ στο  κάτω άκρο είναι δεμένο μικρό σώμα Σ₁ μάζας m=1Kg.

Ομογενής κυκλικός τροχός Τ μάζας Μ=2m έχει τον άξονά του δεμένο στο σώμα Σ₁ μέσω αβαρούς νήματος που δεν επηρεάζει την περιστροφή του και είναι παράλληλο στο πλάγιο επίπεδο. Στην περιφέρεια του τροχού Τ έχει τυλιχθεί αβαρές μη εκτατό νήμα από το οποίο κρέμεται μικρό σώμα Σ₂ μάζας m=1kg. Ο τροχός Τ εφάπτεται σε κατακόρυφο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.

Το σώμα Σ­_1­ και άξονας του τροχού ισορροπούν. Το σώμα Σ₂ επιταχύνεται κατακόρυφα προς τα κάτω με επιτάχυνση μέτρου α=2m/s² περιστρέφοντας τον τροχό. Το νήμα δε γλιστρά στην επιφάνεια του τροχού.

Η ροπή αδρανείας του τροχού ως προς τον άξονά του είναι  Ι=ΜR². Όλες οι κινήσεις γίνονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα. Δίνεται : g=10m/s², ημθ=0,8, συνθ=0,6

Δ1.  Να υπολογίσετε το μέτρο και τη φορά της δύναμης τριβής μεταξύ του τροχού Τ και του κατακόρυφου επιπέδου.

Δ2.  Να υπολογίσετε το συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.

Δ3.  Να υπολογίσετε την αύξηση της κινητικής ενέργειας του συστήματος τροχός Τ-σώμα Σ₂ για κάθε μέτρο νήματος που ξετυλίγεται.

Δ4.  Κόβουμε το νήμα που συνδέει τον άξονα του τροχού με το σώμα Σ₁. Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του σώματος Σ₁.

Απάντηση:

Άνοδος σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο.

Δύο όμοιες σφαίρες κυλίονται (χωρίς να ολισθαίνουν) σε οριζόντιο επίπεδο με την ίδια ταχύτητα κέντρου μάζας υ₀. Στην πορεία τους συναντούν δύο κεκλιμένα επίπεδα, στα οποία συνεχίζουν να ανέρχονται. Η Α σφαίρα ανεβαίνει στο πρώτο επίπεδο που είναι λείο, ενώ η Β συνεχίζει να κυλίεται κατά μήκος του δεύτερου.

Σε μεγαλύτερο ύψος θα φτάσει:

   i) Η Α σφαίρα.

   ii)  Η Β σφαίρα.

   iii) Οι δυο σφαίρες θα φτάσουν στο ίδιο ύψος.

Άνοδος σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο.

Άνοδος σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο.

24. Τροχαλία και ελατήριο

Η τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δυο συγκολλημένους δίσκους με ακτίνες R=20cm και r=10cm που έχουν κοινό άξονα. Οι δίσκοι περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από τον κοινό τους άξονα και έχουν συνολική ροπή αδράνειας Ι=4×10^-2Kg×m². Τα αβαρή σχοινιά που είναι τυλιγμένα στους δίσκους, έχουν στα ελεύθερα άκρα τους δεμένα τα σώματα με μάζες m₁=4Kg και m₂=2Kg. Το σώμα μάζας m₁, είναι επίσης δεμένο σε οριζόντιο αβαρές ελατήριο Κ=100Ν/m και μπορεί να κινείται στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές. Κάποια στιγμή εξασκούμε στο σύστημα την οριζόντια δύναμη F=80N που φαίνεται στο σχήμα. Τότε:
α) Για ποια επιμήκυνση του ελατηρίου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας γίνεται μέγιστη;
β)i) Πόση είναι τότε η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος;
ii) Ποιος είναι τότε ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος των μαζών;
Αν εκείνη τη στιγμή που η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας γίνεται μέγιστη κοπεί το νήμα που συνδέει τη μάζα m₁ με την τροχαλία, τότε
γ)i) Nα υπολογιστεί η επιτάχυνση α₂ της μάζας m₂ καθώς και η τάση του νήματος που συνδέει την m₂ με την τροχαλία
ii) Nα υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος τροχαλία – m₂;
δ)i) Ποια είναι η ενέργεια ταλάντωσης της μάζας m₁ και
ii) Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της m₁ καθώς αυτή ταλαντώνεται; Δίνεται g=10m/s².

Συνοπτική λύση:

Ταλάντωση και δυο ελαστικές κρούσεις.

Τα σώματα Β και Γ, τα οποία θεωρούμε υλικά σημεία, αμελητέων διαστάσεων, με μάζες m₁=1kg και m₂=3kg ηρεμούν σε επαφή σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ το Β είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=400Ν/m, όπως στο σχήμα. Μετακινούμε τα σώματα προς τα αριστερά, συμπιέζοντας το ελατήριο κατά 0,4m και τη στιγμή t₀=0, αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί.

i)   Ποια η αρχική επιτάχυνση που θα αποκτήσουν τα σώματα και ποιο το μέτρο της δύναμης που ασκεί το Β στο Γ σώμα;

ii)  Ποια χρονική στιγμή τα δυο σώματα θα χάσουν την επαφή;

iii) Το σώμα Γ αφού συγκρουστεί ελαστικά με τον κατακόρυφο τοίχο, ξανασυγκρούεται ελαστικά με το σώμα Α τη στιγμή t₂= 3π/20s. Ποια η αρχική απόσταση d του σώματος Γ από τον τοίχο;

iv) Να παρασταθεί γραφικά η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Β σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη χρονική στιγμή t₃=π/5s.

Απάντηση.

Ταλάντωση και δυο ελαστικές κρούσεις

Γενικό διαγώνισμα 2011-12

ΘΕΜΑ Δ

Στο παρακάτω σχήμα το σώμα έχει μάζα m=1/π kgr  ο κύλινδρος  που έχει μάζα Μ₁=2kg και  ακτίνα R₁= 1m είναι στερεωμένος με κατάλληλο υποστήριγμα έτσι ώστε να μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα. Πάνω στον κύλινδρο είναι κολλημένη ράβδος μήκους L= 2m και μάζας M₂=3Kg με το ένα της άκρο να βρίσκεται στο κέντρο του κυλίνδρου.

Η ράβδος ισορροπεί κατακόρυφα .Το ελατήριο  έχει σταθερά Κ=100/π Ν/m και βρίσκεται στο φυσικό του μήκος με το νήμα να είναι τεντωμένο και δεμένο στο ανώτερο σημείο του κυλίνδρου. Με την βοήθεια  κατάλληλης δύναμης αρχίζουμε να περιστρέφουμε το σύστημα επιμηκύνοντας το ελατήριο   με το νήμα να τυλίγεται στον κύλινδρο μέχρι η ράβδος  να περιστραφεί κατά 90^ο .

Να βρεθούν:

Α)  Το μέτρο της δύναμης που  πρέπει ασκούμε κάθετα στην ράβδο  αν το σύστημα ισορροπεί μετά από την διαγραφή των 90^ο .                                            

Όταν το σύστημα έχει διαγράψει γωνία 90^ο και το σύστημα ισορροπεί  το νήμα κόβεται και η εξωτερική δύναμη καταργείται.

Β)  Πόση μέγιστη ταχύτητα θα αποκτήσει το σώμα m και πόση μέγιστη γωνιακή ταχύτητα που  θα αποκτήσει το σύστημα κυλίνδρου-ράβδου;

Γ)  Ποιο από τα δύο συστήματα θα αποκτήσει πρώτο την μέγιστη κινητική ενέργεια.

Δίνονται για τον κύλινδρο Ι=0,5Μ₁·R₁²   για την ράβδο  Ι=1/3Μ₂·L²  και π=3,14

Δείτε όλα τα θέματα από εδώ.