Αν κρεμάσουμε και μια πλάκα;

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=0,5kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, έχοντάς το επιμηκύνει κατά 10cm. Δένουμε τη σφαίρα με μια πλάκα, μάζας Μ=1,5kg, μέσω αβαρούς νήματος και την συγκρατούμε σε τέτοια θέση, ώστε το νήμα να είναι κατακόρυφο και τεντωμένο, χωρίς να προκαλείται μετακίνηση της σφαίρας. Στη θέση αυτή, η πλάκα απέχει κατά d=0,45m από το έδαφος, όπως στο διπλανό σχήμα.

Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερη την πλάκα, η οποία μετά από λίγο φτάνει στο έδαφος όπου και προσκολλάται, ενώ αμέσως κόβουμε και το νήμα. Να υπολογιστούν:

i) Η αρχική επιτάχυνση της σφαίρας, καθώς και η επιτάχυνσή της:

α) ελάχιστα πριν και

β) ελάχιστα μετά

την κρούση της πλάκας.

ii) Η μέγιστη ταχύτητα της πλάκας.

iii) Η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική, κατά την κρούση της πλάκας με το έδαφος.

iv) Πόση είναι η ενέργεια ταλάντωσης της σφαίρας, μετά και την αφαίρεση του νήματος;

Απάντηση:

ή

Αν κρεμάσουμε και μια πλάκα;

Με ένα και δύο ελατήρια.

Σώμα Σ₁ μάζας m₁ = 0,8 kg, είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς k₁ = 25 N/m, το άλλο  άκρου του οποίου είναι δεμένο σε ακλόνητο τοίχο. Πάνω στο Σ₁ έχουμε τοποθετήσει σώμα Σ₂, μάζας m₂ = 0,2 kg. Δεξιά του Σ₁ βρίσκεται ελατήριο σταθεράς k₂ = 75 N/m, του οποίου το άλλο άκρο του είναι δεμένο με νήμα ώστε το ελατήριο να είναι συσπειρωμένο κατά d = 0,1 m, όπως στο διπλανό σχήμα. Όταν το σύστημα όλων αυτών ηρεμεί το δεξί άκρο του ελατηρίου σταθεράς k₂ απέχει από τον τοίχο απόσταση d₁ = 0,5 m. Θέτουμε σε ταλάντωση το σύστημα συμπιέζοντας το ελατήριο σταθεράς k₁ σε πλάτος Α₁ = 0,5 m. Ως στιγμή t₀ = 0 θεωρούμε την στιγμή που το ταλαντούμενο σύστημα βρίσκεται στην αριστερή ακραία θέση.

α. Ποιες οι σταθερές επαναφοράς των δύο σωμάτων και ποια η ενέργεια της ταλάντωσης;

β. να βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ των σωμάτων Σ₁, Σ₂ ώστε να ταλαντώνονται χωρίς να υπάρχει σχετική κίνηση μεταξύ τους (το δάπεδο είναι λείο).

Κάποια στιγμή που το σώμα βρίσκεται στην δεξιά ακραία θέση κόβουμε το νήμα και το σύστημα ταλαντώνεται τώρα με την επίδραση των δύο ελατηρίων (θεωρούμε ότι με το κόψιμο του νήματος το ελατήριο σταθεράς k₂ καρφώνεται στον τοίχο, χωρίς απώλειες ενέργειας).

γ. Ποιες οι χρονικές στιγμές που μπορεί να έγινε το κόψιμο του νήματος;

δ. θα συνεχίσουν τα σώματα να ταλαντώνονται ως ένα σώμα μετά το κόψιμο του νήματος ή θα έχουμε σχετική κίνηση μεταξύ τους (θεωρούμε ότι ο συντελεστής στατικής είναι ό ελάχιστος που υπολογίσαμε στο ερώτημα β);

Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία αυτή την φορά έχοντας κολλημένα τα σώματα Σ₁ και Σ₂

ε. Ποια η ενέργεια της νέας ταλάντωσης; Που οφείλεται η διαφορά αφού δεν είχαμε κάποια απώλεια;

Δίνεται: για τις πράξεις σας θεωρήστε g = 10 m/s², και θετική την φορά προς τα δεξιά.

Θεωρείστε γνωστό ότι για την ταλάντωση σώματος με δύο ελατήρια ισχύει D = k₁ + k₂.

 

Που πήγε η ενέργεια ταλάντωσης; Ψάξε ψάξε μα δε θα τη βρεις…

Tο παρακάτω σύστημα περιέχει:

-Δύο  στερεωμένες κατακόρυφες μεταλλικές αμελητέου πάχους και αντίστασης που απέχουν μεταξύ τους απόσταση l=50cm  που μπορούν να συμπεριφέρονται σαν ιδανικός πυκνωτής.

-Eνα φορτισμένο σημειακό σώμα φορτίου Q =10mC και μάζας m=10g  που ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο από ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=100N/m η άλλη άκρη του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένη.

-Ιδανική μπαταρία  συνεχούς τάσης V=100 και δύο ανοιχτούς  διακόπτες Δ.

 

ΑΠΑΝΤΗΣΗ σε  doc    &  AΠΑΝΤΗΣΗ σε pdf

Bελτιωμένη άσκηση με τη  βοήθεια του Βασίλη Δουκατζή με βάση τις υποδείξεις του Μήτσου Γκενέ

 σε doc     &     σε pdf

Το πλάτος και η περίοδος με μια αλλαγή.

Στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, ηρεμεί ένα σώμα Σ μάζας m. Όταν κρεμάσουμε κάτω από το σώμα Σ, ένα δεύτερο σώμα Σ₁, μάζας Μ=2m και αφεθεί το σύστημα ελεύθερο, εκτελεί ΑΑΤ πλάτους Α και περιόδου Τ.

Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα στο κάτω άκρο του ελατηρίου έχει δεθεί το σώμα Σ₁ το οποίο ηρεμεί, κάτω από το οποίο κρεμάμε το σώμα Σ. Αφήνουμε το σύστημα ξανά να ταλαντωθεί.

i)  Το νέο πλάτος ταλάντωσης είναι:

α) Α/2       β) Α,        γ) 2Α.

ii) Η νέα περίοδος ταλάντωσης είναι:

  α) Τ/2          β) Τ,          γ) 2Τ.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Το πλάτος και η περίοδος με μια αλλαγή.

Hot wheels

Τα δύο ελατήρια έχουν σταθερές k₁ = 100 N/m και k₂ όπως στο σχήμα. Στο μέσο της απόστασης τους υπάρχει λεία κυκλική τροχιά ακτίνας R = 0,08 m. Από ένα σημείο του οριζοντίου επιπέδου εκτοξεύουμε το  αυτοκινητάκι (που το θεωρούμε σημειακό αντικείμενο) μάζας m = 1 kg και αυτό μόλις που διαγράφει την κυκλική τροχιά. Στην κάθοδο του στα λεία οριζόντια δάπεδα συναντά εναλλάξ τα ελατήρια τα οποία συμπιέζει χωρίς να δένεται σε αυτά. Οι παραμορφώσεις των ελατηρίων διαφέρουν κατά d = 0,2 m (Δℓ₁ < Δℓ₂ όπου Δℓ₁ και Δℓ₂ οι μέγιστες παραμορφώσεις των ελατηρίων σταθεράς k₁ και k₂ αντίστοιχα κατά την διάρκεια της επαφής με το αυτοκινητάκι). 

α. Ποιο το μέτρο της ταχύτητας εκτόξευσης υ₀;

β. Ποιο το μέτρο της μέγιστης δύναμης που ασκεί το ελατήριο σταθεράς k₂

γ. Αλλάζουμε το ελατήριο σταθεράς k₁, (κάποια στιγμή που το αυτοκινητάκι δεν βρίσκεται σε επαφή με αυτό) με ένα άλλο σταθεράς k₃ και παρατηρούμε ότι το μήκος της τροχιάς, της νέας του περιοδικής κίνησης, σε κάθε περίοδο, παραμένει το ίδιο. Η μέγιστη δύναμη που ασκείται από το ελατήριο σταθεράς k₃ είναι ίση κατά μέτρο με την μέγιστη δύναμη που δέχεται το αυτοκινητάκι από την κυκλική τροχιά. Ποια η σταθερά k₃ του ελατηρίου;
Για τις πράξεις σας να θεωρήσετε g = 10 m/s².

Δυο ΑΑΤ και μία Ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ=30°, δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k₁=40Ν/m, ενώ εφάπτεται στο ελεύθερο άκρο ενός δεύτερου ελατηρίου σταθεράς k₂=120Ν/m (χωρίς να έχει δεθεί), το οποίο έχει το φυσικό μήκος του, όπως στο διπλανό σχήμα.

Εκτρέπουμε το σώμα, παράλληλα στο επίπεδο, προς τα πάνω κατά 0,4m και τη στιγμή t=0 αφήνεται να κινηθεί.

i) Να αποδειχθεί ότι το σώμα θα εκτελέσει μια ταλάντωση, αποτελούμενη από τμήματα δυο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, της οποίας να υπολογιστεί η περίοδος.

ii) Να βρεθεί η εξίσωσης της απομάκρυνσης x=f(t) από την αρχική θέση ισορροπίας του και να γίνει η γραφική της παράσταση, σε βαθμολογημένους άξονες, μέχρι να ολοκληρωθεί μια ταλάντωση, παίρνοντας την αρχική απομάκρυνση ως θετική.

iii) Για τη στιγμή που το σώμα έχει διανύσει διάστημα s=0,5m, να υπολογιστούν:

α) Η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και

 β) Ο ρυθμός μεταβολής της.

Δίνονται g=10m/s² και π²≈10.

Απάντηση:

Δύο ΑΑΤ και μια ταλάντωση.

Κατακόρυφα ελατήρια - ταλάντωση - γραφικές παραστάσεις

Σώμα αμελητέων διαστάσεων και μάζας m=1Kg, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δεμένο στα άκρα ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k1 =300N/m και k2-100N/m, όπως στ

ο σχήμα. Η απόσταση
των φυσικών μηκών των ελατηρίων είναι d=0,3m.
1. Να αποδείξετε ότι το σύστημα θα εκτελέσει α. α. τ. αν εκτραπεί κατακόρυφα από τη θέση ισορροπίας του.
2. Αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι ίσο με A= 0,2m να δώσετε τις γραφικές παραστάσεις των δυνάμεων των ελατηρίων και των δυναμικών ενεργειών των ελατηρίων σε συνάρτηση με την απομάκρυνση της ταλάντωσης θεωρώντας θετική φορά ομόρροπη του βάρους.
3. Αν τη χρονική στιγμή t= 0 το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του και η ταχύτητά του είναι ομόρροπη του βάρους, να δώσετε τις γραφικές παραστάσεις της δύναμης επαναφοράς και των δυνάμεων των ελατηρίων σε συνάρτηση με το χρόνο t, για χρονική διάρκεια μιας περιόδου. Να βρείτε τα χρονικά διαστήματα που τα ελατήρια είναι συμπιεσμένα, κατά τη διάρκεια της πρώτης περιόδου της ταλάντωσης.
Οι γραφικές παραστάσεις να γίνουν θεωρώντας θετική φορά ομόρροπη του βάρους.
Δίνεται g = 10 m/s^2.

κατακορυφαελατηρια.pdf

ΔΑΧΤΥΛΙΔΙ ΜΕ ΑΚΙΔΑ

Λεπτό δαχτυλίδι μάζας Μ = 100 g και ακτίνας R = 10 cm κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο  λείο επίπεδο. Το λεπτό δαχτυλίδι φέρει μικρή προεξοχή σε σχήμα ακίδας αμελητέας μάζας. Από κάποιο ύψος Η = 84 cm από το έδαφος αφήνουμε ελεύθερο σημειακό σώμα μάζας m = 100 g και ενώ πέφτει συναντά την ακίδα (και καρφώνεται πάνω της) όταν αυτή βρίσκεται σε ύψος h = 4 cm από το δάπεδο. Η σύγκρουση των δύο σωμάτων είναι τέλεια πλαστική και ακαριαία και το σύστημα ακινητοποιείται στιγμιαία στροφικά. Να βρεθούν:

α. Η κινητική ενέργεια του δαχτυλιδιού πριν την κρούση με το σημειακό σώμα.

AΠΑΝΤΗΣΗ  σε doc   σε pdf

Κύλιση με ολίσθηση

Ο δακτύλιος του σχήματος ακτίνας r=0,1m έχει όλη τη μάζα του συγκεντρωμένη στην περιφέρεια του και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο τραχύ οριζόντιο επίπεδο του σχήματος. Τη χρονική στιγμή t=0 φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ με το κέντρο μάζας του να έχει ταχύτητα υ_cm=7m/s και στη συνέχεια ανέρχεται το κεκλιμένο.

Για συνέχεια εδώ

Κατακόρυφο ελατηριο - ταλάντωση - γραφικές παραστάσεις

Σώμα αμελητέων διαστάσεων και μάζας m = 4Kg , εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δ

εμένο στο κάτω άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100N/m , όπως στο σχήμα.

1. Να αποδείξετε ότι το σύστημα, αν εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας του, θα εκτελέσει
 α. α. τ. θεωρώντας θετική φορά:

            α) ομόρροπη της απομάκρυνσης.

            β) αντίρροπη της απομάκρυνσης.

2. Αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι ίσο με  A = 0,8m να δώσετε τις  γραφικές παραστάσεις της δύναμης επαναφοράς, της δύναμης του ελατηρίου, της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης και της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου σε συνάρτηση με την απομάκρυνση της ταλάντωσης και την παραμόρφωση του ελατηρίου (οχτώ γραφικές παραστάσεις) θεωρώντας θετική φορά:

            α) ομόρροπη του βάρους.

            β) αντίρροπη του βάρους.

3. Αν τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του και η ταχύτητά του είναι ομόρροπη του βάρους, να δώσετε τις γραφικές παραστάσεις της δύναμης επαναφοράς και της δύναμης του ελατηρίου, σε συνάρτηση με το χρόνο t, για χρονική διάρκεια μιας περιόδου.  Να σημειώσετε στις γραφικές παραστάσεις τα χρονικά διαστήματα που το ελατήριο είναι συμπιεσμένο, κατά τη διάρκεια της πρώτης περιόδου της ταλάντωσης.

Οι γραφικές παραστάσεις να γίνουν θεωρώντας θετική φορά:

            α) ομόρροπη του βάρους.

            β) αντίρροπη του βάρους.

κατακορυφοελατηριο.pdf

Ισχύει ή όχι η ΑΔΟ και η ΑΔΣ;

 Λεπτό δαχτυλίδι μάζας Μ = 1 kg  και ακτίνας R = 0,2 m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο  λείο δάπεδο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω_ο = 10 rad/s.Mε τη βοήθεια αβαρούς ακτίνας  R συγκρατείται στο κέντρο του δαχτυλιδιού δεύτερο σημειακό σώμα μάζας m = 1 kg που κινείται μαζί με το δαχτυλίδι. Κάποια χρονική αφαιρείται ακαριαία η αβαρής  ακτίνα χωρίς απώλεια ενέργειας. Αν η κρούση που θα ακολουθήσει ανάμεσα στο δαχτυλίδι και το σημειακό σώμα είναι ακαριαία και πλαστική να βρεθούν:

α. Η αρχική κινητική ενέργεια του συστήματος πριν την αποκόλληση του σημειακού σώματος.

AΠΑΝΤΗΣΗ σε doc  & σε pdf