Η ισορροπία και η κίνηση της στεφάνης

Γύρω από μια στεφάνη μάζας 2kg έχουμε τυλίξει ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα. Τοποθετούμε τη στεφάνη σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ=30° και ασκώντας στο άκρο Α του νήματος δύναμη F, παράλληλη στο επίπεδο, η στεφάνη ισορροπεί.

i) Να αποδείξετε ότι το επίπεδο δεν είναι λείο και να υπολογίσετε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F.

ii) Κάποια στιγμή t₀=0, μεταβάλλουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₁=4Ν, οπότε έχουμε την κίνηση της στεφάνης. Αν οι συντελεστές τριβής μεταξύ στεφάνης και επιπέδου είναι μ=μ_s=√3/2, να αποδείξτε ότι η ασκούμενη τριβή είναι  στατική, υπολογίζοντας το μέτρο της.

iii) Να υπολογιστούν τη χρονική στιγμή t₁=4s:

  α) η ταχύτητα του κέντρου μάζας Ο της στεφάνης, καθώς και η κινητικής της ενέργεια.

  β) Η ισχύς κάθε δύναμης που ασκείται στη στεφάνη.

γ) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της στεφάνης.

iv) Να υπολογιστούν τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται στη στεφάνη από 0-t₁.

Δίνονται ότι: Η μάζα της στεφάνης θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρειά της, ενώ g=10m/s² και ημ30°= ½, συνθ=√3/2.

Απάντηση:

 ή

  Η ισορροπία και η κίνηση της στεφάνης

Η ισορροπία και η κίνηση της στεφάνης

Ο δακτύλιος και η ράβδος σαν στερεό

Έχουμε κατασκευάσει ένα στερεό s με συγκόλληση ενός δακτυλίου μάζας m και ακτίνας R και μιας ομογενούς ράβδου ΑΒ μήκους l=2R και μάζας Μ=3m, όπως στο διπλανό σχήμα. Το στερεό s, μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το σημείο Ο, αντιδιαμετρικό του σημείου Α που έχει συγκολληθεί η ράβδος. Το στερεό συγκρατείται σε τέτοια θέση που η ράβδος να είναι οριζόντια.

i) Η ροπή αδράνειας του στερεού s ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο έχει τιμή:

α) Ι_Α= 20mR²,   β) Ι_Α= 25mR²,    γ) Ι_Α= 30mR²,   δ) Ι_Α= 35mR².

ii) Αφήνουμε το στερεό να κινηθεί σε κατακόρυφο επίπεδο. Η αρχική επιτάχυνση του άκρου Β της ράβδου έχει μέτρο:

α)  α_Β < g,   β) α_Β = g,    γ) α_Β > g.

iii) Η μέγιστη κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει κατά την παραπάνω κίνηση ο δακτύλιος είναι:

α) Κ_max < mgR,    β) Κ_max = mgR,    γ)  Κ_max > mgR.

Δίνεται ότι ο μάζα του δακτυλίου θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του, ενώ η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το ένα της άκρο Ι_Β= ml²/3.

Απάντηση:

ή

    Ο δακτύλιος και η ράβδος σαν στερεό

Ο δακτύλιος και η ράβδος σαν στερεό

Η προσγείωση

Κατά την προσγείωση ενός αεροπλάνου οι τέσσερις όμοιοι οπίσθιοι τροχοί του έρχονται σε επαφή με το διάδρομο προσγείωσης τη χρονική στιγμή t0=0 χωρίς να περιστρέφονται. Στο διάδρομο προσγείωσης ο κάθε τροχός αποτυπώνει ένα ευθύγραμμο ίχνος μήκους s που οφείλεται στην φθορά του ελαστικού (κάψιμο) λόγω της ολίσθησης του τροχού μέχρι τη χρονική στιγμή t1 που αρχίζει να κυλίεται.
Η προσγείωση

Ο τροχός σε λείο κεκλιμένο επίπεδο

Ένας τροχός, η μάζα του οποίου θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του, αφήνεται σε λείο κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, ενώ πάνω του ασκείται ένα ζεύγος δυνάμεων με ροπή, όπως στο σχήμα και μέτρου τ=mgR∙ημθ, όπου m η μάζα και R η ακτίνα του τροχού.

i) Υποστηρίζεται ότι ο τροχός θα κυλίσει (χωρίς να ολισθήσει) προς τα κάτω. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε με την θέση αυτή;

ii) Τη στιγμή που ο τροχός έχει κατέλθει κατακόρυφα κατά h, η κινητική του ενέργεια είναι ίση:

α) Κ=mgh,   β) Κ=2mgh,   γ) Κ=3mgh.

Απάντηση:

ή

    Ο τροχός σε λείο κεκλιμένο επίπεδο

Ο τροχός σε λείο κεκλιμένο επίπεδο

Ο τροχός και η ροπή ζεύγους

Ένας τροχός ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή, μέσω ενός ζεύγους δυνάμεων, δέχεται σταθερή οριζόντια ροπή όπως στο σχήμα.

i) Αν το επίπεδο είναι λείο να περιγράψετε την κίνηση που θα πραγματοποιήσει ο τροχός.

ii) Αν το επίπεδο δεν είναι λείο, τότε ο τροχός:

   α) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το μέσον του Ο.

   β) Θα κινηθεί προς τα δεξιά, εκτελώντας σύνθετη κίνηση.

iii) Αν ο τροχός, με την επίδραση της παραπάνω ροπής κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει), τότε η κινητική του ενέργεια, μόλις ολοκληρώσει 3 περιστροφές θα είναι ίση:

α) Κ< 6πτ,    β) Κ=6πτ,    γ) Κ >6πτ.

Να δικαιολογήσετε αναλυτικά τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

   
  Ο τροχός και η ροπή ζεύγους

Ο τροχός και η ροπή ζεύγους

Κρούση βλήματος με δίσκο

1. Σε δίσκο μάζας Μ και ακτίνας R προσκολλάμε σε σημείο της περιφέρειάς του σημειακή μάζα m.

Α. Θέλουμε να στηρίξουμε το σύστημα που προκύπτει σε κατακόρυφο στήριγμα, (σχήμα 1) που είναι καρφωμένο στο έδαφος για να ισορροπήσει. Επιβεβαιώστε ή όχι τις ακόλουθες προτάσεις.

i) Το στήριγμα θα τοποθετηθεί στο κέντρο Ο του δίσκου και το σύστημα θα ισορροπήσει.

ii) Το στήριγμα θα τοποθετηθεί σε σημείο Α της ευθείας που βρίσκεται μεταξύ του κέντρου Ο του δίσκου και της σημειακής μάζας m για να ισορροπήσει το σύστημα.

iii) Το στήριγμα θα τοποθετηθεί σε σημείο Α που δεν βρίσκεται μεταξύ του κέντρου Ο του δίσκου και της σημειακής μάζας m για να ισορροπήσει το σύστημα.

iv) Η θέση που θα τοποθετηθεί το στήριγμα συμπίπτει με το κέντρο μάζας του συστήματος δίσκου–μάζα m.

v) Το κέντρο μάζας του συστήματος βρίσκεται σε τυχαίο σημείο στο δίσκο.

Συνέχεια

Δύο ράβδοι, διαφορετικοί άξονες περιστροφής.

Δυο όμοιες ομογενείς ράβδοι (1) και (2) μήκους l, μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα, διαγράφοντας οριζόντιο επίπεδο. Ο άξονας z₁ περιστροφής της πρώτης, διέρχεται από το μέσον Κ της ράβδου, ενώ ο αντίστοιχος άξονας z₂ της δεύτερης, περνά από το σημείο Ο, όπου (ΔΟ)= ¼ l. Σε μια στιγμή ασκούνται  στην πρώτη ράβδο, δυο οριζόντιες, σταθερού μέτρου δυνάμεις F₁=F₂=F, διαρκώς κάθετες στη ράβδο, η μια στο άκρο Α και η δεύτερη στο μέσον Ε της (ΚΑ). Την ίδια στιγμή στη δεύτερη ράβδο ασκούνται ίδιες δυνάμεις στα σημεία Η και Ζ, όπου (ΗΖ)= ¼ l.

i)  Για τα χρονικά διαστήματα, t₁ και t₂,  που θα απαιτηθούν για να ολοκληρωθεί η πρώτη περιστροφή των δύο ράβδων, ισχύει:

α) t₁ < t₂,    β) t₁ = t₂,    γ)  t₁ > t₂.

ii) Αν L₁ το μέτρο της στροφορμής της πρώτης ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της z₁ και L₂ η αντίστοιχη στροφορμή της δεύτερης ως προς τον άξονα z₂, τις στιγμές t₁ και t₂, ισχύει:

α) L₁ < L₂,    β) L₁ = L₂,    γ)  L₁ > L₂.

iii) Τις στιγμές t₁ και t₂, που οι δυο ράβδοι έχουν ολοκληρώσει μια περιστροφή, έχουν κινητικές ενέργειες Κ₁ και Κ₂.  Για τις ενέργειες αυτές ισχύει:

α)   Κ₁ < Κ₂,   β)   Κ₁=Κ₂,    γ)   Κ₁ > Κ₂.

iv) Ο άξονας περιστροφής ασκεί οριζόντια δύναμη:

α) Μόνο στην (1) ράβδο,   β) Μόνο στην (2) ράβδο,   γ) και στις δύο ράβδους,   δ) σε καμιά ράβδο.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Δύο ράβδοι, διαφορετικοί άξονες περιστροφής.

Δύο ράβδοι, διαφορετικοί άξονες περιστροφής.

Ένα ζεύγος δυνάμεων και το έργο του.

Μια λεπτή οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l=2m ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή (t₀=0) στη ράβδο ασκούνται  δύο αντιπαράλληλες δυνάμεις, με σταθερά μέτρα F₁=F₂=5Ν, οι οποίες σχηματίζουν διαρκώς με τον άξονα της ράβδου γωνία θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8. Η F₁ ασκείται στο άκρο Α και η F₂ στο μέσον της Κ της ράβδου.

i) Πόση κινητική ενέργεια έχει η ράβδος τη στιγμή t₁ που έχει περιστραφεί κατά γωνία φ=12rad;

ii) Πόσο είναι το έργο κάθε δύναμης μέχρι τη στιγμή t₁;

iii) Αν η ράβδος έχει μήκος l=2m και μάζα 6kg, να υπολογιστούν:

 α) Οι αρχικές επιταχύνσεις των σημείων εφαρμογής Α και Κ των δύο δυνάμεων.

 β) Η χρονική στιγμή t₁.

 γ) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου τη στιγμή t₁.

 δ) Το μέτρο της ταχύτητας του άκρου Α, καθώς και η στιγμιαία ισχύς της δύναμης F₁, την παραπάνω στιγμή;

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της  Ι=(1/12)ml².

Απάντηση:

ή

Ένα ζεύγος δυνάμεων και το έργο του.

Ένα ζεύγος δυνάμεων και το έργο του.

Μια κρούση στερεού. Β΄ Θέμα.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί σε κατακόρυφη θέση μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ. Μια μικρή σφαίρα κινείται προς τη ράβδο και συγκρούεται ελαστικά  με αυτήν έχοντας τη στιγμή της κρούσης οριζόντια ταχύτητα υ (σχήμα (1)) . Η σφαίρα προσπίπτει στο σημείο Μ της ράβδου, χαμηλότερα του μέσου της Κ.

i)  Το μέσον Κ της ράβδου, μετά την κρούση, θα αποκτήσει ταχύτητα προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά;

ii)  Αν μετά από λίγο η ράβδος γίνεται οριζόντια για πρώτη φορά, ποια από τις παρακάτω εικόνες (α, β, γ, δ), δείχνει τη θέση στην οποία μπορεί να βρίσκεται;

iii) Αν η ράβδος δεν ήταν ομογενής αλλά το κέντρο μάζας της ήταν το σημείο Μ, να περιγράψετε την κίνησή της μετά την κρούση.

iv) Αν η ταχύτητα υ της σφαίρας πριν την κρούση δεν ήταν οριζόντια, αλλά πλάγια (σχήμα (2)), τι θα άλλαζε στις παραπάνω απαντήσεις σας;

Απάντηση:

ή

Μια κρούση στερεού. Β΄ Θέμα.

Μια κρούση στερεού. Β΄ Θέμα.

Επαναληπτικό διαγωνισμα

Ένα επαναληπτικό διαγώνισμα αφιερωμένο σε  όλα τα παιδιά που θέτουν στόχους και παλεύουν για να τους πετύχουν!

Οι εκφωνήσεις

Οι απαντήσεις

Η κίνηση της ράβδου στο άκρο νήματος

Η ομογενής ράβδος ΑΒ, μάζας m και μήκους l, κρατείται στη θέση (1) του διπλανού σχήματος, με το άκρο της Α δεμένο στο άκρο (τεντωμένου) αβαρούς και μη εκτατού νήματος, του ίδιου μήκους l, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή αφήνουμε τη ράβδο να κινηθεί σε κατακόρυφο επίπεδο και μετά από λίγο περνά από τη θέση (2) όπου ο άξονας της ράβδου είναι συνέχεια του νήματος σχηματίζοντας γωνία θ με την κατακόρυφο.
Στη θέση αυτή το μέσον Κ της ράβδου έχει ταχύτητα μέτρου υ και το άκρο Α ταχύτητα μέτρου υ_Α=0,4υ. Για τη θέση (2):

i) Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα τις παραπάνω ταχύτητες των σημείων Α και Κ και να δικαιολογήσετε τις κατευθύνσεις τους.

ii) Η κινητική ενέργεια της ράβδου υπολογίζεται από την εξίσωση:

α) Κ=0,5mυ²,    β) Κ=0,56mυ²,    γ) Κ=1,86mυ²,    δ) Κ=3,36mυ².

iii) Το μέτρο της στροφορμής της ράβδου, ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το μέσον της Κ (η ιδιοστροφορμή της) δίνεται από την εξίσωση:

α) L_Κ=0,1mυl,   β)  L_Κ=0,4mυl,   γ) L_Κ=mυl,   δ) L_Κ=1,6mυl.

iv) Το μέτρο της στροφορμής της ράβδου, ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο Ο του νήματος, δίνεται από την εξίσωση:

α) Lο=mυl,    β) Lο=1,5mυl,    γ) Lο=1,6mυl,    δ) Lο=1,8mυl.

v) Αν για τη γωνία που σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφο δίνεται ότι ημθ=0,6 και συνθ=0,8, τότε:

   Va) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το μέσον της Κ είναι:

α) dL_κ/dt=0,   β) dL_κ/dt=0,6mgl,   γ) dL_κ/dt=0,9mgl,    δ) dL_κ/dt=1,2mgl.

 Vb) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο Ο του νήματος είναι:

α) dLο/dt=0,   β) dLο/dt=0,6mgl,   γ) dLο/dt=0,9mgl,    δ) dLο/dt=1,2mgl.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=(1/12)ml².

Απάντηση:

ή

Η κίνηση της ράβδου στο άκρο νήματος

Η κίνηση της ράβδου στο άκρο νήματος