Τετάρτη, 30 Αυγούστου 2017

Ταλαντώσεις με … σκαμνάκι.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε το σώμα Σ μάζας Μ = 10 kg, να βρίσκεται πάνω σε τραχύ δάπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ1 = 0,4. Το δεξιό του άκρο είναι συνδεδεμένο με ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο με σώμα Σ1 μάζας m1. Κάτω από το Σ1, βρίσκεται το σώμα Σ2 μάζας m2 και παρουσιάζει με το Σ1 τριβή με συντελεστή τριβής μ2 = 1. Μεταξύ Σ2 και δαπέδου δεν αναπτύσσεται τριβή. Αρχικά το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκους και κάποια χρονική στιγμή ασκούμε στο Σ1 σταθερή δύναμη F για μετατόπιση Δx. Μόλις το σύστημα των Σ1 και Σ2 σώμα αποκτήσει κατάλληλη ενέργεια ώστε κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του να υπάρχουν στιγμές που μόλις που δεν μετακινείται το σώμα μάζας Μ. Η ταλάντωση των Σ1, Σ2 είναι της μορφής x = Αημ(10t + π/6) στο S.I. Η σταθερά του ιδανικού ελατηρίου είναι k = 100 N/m και στα σώματα Σ1 και Σ2 μόλις που δεν υπάρχει σχετική κίνηση μεταξύ τους σε κάποια σημεία της ταλάντωσής τους. Ως στιγμή t0 = 0, λαμβάνουμε την στιγμή κατάργησης της δύναμης F. Να βρείτε:
α. την ενέργεια της ταλάντωσης του συστήματος
β. το μέτρο της δύναμης F
γ. τις σταθερές της ταλάντωσης D1, D2, των σωμάτων Σ1, Σ2.
δ. το μέτρο της στατικής τριβής που δέχεται το Σ2 την στιγμή που η κινητική ενέργεια του ταλαντούμενου συστήματος αποτελεί το 25% της ενέργειας της ταλάντωσής του.
Δίνεται g = 10 m/s2.

Κρούση μετά από ανάκλαση

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο μικρές σφαίρες με μάζες m1=0,2kg και m2=0,8kg αντίστοιχα στα σημεία Α και Β. Οι σφαίρες απέχουν από κατακόρυφο τοίχο αποστάσεις d1=(ΑΑ΄) =1,2m και d2 =(ΒΒ΄)=2m, ενώ (Α΄Β΄)=D=2,4m. Τη στιγμή t=0, η πρώτη σφαίρα δέχεται κατάλληλο κτύπημα αποκτώντας ταχύτητα υ0, με αποτέλεσμα, μετά την ελαστική κρούση της με τον τοίχο, να συγκρουσθεί τη στιγμή t1=2s με τη δεύτερη σφαίρα κεντρικά και ελαστικά.
i)  Σε ποιο σημείο του τοίχου έγινε η ανάκλαση της σφαίρας και ποιο το μέτρο της αρχικής ταχύτητας υ0;
ii) Να υπολογισθεί η μεταβολή της ορμής της σφαίρας κατά την κρούση της με τον τοίχο.
iii) Θα επιστρέψει ξανά η πρώτη σφαίρα στην αρχική της θέση Α και αν ναι, ποια χρονική στιγμή θα συμβεί αυτό;
Ο τοίχος είναι λείος και η διάρκεια των κρούσεων αμελητέα.
ή


Κυριακή, 27 Αυγούστου 2017

Μια επικείμενη ολίσθηση

Δυο σώματα Α και Β ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζουν συντελεστές τριβής μ=μs=0,4, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=260Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του.
Ένα τρίτο σώμα Γ, μάζας m=0,5kg κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Α, έχοντας τη στιγμή της κρούσης ταχύτητα u. Το σώμα Α, μάζας m1=1kg, αποκτά ταχύτητα υο=4m/s αμέσως μετά την κρούση.
i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα u του σώματος Γ, πριν την κρούση.
ii) Να υπολογιστούν οι ρυθμοί μεταβολής της ορμής και της κινητικής ενέργειας του σώματος Α, αμέσως μετά την κρούση.
Αν το σώμα Β ξεκινά την ολίσθησή του, μόλις το σώμα Α διανύσει απόσταση x=0,2m:
iii) Να υπολογιστεί η μάζα του σώματος Β.
iv) Να υπολογιστούν οι ρυθμοί μεταβολής της ορμής και της κινητικής ενέργειας των σωμάτων Α και Β, ελάχιστα πριν αρχίσει η ολίσθηση του Β σώματος.
Δίνεται g=10m/s2.
ή


Τετάρτη, 23 Αυγούστου 2017

Τέσσερες κρούσεις σε μια περίοδο

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα δύο όμοιων ελατηρίων, ηρεμούν δυο σώματα Α και Β, της ίδιας μάζας m=1kg, σε απόσταση 2m. Στο μέσον της απόστασής τους, την οποία θεωρούμε ως αρχή ενός άξονα x, τοποθετούμε ένα τρίτο σώμα Γ, της ίδιας μάζας, το οποίο εκτοξεύουμε στη διεύθυνση x με ταχύτητα υο=2m/s, όπως στο σχήμα τη στιγμή t0=0. Το σώμα Γ φτάνει στη θέση x=0, κινούμενο ξανά προς τα δεξιά με ταχύτητα υ1 τη στιγμή t΄=3s, αφού προηγουμένως έχει συγκρουσθεί κεντρικά και ελαστικά πρώτα με το Β και μετά με το Α σώμα.
i)  Να βρεθεί η ταχύτητα υ1, καθώς και η σταθερά k των ελατηρίων.
ii) Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης κάθε σώματος τις χρονικές στιγμές t1=0,25s, t2=0,6s, t3=2,3s και  t4=2,7s.
iii) Να γράψετε τις εξισώσεις x=f(t) για τις θέσεις κάθε σώματος (πάνω στον καθορισμένο άξονα x) σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t΄.
iv) Να παραστήσετε γραφικά τις παραπάνω εξισώσεις (συναρτήσεις) x=f(t).
ή


Παρασκευή, 18 Αυγούστου 2017

Ένα Β΄ θέμα για…εμπέδωση!

Μια μικρή σφαίρα μάζας m κινείται χωρίς τριβές σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται με ράβδο μήκους l και μάζας Μ=3m. Η σφαίρα προσπίπτει κάθετα στη ράβδο, κτυπώντας την στο σημείο Ρ, το οποίο απέχει κατά d=0,1l από το άκρο Α, όπως στο σχήμα, με ταχύτητα υ0. Μετά την κρούση η σφαίρα παραμένει ακίνητη στο σημείο κρούσης.
i) Για την ταχύτητα uΡ του σημείου Ρ, αμέσως μετά την κρούση ισχύει:
α) uΡ0,   β) uΡ = υ0,   γ) uΡ > υ0.
ii) Η παραπάνω κρούση είναι ή όχι ελαστική;
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ιcm=Μl2/12.
ή


Δευτέρα, 14 Αυγούστου 2017

Μια κρούση σφαίρας με ορθογώνια πλάκα

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο έχουμε καρφώσει μια ορθογώνια πλάκα κέντρου Κ και μάζας Μ=1,2kg. Μια μικρή σφαίρα μάζας m=0,4kg κινείται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, χωρίς τριβές, με ταχύτητα υ0=5m/s και συγκρούεται ελαστικά στο σημείο Α, με την μια πλευρά του ορθογωνίου. Η ταχύτητα αυτή σχηματίζει γωνία θ, όπου ημθ=0,6 με την κάθετη στην πλευρά, η οποία διέρχεται και από το κέντρο Κ της πλάκας, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Η κρούση διαρκεί απειροελάχιστα και στη διάρκειά της δεν αναπτύσσονται τριβές μεταξύ σφαίρας και πλάκας (λείες επιφάνειες).
i)  Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας μετά την κρούση και η γωνία φ που σχηματίζει αυτή με την κάθετη ΑΚ.
ii) Απελευθερώνουμε την πλάκα και επαναλαμβάνουμε το ίδιο ακριβώς πείραμα, αλλά τώρα η πλάκα μπορεί να κινηθεί μετά την κρούση.
α) Ποια η τελική ταχύτητα της σφαίρας και ποια η νέα γωνία φ1 που σχηματίζει με την ΑΚ;
β) Ποια η ταχύτητα της πλάκας μετά την κρούση;
iii) Σε μια επανάληψη του πειράματος η σφαίρα συγκρούεται με την πλάκα στο σημείο Β του σχήματος. Θα αλλάξει κάτι όσον αφορά τις κινήσεις των δύο σωμάτων μετά την κρούση;
ή


Κυριακή, 13 Αυγούστου 2017

Παίζοντας με ένα σώμα και ένα ελατήριο

Από ελατήριο σταθεράς k και φυσικού μήκους lo , κρεμάμε σώμα μάζας Μ και το αφήνουμε να ταλαντωθεί από τη θέση φυσικού μήκους(Φ.Μ.).
Κατόπιν κόβουμε το ελατήριο στη μέση και κρεμάμε το σώμα μάζας Μ  και το θέτουμε σε ταλάντωση από τη θέση φυσικού μήκους (Φ.Μ.’) lo /2 . Αφού αποδείξετε ότι  το σώμα θα κάνει Α.Α.Τ. σε κάθε περίπτωση, να υπολογίσετε:
  1. Το λόγο των περιόδων τους Τ′/Τ
  2. Το λόγο των πλατών τους Α′/Α
  3. Το λόγο των ενεργειών ταλάντωσής τους Ε′/Ε

Παρασκευή, 11 Αυγούστου 2017

Μια σφαίρα πάνω σε σανίδα


Μια λεπτή σανίδα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ στο μέσον της ηρεμεί μια ομογενής σφαίρα κέντρου Ο. Σε μια στιγμή ασκούμε στη σανίδα μια οριζόντια δύναμη F με αποτέλεσμα να επιταχυνθεί, προς τα δεξιά όπως στο  σχήμα, ενώ η σφαίρα κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει).
i) Η σφαίρα θα κινηθεί προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά;
ii) Η σφαίρα θα εγκαταλείψει τη σανίδα από το άκρο της Κ, από το άκρο Λ ή θα παραμείνει διαρκώς πάνω στη σανίδα;
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή



Τετάρτη, 9 Αυγούστου 2017

Ένα σύστημα, η ορμή και η ενέργεια


Μια λεπτή σανίδα AB, μήκους 4m και μάζας Μ=1kg, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Πάνω στη σανίδα και στο αριστερό άκρο της Α ηρεμεί ένα μικρό σώμα Σ, μάζας m=0,2kg. Κάποια στιγμή t0=0 το Σ δέχεται στιγμιαίο κτύπημα, με αποτέλεσμα να αποκτήσει αρχική ταχύτητα υ0=4m/s και να κινηθεί κατά μήκος της σανίδας.
Αν τη στιγμή t1=1s, το Σ έχει ταχύτητα υ1=2m/s, να βρεθούν τη χρονική αυτή στιγμή:
i) Η ταχύτητα της σανίδας.
ii) Οι ρυθμοί μεταβολής της ορμής, του σώματος Σ, της σανίδας και του συστήματος σώμα Σ-σανίδα.
iii) Η απόσταση του σώματος Σ από το άκρο Β της σανίδας.
iv) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ και της σανίδας, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας των τριβών.
Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα η σανίδα αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει τριβή με συντελεστές τριβής μs=μ=0,02. Ξανά για τη στιγμή t1=1s, να υπολογιστούν:
v) Οι ταχύτητες του Σ και της σανίδας.
vi) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ και της σανίδας, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας των τριβών.
Δίνεται g=10m/s2.

ή