Διαγώνισμα στα κύματα. Διάρκεια 1,5h.

1)   Κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, χωρίς απώλειες ενέργειας.

i)   Τα μόρια του μέσου ταλαντώνονται στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

ii)  Σχηματίζονται «όρη» και «κοιλάδες».

iii) Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων δίνεται από την εξίσωση υ_mαx =λf.

iv) Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος δίνεται από την εξίσωση υ=ωKΑ.

Μονάδες 10

2)  Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες

i) Το μήκος κύματος ενός αρμονικού κύματος είναι σταθερό και ανεξάρτητο του μέσου  διάδοσης του κύματος

ii)  Τα Η/Μ κύματα δημιουργούνται όταν κινούνται ηλεκτρικά φορτία.

iii) Στην επιφάνεια ενός υγρού διαδίδονται δύο κύματα με μήκος κύματος λ=2cm, από σύγχρονες πηγές οι οποίες ταλαντώνεται με εξισώσεις y=A∙ημωt. Ένα σημείο Σ απέχει 7cm από την πρώτη και 15cm από τη δεύτερη πηγή και μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων, ταλαντώνεται με πλάτος 0,6 cm.i)      Θεωρούμε ότι τα κύματα διαδίδονται με σταθερό πλάτος.
   α) Κάθε πηγή ταλαντώνεται με πλάτος 0,3cm

β) Ένα άλλο σημείο Ρ που ισαπέχει από τις δύο πηγές ταλαντώνεται με πλάτος 0,3m

γ)  Η απόσταση των δύο πηγών μπορεί είναι μεγαλύτερη από 25cm.

Μονάδες 10

3) Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, το οποίο έχει τη διεύθυνση του άξο­να x'x, διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα, μήκους κύματος λ = 20 cm, προς τη αρνητική κατεύθυνση του άξονα. Η απομάκρυνση ενός σημείου Ο, το οποίο θεωρούμε ως αρχή του άξονα, δίνεται από την εξίσωση:

 y = 3ημ20πt (y σε cm, t σε s).

Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί;

i)   Η εξίσωση του κύματος είναι   y = 3ημπ (10t + x/10) (χ, y σε cm, t σε s).

ii) Η διαφορά φάσης φ_Α - φ_Β μεταξύ των ταλαντώσεων δύο σημείων Α (20 cm) και Β (- 40 cm), την ίδια χρονική στιγμή, είναι 6π.

iii) Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι υ = 2 m/s.

Μονάδες 12

4)   Πάνω σε μια χορδή έχει σχηματιστεί ένα στάσιμο κύμα με εξίσωση:

y= 0,2 συν2πx∙ημ2πt  (μονάδες στο S.Ι.)

Να βρείτε τις θέσεις των δεσμών και να αποδείξτε ότι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι ίση με ½ m.

Μονάδες 8

5)  Μια μονοχρωματική ακτίνα προσπίπτει όπως στο σχήμα στο πλακίδιο Α. Στο σχήμα φαίνεται η πορεία της, μέχρι της έξοδό της ξανά στον αέρα.

i)  Σημειώστε στο σχήμα τις γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης στο σημείο Γ.

ii) Σε ποιο πλακίδιο, στο Α ή στο Β η ακτίνα έχει μεγαλύτερη ταχύτητα διάδοσης; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Αν η γωνία διάθλασης στο Γ είναι 30° και ο δείκτης διάθλασης n₂=1,2, τότε o δείκτης διάθλασης n₁ είναι:

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας

Μονάδες 3+3+4=10

6)   Έστω δυο σημεία Β και Γ πάνω σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο, (ας θεωρήσουμε του άξονα x΄x) κατά μήκος του οποίου διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα της μορφής:

y =Αημ2π(t/T – x/λ)

Η απόσταση ΒΓ είναι ίση με  d = 5λ/4, και το κύμα διαδίδεται από το Β προς το Γ.

Κάποια χρονική στιγμή t₀ το κύμα φτάνει στο σημείο Γ, ενώ το σημείο Β βρίσκεται στη μέγιστη θετική απομάκρυνσή του.

i)  Να σχεδιάσετε τμήμα του στιγμιότυπου του κύματος από το Β  μέχρι το Γ τη χρονική στιγμή t₀.

ii) Η εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Β είναι:

y_Β = 0,1ημ(5πt -π) SI.

Να βρεθεί το πλάτος, η συχνότητα του κύματος, όπως επίσης και το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να διαδοθεί το κύμα από το Β στο Γ.

iii)  Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης – χρόνου για το σημείο Γ.

iv)  Αν τη χρονική στιγμή t₁=t₀+0,1s το κύμα έχει φτάσει σε ένα σημείο Δ το οποίο απέχει κατά 1m από το Γ (στη διεύθυνση του άξονα) να βρείτε την εξίσωση του κύματος και να κάνετε το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t₁ κατά μήκος του θετικού ημιάξονα x.

Μονάδες 10+(2+3+5)+15+(10+5)=50

ΣΤΕΡΕΟ - ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΛΛΑΓΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ - ΤΥΠΟΙ

Σ' ένα πρόβλημα, παρατηρώ αλλαγή στη στροφική κατάσταση ενός στερεού (ή συστήματος στερεών), καθώς αυτό δέχεται εξωτερικές ροπές. Θα έχω στο νου μου τρείς (3) τρόπους για να τ' αντιμετωπίσω :
1. Τη "δυναμική προσέγγιση" και τους τύπους της Ομαλά Μεταβαλλόμενης Μεταφορικής και Στροφικής Κίνησης.
2. Την "Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας" (Α.Δ.Μ.Ε).
3. Το "Θεώρημα Έργου - Ενέργειας" (Θ.Ε-Ε).


Αναλυτικά …

Κυκλική κίνηση.

Λίγη εισαγωγική θεωρία πάνω στην κυκλική κίνηση, την οποία είχα αναρτήσει παλιότερα και την οποία επαναφέρω για τους νέους φίλους που ήρθαν στο μεταξύ στην συντροφιά μας.

Τι πρέπει να ξέρει ένας μαθητής πριν αρχίσει να διδάσκεται την Μηχανική στερεού, από την κυκλική κίνηση υλικού σημείου, την οποία διδάχτηκε ή θα έπρεπε να διδαχτεί στην Α΄Λυκείου.

Ένα υλικό σημείο εκτελεί κυκλική κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο, με ακτίνα R γύρω από το σημείο Ο, όπως στο σχήμα.

Πώς μπορούμε να μελετήσουμε την κίνηση του υλικού σημείου; Με δύο διαφορετικούς τρόπους:

1) Με χρήση γραμμικών μεγεθών.

Ποια είναι αυτά; Το μήκος του τόξου που διαγράφει σε κάποιο χρονικό διάστημα, o ρυθμός  μεταβολής του μήκους του τόξου αυτού, που είναι η ταχύτητα του υλικού σημείου, και ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του, δηλαδή η επιτάχυνσή του.

Αναφερόμενοι λοιπόν στο παραπάνω σχήμα, αν το σώμα σε χρόνο dt μετακινείται από τη θέση Α στην Β διαγράφοντας το τόξο ds, ορίζουμε την ταχύτητά του (που από εδώ και πέρα θα ονομάζουμε γραμμική ταχύτητα) από την σχέση:

Η γραμμική ταχύτητα είναι πάνω στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς, εφαπτόμενη στον κύκλο (πράγμα που σημαίνει κάθετη στην ακτίνα σε κάθε σημείο).

Η ταχύτητα του υλικού σημείου σε μια κυκλική κίνηση μεταβάλλεται ΠΑΝΤΑ. Ακόμη και αν το μέτρο της παραμένει σταθερό θα αλλάζει η κατεύθυνσή της, αφού θα είναι πάντα εφαπτόμενη του κύκλου. Συνεπώς πάντα υπάρχει επιτάχυνση. Ορίζεται από την γνωστή σχέση:

Ενώ η κατεύθυνσή της είναι προς το εσωτερικό μέρος της κυκλικής τροχιάς. Η επιτάχυνση αυτη μεταβάλλει και το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητας. Μπορούμε λοιπόν να αναλύσουμε την επιτάχυνση αυτή σε δύο συνιστώσες. Μια στη διεύθυνση της ταχύτητας, η οποία θα μεταβάλλει το μέτρο της ταχύτητας και μια κάθετη στην ταχύτητα με φορά προς το κέντρο του κύκλου, η οποία μεταβάλλει την κατεύθυνση της ταχύτητας.

Η συνιστώσα α_ε που είναι κάθετη στην ακτίνα ονομάζεται επιτρόχια επιτάχυνση και αν έχει την ίδια κατεύθυνση με την ταχύτητα θα είναι υπεύθυνη για την αύξηση του μέτρου της ταχύτητας (επιταχυνόμενη κίνηση), ενώ αν έχει αντίθετη φορά, θα μειώνει το μέτρο της ταχύτητας (επιβραδυνόμενη κίνηση).

Η συνιστώσα α_κ ονομάζεται κεντρομόλος επιτάχυνση το μέτρο της οποίας δίνεται από την εξίσωση:

Να τονίσουμε ότι αυτή ευθύνεται για την αλλαγή στην κατεύθυνση της ταχύτητας, είναι αυτή που κρατά το σώμα σε κυκλική τροχιά.

Είναι προφανές ότι για έχει το σώμα επιτάχυνση, θα πρέπει να δέχεται και αντίστοιχη συνισταμένη δύναμη, σύμφωνα με τον δεύτερο νόμου του Νεύτωνα. Δηλαδή η συνισταμένη θα έχει την κατεύθυνση της επιτάχυνσης και συνεπώς και αυτή θα μπορούσαμε να την αναλύσουμε επίσης σε δύο συνιστώσες, μια εφαπτομενική ΣF_ε=m·α_ε και μια προς το κέντρο του κύκλου, την οποία λέμε και κεντρομόλο δύναμη, ΣF_R=m·α_κ.

2) Με χρήση γωνιακών μεγεθών.

Αν το υλικό μας σημείο μετακινείται από την θέση (Α) στη θέση (Β), η επιβατική ακτίνα (η ακτίνα που δίνει κάθε στιγμή τη θέση του κινητού) διαγράφει την επίκεντρη γωνία dθ. Γνωρίζοντας λοιπόν τη γωνία που διαγράφει το κινητό γνωρίζουμε κάθε στιγμή και την θέση του.

Μπορούμε και εδώ να ορίσουμε τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται η παραπάνω γωνία. Το μέγεθος που προκύπτει ονομάζεται Γωνιακή ταχύτητα. Αυτή είναι κάθετη στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς, στο κέντρο του κύκλου, με φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού, όπως στο σχήμα:

Και το μέτρο της οποίας θα είναι:

με μονάδα μέτρησης το 1 rad/s.

Αν μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητα, τότε ορίζουμε το ρυθμό μεταβολής της, τον οποίο ονομάζουμε γωνιακή επιτάχυνση:

Η γωνιακή επιτάχυνση είναι επίσης κάθετη στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς στο κέντρο του κύκλου, ενώ η φορά της μπορεί να είναι ίδια με την φορά της γωνιακής ταχύτητας (σχ.1) ή αντίθετης φοράς (σχ.2). Στην πρώτη περίπτωση η γωνιακή ταχύτητα του σώματος αυξάνεται (επιταχυνόμενη κίνηση) ενώ στην δεύτερη μειώνεται (επιβραδυνόμενη κίνηση).

3) Πώς συνδέονται τα παραπάνω μεγέθη;

Η επίκεντρη γωνία dθ και το αντίστοιχο μήκος του τόξου στο οποίο βαίνει συνδέονται με την σχέση:

Παρατηρείστε ότι η γωνία είναι αδιάστατο μέγεθος, συνεπώς δεν έχει μονάδες. Καταχρηστικά και για λόγους διευκόλυνσης μετράμε τις γωνίες σε rad, όπου όταν μια επίκεντρη γωνία βαίνει σε τόξο με μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου, λέμε ότι είναι ίση με 1 ακτίνιο (rad).

Από την (1) και δουλεύοντας με μέτρα παίρνουμε:

Προσέξτε ότι η σχέση (2) συνδέει τα μέτρα της γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας. Μην ξεχνάμε ότι τα διανύσματα είναι όπως λέμε ασύμβατα κάθετα. Το ένα οριζόντιο το άλλο κατακόρυφο, χωρίς να περνάνε από το ίδιο σημείο.

Παραγωγίζοντας την εξίσωση (2) παίρνουμε:

Βλέπουμε ότι το dυ/dt είναι ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας που συνδέεται με την επιτρόχια επιτάχυνση. Προσοχή λοιπόν και η σχέση (3) συνδέει επίσης τα μέτρα της επιτρόχιας και της γωνικής επιτάχυνσης.

4) Δύο εύκολες κυκλικές κινήσεις.

Α) Ομαλή κυκλική κίνηση:

Αν το υλικό μας σημείο στρέφεται με ταχύτητα σταθερού μέτρου, τότε η κίνηση ονομάζεται ομαλή κυκλική κίνηση. Αλλά τότε δεν θα υπάρχει επιτρόχια επιτάχυνση και θα μπορούσαμε να γράψουμε:

Δs= υ·Δt και αν t₀=0 και s₀=0 θα είχαμε s=υ·t

Ή αναφερόμενοι σε γωνιακά μεγέθη, αφού η γραμμική ταχύτητα έχει σταθερό μέτρο, από την σχέση (2) προκύπτει ότι και το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας παραμένει σταθερό, οπότε αντίστοιχα θα έχουμε:

Δθ=ω·Δt και αν t₀=0 και θ₀=0 θα είχαμε και θ=ωt (σας θυμίζει τίποτα;).

Β) Ομαλά μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση:

Αν ο ρυθμός μεταβολής της γραμμικής ταχύτητας είναι σταθερός, δηλαδή α_ε=σταθερή και η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή, όπως προκύπτει από τη σχέση (3) και η κίνηση θα είναι είτε κυκλική ομαλά επιταχυνόμενη, είτε κυκλική ομαλά επιβραδυνόμενη και τότε:

Για τα γραμμικά μεγέθη θα ισχύουν οι γνωστές μας σχέσει για το μέτρο της ταχύτητας και για το μήκος του διανυόμενου τόξου:

υ= υ₀ ± α_ε·t και Δs = υ₀·t ± ½ α_ε·t².

Ενώ όσον αφορά τα γωνιακά μεγέθη θα έχουμε:

ω=ω₀ ± α_γων·Δt και αν t₀=0 θα έχουμε:

ω = ω₀ ± α_γων·t ( 4)

Αν τέλος κάνουμε τη γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο (για την επιταχυνόμενη κίνηση) παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα:

όπου το εμβαδόν του γκριζαρισμένου τραπεζίου είναι αριθμητική ίσο με την γωνία:

Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο σε pdf.

Κυκλική κίνηση

Ροπή αδράνειας και κίνηση ενός στερεού σχήματος Τ.

Δύο ράβδοι ίδιας μάζας Μ=3kg  και ίδιου μήκους  L=1m συγκολλούνται σχηματίζοντας  ανάποδο Τ όπως στο παρακάτω σχήμα.

Το σύστημα ισορροπεί κατακόρυφα με το κέντρο μάζας της κάθε ράβδου αλλά και το καρφί να βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο. Ασκώντας στο κέντρο μάζας της αρχικά κατακόρυφης ράβδου σταθερή δύναμη F=200/π Ν η οποία είναι συνεχώς κάθετη στην ράβδο το σύστημα αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από το καρφί.

Α)  Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του συστήματος των δύο ράβδων γύρω από τον άξονα περιστροφής του

Β)   Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του συστήματος  καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση-επιβράδυνση όταν το σύστημα έχει διαγράψει γωνία 90^ο σε σχέση με την αρχική του θέση.

Γ)  Σε κάποια θέση και ενώ το σύστημα ανεβαίνει καταργούμε την δύναμη.

Αν θέλουμε τελικά το σύστημα να ισορροπήσει σχηματίζοντας ένα κανονικό κατακόρυφο “T’’  μέχρι ποια γωνία σε σχέση με την αρχική κατακόρυφη θέση θα πρέπει να ενεργήσει η δύναμη.

Δίνεται για την κάθε ράβδο το Icm=1/12M.L².

Απάντηση:

Δοκός - ελατήριο - τροχός

Στη διάταξη του σχήματος, μια ομογενής λεπτή δοκός ΑΒ, μήκους ℓ, είναι οριζόντια και ισορροπεί ακουμπώντας σ’ ένα τροχό. Ο τροχός αυτός , έχει ακτίνα R = 0,4 m , εφάπτεται στο μέσον Μ της δοκού , και στρέφεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω = 100 rad/s , γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο του Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του.
Στο αριστερό άκρο Α της δοκού, είναι δεμένο το ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατήριου σταθεράς Κ = 80 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητο.
Ο άξονας του ελατηρίου, συμπίπτει με την διεύθυνση της δοκού.
Αν το βάρος της δοκού έχει μέτρο w = 80N, ο συντελεστής τριβής ολίσθησης στο σημείο επαφής είναι μ = 0,1 και στον άξονα περιστροφής του τροχού δεν υπάρχουν τριβές , να υπολογίσετε:
1. Τη δύναμη που δέχεται η δοκός από το ελατήριο.
2. Την επιμήκυνση του ελατηρίου.
3. Τη θερμότητα που εκλύεται στο σημείο επαφής κατά την διάρκεια n = 16/π περιστροφών του τροχού.
4. Τον ρυθμό που προσφέρεται ενέργεια στον τροχό.

Απάντηση

Κρούσεις και οριζόντια ελατήρια

Τα ελατήρια (1) και (2) του σχήματος, είναι ιδανικά, με σταθερές Κ1 = Κ2 = Κ και έχουν το ένα άκρο τους δεμένο σε κατακόρυφο τοίχο.
Τα σώματα Α και Β με μάζες m1 και m2 αντίστοιχα, μπορούν να ολισθαίνουν στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές.
Μετακινούμε το σώμα Α προς τ’ αριστερά, κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου (1), και αφού προκαλέσουμε στο ελατήριο αυτό μέγιστη συσπείρωση do , αφήνουμε το σώμα ελεύθερο χωρίς αρχική ταχύτητα.
Το σώμα Α , αφού αποχωριστεί το ελατήριο (1), συγκρούεται μετωπικά ελαστικά με το σώμα Β που ηρεμεί.
Μετά τη κρούση το σώμα Α επιστρέφει, προσκρούει στο ελατήριο (1), και του προκαλεί νέα μέγιστη συσπείρωση d1, ενώ το σώμα Β προκαλεί μέγιστη συσπείρωση d2 στο ελατήριο (2), όπου d2 = √3d1 .
1. Να υπολογίσετε τον λόγο των μαζών m2/m1.
2. Να υπολογίσετε τον λόγο των ταχυτήτων των σωμάτων μετά τη παραπάνω κρούση.
3. Αν η κρούση των σωμάτων Α και Β ήταν μετωπική πλαστική, να υπολογιστεί η μέγιστη συσπείρωση που θα προκαλούσε το συσσωμάτωμα στο ελατήριο (2). Δίνεται το do.

Απάντηση

Μια κρούση και ράβδου και ένα μηχανικό σύστημα με Doppler

Ράβδος μάζας Μ=3Κg  και μήκους L=1,2m αφήνεται  από την οριζόντια θέση. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται από το ένα της άκρο γύρω από οριζόντιο άξονα. Όταν ράβδος γίνει κατακόρυφη συγκρούεται  με ακίνητο σώμα μάζας m=1Κg που ισορροπεί στο οριζόντιο λείο  δάπεδο δεμένο με ελατήριο σταθεράς Κ που το άλλο του άκρο είναι στερεωμένο σε άλλο σώμα μάζας  m=1Kg. Μετά την κρούση της  ράβδου με το σώμα μάζας m η ράβδος παραμένει ακίνητη. Στο πρώτο σώμα είναι στερεωμένη πηγή ηχητικών ήχων συχνότητας Fs=680Ηz   ενώ στο δεύτερο σώμα  m υπάρχει στερεωμένος ανιχνευτής ήχων.

Να βρεθούν :

Α)   Η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου πριν  την κρούση καθώς και η ταχύτητα μετά την κρούση με τη ράβδο του σώματος m. Πως μπορούμε να χαρακτηρίσουμε την κρούση της ράβδου με το σώμα m;

B)   Nα βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της συχνότητας που θα ανιχνεύσει ο ανιχνευτής ήχων που βρίσκεται στο δεύτερο σώμα m.

Γ)   Ποιο το μέγιστο ποσοστό  της κινητικής ενέργειας   της ράβδου  λίγο πριν την κρούση που μπορεί να  αποθηκεύσει το ελατήριο κατά την διάρκεια της κίνησης των δύο σωμάτων με μάζες m. Ποια είναι τότε η συχνότητα που ανιχνεύει ο ανιχνευτής;

Για την ράβδο  Ι_Α=1/3ΜL². Δίνεται η ταχύτητα του ήχου υηχ=340m/sec.

Απάντηση:

Το σώμα κρέμεται από μια τροχαλία, έχοντας και ένα ελατήριο…

Σώμα μάζας m=1 kg  που  έχει στερεωμένο στο κάτω μέρος του  αβαρές ελατήριο σταθεράς  Κ= 75 Ν/m και φυσικού μήκους  lo=0,5 m αφήνεται ελεύθερο  από ύψος Η=1,5m   πάνω από το έδαφος. Το πάνω μέρος του σώματος είναι δεμένο με αβαρές  μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους  που είναι τυλιγμένο σε μία τροχαλία μάζας Μ= 8Kg.

Στο κάτω μέρος του ελατηρίου υπάρχει καρφί που μόλις έρθει σε επαφή με το έδαφος στερεώνει το ελατήριο στο έδαφος  και το διατηρεί κατακόρυφο χωρίς απώλειες ενέργειας. Tην στιγμή που το ελατήριο κολλάει στο έδαφος το νήμα κόβεται.

Α)  Να βρεθεί η μέγιστη κινητική ενέργεια της τροχαλίας

B)  Να βρεθεί η μέγιστη  κινητική ενέργεια του σώματος m.

Γ)  Nα γραφεί η εξίσωση απομάκρυνσης του σώματος από την θέση ισορροπίας θεωρώντας θετική φορά προς τα πάνω.

Δ)  Να βρεθεί η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου.

Δίνεται για την τροχαλία το Ιcm=0.5M.R².Δίνεται το g=10m/sec².

Aπάντηση:

ΚΥΛΙΣΗ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΤΦΟΡΜΑΣ Η ΟΠΟΙΑ ΚΙΝΕΙΤΑΙ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ

Στην πλατφόρμα ενός τραίνου που κινείται με σταθερή ταχύτητα u_τ προς τα δεξιά, ηρεμεί κυλινδρικό σώμα ακτίνας r=40cm. Τη χρονική στιγμή t=0, ο κύλινδρος αρχίζει να κυλάει προς τα πίσω χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α_γων., όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Αν ο συνολικός χρόνος κίνησης του κυλίνδρου, μέχρι να εγκαταλείψει τη πλατφόρμα, είναι t₁=40s και η συνολική γωνία που διαγράφει φ=50rad, να υπολογιστούν ως προς ακίνητο παρατηρητή που βρίσκεται πάνω στο τραίνο:

α) το μήκος της πλατφόρμας του τραίνου

β) η γωνιακή επιτάχυνση και η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου

γ) η γωνιακή ταχύτητα και η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου τη στιγμή που εγκαταλείπει τη πλατφόρμα

δ) ο αριθμός των περιστροφών του κυλίνδρου, ως τη στιγμή που εγκαταλείπει την πλατφόρμα

Aν η απόσταση που έχει διανύσει το τρένο, μέχρι να πέσει ο κύλινδρος από την πλατφόρμα, είναι x₁=30m

ε) να υπολογιστεί η ταχύτητα με την οποία κινείται το τρένο

στ) να σχεδιαστούν οι γραφικές: ω=f(t), α_γων.=f(t) και θ=f(t), μέχρι τι στιγμή που το κυλινδρικό σώμα εγκαταλείπει την πλατφόρμα.

Απάντηση:

ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ - ΤΟ ΚΥΚΛΟΕΙΔΕΣ ΚΑΙ Η Α.Τ

Ομογενής και συμπαγής τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε ακίνητο οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα υcm.
α. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που συνδέει το σημείο επαφής Α του τροχού με το επίπεδο κύλισης και ένα τυχαίο σημείο Σ της περιφέρειας του κυλιόμενου τροχού (και όχι μόνο της περιφέρειας) είναι κάθετη στην ολική ταχύτητα αυτού του σημείου.
β. Να υπολογίσετε την έκφραση του μέτρου της ολικής ταχύτητας του σημείου Α της περιφέρειας του τροχού που τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται σε επαφή με το οριζόντιο επίπεδο κύλισης σε συνάρτηση με το χρόνο.
γ. Να υπολογίσετε το μήκος της κυκλοειδούς τροχιάς που διαγράφει το σημείο επαφής του τροχού Α με το επίπεδο κύλισης σε χρόνο μιας περιόδου.
ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Πυκνωτής - πηνίο μαζί και χωριστά

Τα κυκλώματα (α) και (β) του σχήματος, βρίσκονται σε μόνιμη κατάσταση και στο κύκλωμα (γ) πραγματοποιούνται αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις με στιγμιαία τιμή του φορτίου στον αρχικά θετικά φορτισμένο οπλισμό του πυκνωτή q = Qσυνωt.
Η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου στο κύκλωμα (α) είναι UBα=0,08j ,ενώ η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή στο κύκλωμα (β) είναι UEβ= 0,72 j. Το πηνίο είναι ιδανικό, και στο κύκλωμα (α), διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα έντασης Ια= 4 Α.
Οι ηλεκτρικές πηγές είναι πανομοιότυπες, χωρίς εσωτερική αντίσταση.
Η αρχική τάση του πυκνωτή στο κύκλωμα (γ) είναι ίση με την ΗΕΔ Ε της πηγής του κυκλώματος (β).
Α. Να υπολογίστε για το κύκλωμα (γ):
1. Την περίοδο των ηλεκτρικών ταλαντώσεων.
2. Τη μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει το πηνίο.
3. Πόσες φορές εκφορτίζεται πλήρως ο πυκνωτής σε χρόνο 2π s.
Β. Στο κύκλωμα (γ) , κάποια χρονική στιγμή t1 το φορτίο του πυκνωτή είναι q1 ,και η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου είναι ­U1 = Εολ/4, ενώ κάποια άλλη χρονική στιγμή t2 το φορτίο του πυκνωτή είναι q2 , και η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου είναι ­U2 = Εολ/9 όπου Εολ, η ολική ενέργεια του κυκλώματος.
Nα υπολογίσετε :
1. Την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου UB κατά τις χρονικές στιγμές που το φορτίο του πυκνωτή θα είναι q = q1+q2.
2. Την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος την χρονική στιγμή t1.
3. Τον ρυθμό που ελαττώνεται η ενέργεια του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t1 αν κατά την ίδια χρονική στιγμή αυξάνεται η ενέργεια του πηνίου.
Δίνεται R = 15 Ω

Απάντηση