Σταθερά και ραδιενεργά ισότοπα

Δύο από τα ισότοπα του άνθρακα είναι το σταθερό ₆C¹² και το ραδιενεργό ₆C¹⁴ με χρόνο υποδιπλασιασμού Τ_1/2 = 5550χρόνια = 1,75×10¹¹s.

α. Να υπολογίσετε τη σταθερά διάσπασης του ₆C¹⁴.
Δίνεται ln2=0,7.

β. Τη στιγμή t₁ σε ένα αρχαιολογικό δείγμα οστού περιέχονται Ν₁=8×10¹³ πυρήνες ₆C¹⁴. Να υπολογίσετε την ενεργότητα του δείγματος

i) τη στιγμή t₁.

ii) 11100χρόνια μετά τη στιγμή t₁.

γ. Να υποθέσετε ότι τη στιγμή που πέθανε ο οργανισμός στον οποίο ανήκε το οστό (έστω στιγμή t_o=0), οι αριθμοί των αρχικών πυρήνων Ν_ο(12) και Ν_ο(14) των δύο ισοτόπων είχαν λόγο:

 N_o(12)/N_o(14)=2×10¹¹. 

Σήμερα, στο οστό αυτό, οι αριθμοί των πυρήνων Ν₍₁₂₎ και Ν₍₁₄₎ των δύο ισοτόπων έχουν λόγο:

 N₍₁₂₎/N₍₁₄₎=16×10¹¹. 

Να βρείτε πόσα χρόνια πέρασαν από τη στιγμή t_o, που πέθανε ο παραπάνω οργανισμός.

Απάντηση:

Προς τα πού θα κινηθεί το σώμα Σ;

Με αφορμή ένα ερώτημα σε εξετάσεις των ομογενών το 2002, το οποίο έφερε ο φίλος Στέργιος Ναστόπουλος σε συζήτηση, ας δούμε παρακάτω μια παραλλαγή .

Η ομογενής  ράβδος ΟΑ μήκους ℓ και μάζας m₁=3kg μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο του Ο. Το άλλο άκρο της Α, δένεται στο ένα άκρο αβαρούς νήματος. Το νήμα αφού περάσει από το αυλάκι μιας τροχαλίας καταλήγει σε ένα σώμα Σ μάζας m₃=1kg. Το σύστημα συγκρατείται έτσι ώστε η ράβδος να είναι οριζόντια, όπως στο σχήμα.

i)   Αν αφήσουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί το σώμα Σ θα κινηθεί προς τα πάνω ή προς τα κάτω;

ii)  Να βρείτε την αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ, αν η τροχαλία έχει μάζα m₂=6kg.

Δίνεται ότι το νήμα δεν γλιστρά στο αυλάκι της τροχαλίας και δεν εμφανίζονται τριβές ούτε στον άξονα της τροχαλίας, ούτε στον άξονα περιστροφής της ράβδου. Δίνονται ακόμη οι ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες περιστροφής, για τη ράβδο Ι₁= 1/3 m₁∙ℓ² και για την τροχαλία Ι₂= ½ m₂R² ενώ g=10m/s².

Απάντηση

Προς τα πού θα κινηθεί το σώμα Σ;

Στροφορμή και μεταβολή στροφορμής.

Η ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος, έχει μήκος ℓ=2m και μάζα Μ=3kg και μπορεί να στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα z ο οποίος περνά από το άκρο της Ο. Στο μέσον της ράβδου έχει προσδεθεί ένα σώμα Σ που θεωρείται υλικό σημείο  μάζας m₁=4kg. Το στερεό Π, που δημιουργήσαμε με τον τρόπο αυτό ηρεμεί.

Για t=0 ασκείται στο άκρο Α της ράβδου μια οριζόντια σταθερού μέτρου δύναμη F=5Ν, που η διεύθυνσή της σχηματίζει γωνία θ=30° με τη ράβδο, όπως στο σχήμα, μέχρι τη χρονική στιγμή t=2s, όπου η δύναμη καταργείται.

i)   Η στροφορμή που αποκτά το στερεό Π ως προς (κατά τον ) άξονα περιστροφής z.

ii)  Σε μια στιγμή t>2s, το σώμα Σ ξεκολλά από τη θέση του και γλιστρώντας κατά μήκος της ράβδου, καρφώνεται σε ένα μικρό καρφί που υπάρχει στο άκρο Α της ράβδου.

Να βρεθούν για την παραπάνω μετακίνηση:

α) Η μεταβολή της στροφορμής του σώματος Σ ως προς το άκρο Ο.

β)  Η αντίστοιχη μεταβολή της στροφορμής της ράβδου.

γ)  Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα z Ι=1/3 Μℓ².

Απάντηση

Στροφορμή και μεταβολή στροφορμής.

Εξάσκηση στο 4° Θέμα # 4

Ο τροχός Σ₂ έχει μάζας Μ=8kg, ακτίνα R=1m και εφάπτεται στο πλάγιο δάπεδο που σχηματίζει γωνία θ=37° με την οριζόντια διεύθυνση. Το σημείο Α της περιφέρειάς του, που βρίσκεται στο ύψος του κέντρου, συνδέεται  μέσω αβαρούς κατακόρυφου νήματος  με το σημειακό σώμα Σ₁. Το σώμα Σ₁ έχει μάζας  m=1kg και συνδέεται με την οροφή μέσω κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K=100N/m.Το νήμα είναι τεντωμένο και η διάταξη βρίσκεται σε ισορροπία.

  

Α. Να σχεδιάσετε το διάνυσμα της στατικής τριβής στο σημείο επαφής του τροχού με  το δάπεδο και να υπολογίσετε το μέτρο του

ΜΟΝΑΔΕΣ 7

Β. Τη χρονική στιγμή t=0 το νήμα κόβεται όποτε ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση ενώ το σώμα Σ₁ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Β1. Να υπολογίσετε την ενέργεια ταλάντωσης του σώματος  Σ₁

ΜΟΝΑΔΕΣ 6

Β2. Να υπολογίσετε τη στροφορμή του τροχού όταν το σώμα Σ₁ φτάσει για πρώτη φορά στο ανώτατο σημείο της τροχιάς του

ΜΟΝΑΔΕΣ 7

Γ. Κάποια χρονική στιγμή το σώμα Σ₁ αποκολλάται από το ελατήριο και συγκρούεται ελαστικά με το πλάγιο δάπεδο κινούμενο κατακόρυφα. Να υπολογίσετε  την γωνία της ταχύτητάς του με την οριζόντια διεύθυνση αμέσως μετά την κρούση

ΜΟΝΑΔΕΣ 5

Για τον τροχό  δίνεται η ροπή αδρανείας για άξονα που περνά από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του I_cm=MR². Για τις πράξεις θεωρείστε g=10m/s² ημ37°=0,6, συν37° =0,8.

Απάντηση:

Εξάσκηση στο 4° Θέμα # 3

 Ο ομογενής δίσκος του σχήματος, ακτίνας R=2m, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές περί ακλόνητου άξονα που περνά από το κέντρο του. Στο λείο οριζόντιο δάπεδο ισορροπεί σημειακό σώμα Σ₂ μάζας m₂=3Kg που συνδέεται με ακλόνητο τοίχο μέσω ιδανικού ελατήριου σταθεράς K=300N/m.Η διάταξη βρίσκεται σε κατακόρυφο επίπεδο.

Α. Ενώ ο δίσκος ηρεμεί κολλάμε σημειακό σώμα Σ₁, μάζας m₁=1Kg, στην περιφέρειά του και στο ύψος του κέντρου του. Όταν στο σημειακό σώμα Σ1 φτάσει στο κατώτατο σημείο έχει ταχύτητα μέτρου u₁=2m/s.

Α1. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος σώμα Σ₁ - δίσκος όταν έχει στραφεί κατά φ=60°

ΜΟΝΑΔΕΣ 5

Α2. Να υπολογίσετε την ροπή αδράνειας του δίσκου για τον άξονα περιστροφής του

ΜΟΝΑΔΕΣ 7

Β. Όταν το σώμα Σ₁ φτάσει στο κατώτατο σημείο, διατηρώντας την ταχύτητά του αποκολλάται και κινείται ευθύγραμμα στο οριζόντιο δάπεδο. Αφού διανύσει διάστημα S=2m συγκρούεται ελαστικά με το σώμα Σ₂.

Β1.Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από την αποκόλληση του σώματος Σ₁ μέχρι αυτό να συναντήσει ξανά τον δίσκο

ΜΟΝΑΔΕΣ 6

Β2.   Να υπολογίσετε τη μέγιστη συμπίεση του ελατήριου

ΜΟΝΑΔΕΣ 7

Δίνεται  η επιτάχυνση βαρύτητας g=10m/s².

Απάντηση:

Ένας κύλινδρος με μια σφαίρα.

Στο παρακάτω σχήμα ο κύλινδρος έχει μάζα m₁=14Κg και ακτίνα R ενώ η σφαίρα έχει μάζα m₂=15Kg και ακτίνα επίσης R.To σύστημα  των δύο στερεών   ισορροπεί σε οριζόντιο έδαφος  με την βοήθεια ιδανικού οριζόντιου ελατήριου και οριζόντιου νήματος. Το ελατήριο έχει  σταθερά Κ=4200Ν/m   είναι συσπειρωμένο κατά x=0,4m  και δεν είναι δεμένο σε κάποιο από τα δύο στερεά. Το κέντρα των δύο στερεών και το ελατήριο βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο.

Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα και τα δύο σώματα αρχίζουν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Να βρεθούν:

A) Oι  τελικές ταχύτητες των κέντρων μάζας των στερεών σωμάτων.

Β) Τι ποσοστό της αρχικής ενέργειας του ελατηρίου πήρε τελικά το κάθε στερεό σώμα;

Για την σφαίρα Ιcm=0,4MR²  και  για τον κύλινδρο  Ιcm=0,5.M.R².

Απάντηση:

Γωνιακή επιτάχυνση και επιταχύνσεις σημείων.

Κατασκευάζουμε ένα στερεό συνδέοντας δύο όμοιες ομογενείς ράβδους ΓΑ και ΑΔ με  ενωμένα τα δύο άκρα τους στο σημείο Α, σχηματίζοντας γωνία 90°. Οι δύο ράβδοι έχουν μάζες m₁=m₂=m=10kg και μήκος ;=6m. Το στερεό μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από ένα σημείο Ο της ράβδου ΓΑ, όπου (ΟΑ)=4m. Φέρνουμε το στερεό σε τέτοια θέση ώστε η ράβδος ΓΑ να είναι οριζόντια και το αφήνουμε να κινηθεί.

i)   Ποια η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του στερεού;

ii)  Βρείτε τις αντίστοιχες επιταχύνσεις του άκρου Α καθώς και του μέσου Μ της ράβδου ΑΔ.

iii) Να υπολογίστε την ταχύτητα του άκρου Α, στη θέση που η ράβδος ΓΑ γίνεται κατακόρυφη.

iv)  Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ΑΔ, ως προς τον άξονα περιστροφής που περνά από το Ο, στην παραπάνω θέση;

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσον της Ι=ml²/12  και g=10m/s².

Απάντηση

Γωνιακή επιτάχυνση και επιταχύνσεις σημείων

Η στροφορμή και η μεταβολή της σε μια κρούση.

Μια σφαίρα Σ μάζας 2kg που θεωρείται υλικό σημείο, είναι δεμένη στο άκρο νήματος μήκους ℓ=1,8m, το άλλο άκρο Ο του οποίου δένεται σε σταθερό σημείο. Φέρνουμε τη σφαίρα στη θέση Α, ώστε το νήμα να είναι τεντωμένο και οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Μετά από λίγο περνά από μια θέση Β, έχοντας ταχύτητα υ=3m/s.

i)    Για τη θέση αυτή Β, να βρεθούν:

α)  Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ως προς το Ο,

β)  Η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας.

ii)  Μόλις η σφαίρα Σ φτάσει στην κατακόρυφη θέση συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλη ακίνητη σφαίρα διπλάσιας μάζας. Να βρεθεί η μεταβολή της στροφορμής της σφαίρας Σ ως προς το Ο, που οφείλεται στην κρούση.

Απάντηση

Η στροφορμή και η μεταβολή της σε μια κρούση

Η στροφορμή παραμένει σταθερή;

Ένα υλικό σημείο Σ μάζας 2kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους ℓ=2,5√2 m και διαγράφει οριζόντιο κύκλο, κέντρου Κ και ακτίνας R=2,5m, όπως στο σχήμα, όπου το άλλο άκρο του νήματος έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο.

Ζητούνται:

i)     Η ταχύτητα του Σ.

ii)  Η στροφορμή του Σ ως προς τα σημεία Κ και Ο. Να σχεδιαστούν τα αντίστοιχα διανύσματα.

iii)  Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς το Κ και ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός ως προς το Ο;

iv) Να βρεθεί η μεταβολή της στροφορμής σε χρόνο ίσο με τη μισή περίοδο περιστροφής, ως προς τα σημεία Κ και Ο.

Δίνεται ότι η ταχύτητα του Σ είναι κάθετη τόσο στην ακτίνα R, όσο και στο νήμα και g=10m/s².

Απάντηση

Η στροφορμή παραμένει σταθερή

Κύλινδρος ισορροπεί πάνω σε οριζόντια δοκό και αρχίζει να κυλίεται με την επίδραση κατακόρυφης δύναμης

Η ομογενής δοκός ΑΒ του σχήματος , μήκους ℓ=12m και μάζας Μ = 30kg, ισορροπεί σε οριζόντια θέση ακουμπώντας σε κατακόρυφο υποστήριγμα Υ και με το άκρο της Α αρθρωμένο σε κατακόρυφο τοίχο.

Το υποστήριγμα Υ, απέχει από το άκρο Β της δοκού απόσταση ΔΒ = ℓ/4.

Ένας κύλινδρος μάζας m = 18kg και ακτίνας R = ℓ/8 ηρεμεί πάνω στην δοκό σε απόσταση ΑΓ = ℓ/4 από τον τοίχο.

Α. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που δέχεται η δοκός από το υποστήριγμα και από την άρθρωση.

Β. Μέσω ενός αβαρούς μη εκτατού νήματος που είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια του κυλίνδρου, ασκούμε στον κύλινδρο κατακόρυφη δύναμη , μέτρου F = 18N με φορά προς τα επάνω, κατά την εφαπτομένη προς την μεριά του τοίχου , με αποτέλεσμα αυτός ν’ αρχίσει να κυλίεται πάνω στη δοκό χωρίς να ολισθαίνει.

Β1. Να υπολογίσετε τη στατική τριβή μεταξύ κυλίνδρου - δοκού και να τη σχεδιάσετε.

Β2. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου την στιγμή που φτάνει στο σημείο Δ.

B3. Υπολογίσετε τον ρυθμό που προσφέρεται ενέργεια στον κύλινδρο την στιγμή που βρίσκεται στο σημείο Δ.

Β4. Έστω δυο τυχαία σημεία Κ, Λ της τροχιάς του κέντρου μάζας του κυλίνδρου πάνω στη δοκό , που απέχουν μεταξύ τους κατά d = ℓ/8. Να υπολογίσετε:

α. Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου λόγω περιστροφικής κίνησης γύρω από τον άξονά του, μεταξύ των σημείων Κ, Λ.

β. Την ενέργεια που προσφέρεται στον κύλινδρο μέσω του έργου της δύναμης F, και το ποσοστό που αυτή μετατρέπεται

i. σε κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής κίνησης και

ii. σε κινητική ενέργεια λόγω περιστροφικής κίνησης , κατά την μετατόπιση από το Κ μέχρι το Λ.

Β5. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου κατά την κίνησή του πάνω στη δοκό.

Δίνεται g = 10 m/s² και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ιcm = mR²/2.

Απάντηση

Στρεφόμενοι δίσκοι σε επαφή και… τα έργα τους

Δύο ομoγενείς δίσκοι στρέφονται όπως στο σχήμα γύρω από κοινό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από τα κέντρα τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους. Μεταξύ των δίσκων και του άξονα περιστροφής δεν υπάρχουν τριβές. Ο κάτω δίσκος έχει ροπή αδράνειας I1=10kg∙m^2 και γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω1=20rad/s. Ο πάνω δίσκος έχει ροπή αδράνειας I2=5kg∙m^2 και γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω2=16rad/s. Οι γωνιακές ταχύτητες των δίσκων είναι αντίρροπες όπως στο σχήμα.
Τη χρονική στιγμή t=0 φέρουμε τους δίσκους σε επαφή χωρίς να συμβεί αναπήδηση και παρατηρούμε ότι οι γωνιακές ταχύτητες αρχίζουν να μεταβάλλονται λόγω των τριβών που εμφανίζονται στις επιφάνειές τους και κάποια στιγμή οι δίσκοι αποκτούν κοινή γωνιακή ταχύτητα.
Α. Mια χρονική στιγμή t1, πριν αποκτηθεί η κοινή γωνιακή ταχύτητα, μηδενίζεται στιγμιαία η γωνιακή ταχύτητα του ενός δίσκου.
1. Να υπολογίσετε το μέτρο και τη κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας του άλλου δίσκου τη στιγμή t1.
2. Να υπολογίσετε την αύξηση της θερμικής ενέργειας των δίσκων από 0 μέχρι t1.
3. Να υπολογίσετε το έργο της τριβής που ασκείται σε κάθε δίσκο μέχρι τη στιγμή t1. Τι μετράει το καθένα από αυτά τα έργα;
4. Να εξηγήσετε γιατί τα παραπάνω έργα δεν είναι αντίθετα παρά το γεγονός ότι οι δυνάμεις των τριβών έχουν σχέση δράσης-αντίδρασης.
B. Τη χρονική στιγμή t2 οι δίσκοι αποκτούν κοινή γωνιακή ταχύτητα.
1. Να υπολογίσετε το μέτρο και την κατεύθυνση της κοινής γωνιακής ταχύτητας.
2. Να υπολογίσετε την αύξηση της θερμικής ενέργειας των δίσκων από t1 μέχρι t2.
3. Να υπολογίσετε το έργο της τριβής που ασκείται σε κάθε δίσκο από t1 έως t2. Τι μετράει το καθένα από αυτά τα έργα;

Απάντηση: