Ταλάντωση και σπάσιμο νήματος

Το σώμα Σ₁ μάζας m₁ =1kg του σχήματος είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς k=100N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο.  Κρατάμε το σώμα Σ₂ ,μάζας m₂ =1kg έτσι ώστε το νήμα να είναι τεντωμένο με μηδενική τάση, και το  ελατήριο να είναι στη θέση φυσικού μήκους.  Το σώμα Σ₁ είναι δεμένο με νήμα μη εκτατό  και  όριο θραύσης F_θ  =13Ν.  Το νήμα έχει  τυλιχτεί αρκετές φορές γύρω από την τροχαλία ώστε να μην ολισθαίνει . Η τροχαλία έχει μάζα  m₃ =1kg  και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές.   Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι  Ι_cm= ½ m₃R^2. Τη χρονική στιγμή t_o=0  αφήνουμε το σύστημα να κινηθεί . Κάποια στιγμή t₁ το  νήμα σπάει .

1. Δείξτε ότι τα σώματα Σ₁ και Σ₂ θα κάνουν απλή αρμονική ταλάντωση (α.α.τ.) μέχρι να σπάσει το νήμα και υπολογίστε το πλάτος και την περίοδό τους.

2. Ποιά η χρονική στιγμή t₁  που σπάει το νήμα και ποιο τμήμα του;

3. Πόση είναι η τάση του νήματος που απομένει  λίγο πριν και αμέσως μετά το σπάσιμο.

4. Σε ποια επιμήκυνση του ελατηρίου θα μηδενισθεί η ταχύτητα του Σ₁ για 1^η φορά;

5. Ποια η μέγιστη ταχύτητα του Σ₁ στην κίνησή του;  Δίνεται g=10m/s^2.

^{Απάντηση:}