Κρούση τριών σωμάτων.

Πάνω σε ένα λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνία κλίσης φ=30^ο ισορροπεί σώμα μάζας Μ₁=1kg με τη βοήθεια ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=100Ν/m. Δύο σώματα με  μάζες Μ₂=Μ₃=1kg  συγκρούονται ακαριαία  πλαστικά  και ταυτόχρονα την χρονική στιγμή t=0, το ένα κινούμενο με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ₂=3(3)^1/2m/s την στιγμή της κρούσης  και το άλλο κινούμενα κατακόρυφα προς τα κάτω με ταχύτητα την στιγμή της κρούσης  μέτρου υ₃=3m/s.

Αν το φυσικό μήκος του ελατηρίου είναι L₀=1,15  m να βρεθούν:

A)Η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση καθώς και η απώλεια της κινητικής  ενέργειας του συστήματος  εξαιτίας της πλαστικής κρούσης.

Β)Η εξίσωση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης του συστήματος  των τριών σωμάτων αν θετική φορά θεωρηθεί η φορά της ταχύτητας του συσσωματώματος.

Γ)Η  εξίσωση της δυναμικής ενέργειας του συστήματος εξαιτίας του βάρους του αν το επίπεδο μηδενικής ενέργειας θεωρηθεί το οριζόντιο επίπεδο πάνω στο οποίο βρίσκεται το κεκλιμένο επίπεδο.

Δίνεται το g=10m/sec².

Απάντηση:

Δυο σφαίρες σε μια στεφάνη.

Στο εσωτερικό και στο χαμηλότερο σημείο  μιας κατακόρυφης  και ακλόνητης  κυκλικής στεφάνης ακτίνας R=10m  βρίσκονται δύο μικρές ελαστικές σφαίρες ίδιας ακτίνας  r=0,1m. Δίνουμε κατάλληλες αντίθετες  οριζόντιες ταχύτητες στις δύο σφαίρες έτσι ώστε οι δύο σφαίρες να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν στο εσωτερικό της στεφάνης και να φτάνουν ταυτόχρονα στο ανώτερο σημείο της στεφάνης εκτελώντας με ταχύτητες που θα μπορούσαν μόλις να εκτελέσουν ανακύκλωση.

Αν οι δύο σφαίρες έχουν μάζες  m₂=3m₁  και η  ακαριαία σύγκρουσή τους είναι κεντρική και ελαστική να υπολογιστούν:

Α)  Το μέτρο της  αρχικής  ταχύτητας  εκτόξευσης των δύο σφαιρών

Β)  Το μέτρο της ταχύτητας των σημείων επαφής των δύο σφαιρών με την κυκλική στεφάνη αμέσως μετά την σύγκρουσή τους.

Γ)  Πόσες περιστροφές θα κάνει η σφαίρα μάζας m₂ μέχρι να επιστρέψει στο σημείο εκκίνησης για πρώτη φορά αν υποθέσουμε ότι η σφαίρα με μάζα m₁ αφαιρεθεί από το σύστημα μετά την κρούση της με την δεύτερη σφαίρα.

Η ροπή αδράνειας της κάθε σφαίρας είναι Ιcm=0,4MR² , το R>>r , g=10m/s²_.

  Απάντηση:

Ένα στάσιμο κύμα με δεσμό στην αρχική θέση.

Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου διαδίδονται αντίθετα δύο κύματα με το ίδιο πλάτος Α=0,2m και το ίδιο μήκος κύματος λ=4m και τη στιγμή t=0 τα δυο κύματα φτάνουν ταυτόχρονα σε ένα σημείο Ο, το οποίο θεωρούμε αρχή του άξονα (x=0). Η μορφή του μέσου τη στιγμή αυτή, εμφανίζεται στο παραπάνω σχήμα. Τα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s.

i)  Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος που προκύπτει από την συμβολή των  δύο παραπάνω κυμάτων.

iii) Να σχεδιάστε στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος τις χρονικές στιγμές t₁=2s και t₂=3s και για την περιοχή που έχει σχηματισθεί το στάσιμο κύμα, στο ίδιο διάγραμμα.

iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της  δύναμης που ασκείται σε μια σημειακή μάζα Σ, μάζας m=1mg, η οποία βρίσκεται στη θέση x₁=3m, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Απάντηση:

Ένα στάσιμο κύμα με δεσμό στην αρχική θέση.

Όταν χωρίζει ένας «παλμός»

Θεωρούμε μια ελαστική χορδή μεγάλου μήκους, η οποία εκτείνεται κατά μήκος του άξονα x΄x ενός συστήματος συντεταγμένων. Απομακρύνουμε ένα τμήμα της χορδής από την θέση ισορροπίας του τοποθετώντας  το επί μιας συνημιτονοειδούς καμπύλης όπως στο σχήμα.

Την στιγμή t=0 αφήνουμε την χορδή ελεύθερη να κινηθεί, με αποτέλεσμα σε αυτήν να διαδοθούν δύο κύματα προς αντίθετες κατευθύνσεις με ταχύτητα υ=50cm/s.

α) Να βρείτε τις εξισώσεις των δύο κυμάτων

β) Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα των δύο κυμάτων την στιγμή t₁=0,5 s.

γ) Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης από την θέση ισορροπίας των σημείων της χορδής την στιγμή t₁.

δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος την στιγμή t₁.

Απάντηση σε woed και σε pdf

H εξίσωση ενός κύματος δείχνει όχι μόνο προς το μέλλον, αλλά και στο παρελθόν.

Δύο παλμοί Π₁ και Π₂ συχνότητας f=0,25Hz διαδίδονται στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο με αντίθετες ταχύτητες. Κάποια χρονική στιγμή τα στιγμιότυπα των δύο παλμών είναι όπως στο επόμενο σχήμα.

Την χρονική στιγμή t_μ=12s τα στιγμιότυπα των δύο παλμών είναι όπως το σχήμα που ακολουθεί.

Να βρεθεί την χρονική στιγμή  t_π=3s η απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας του, του σημείου O που βρίσκεται στην θέση x=0.
Απάντηση σε word και pdf

Δύο τρέχοντα και ένα στάσιμο κύμα.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που θεωρούμε ότι ταυτίζεται με τον άξονα x, διαδίδονται δύο όμοια κύματα πλάτους Α=0,1m, τα οποία διαδίδονται αντίθετα. Τη στιγμή t=0 το πρώτο κύμα φτάνει στο σημείο Ο, στη θέση x=0, ενώ το δεύτερο απέχει κατά 1,5m από το Ο, όπως στο σχήμα.

Αν το Ο θα φτάσει σε μέγιστη απομάκρυνση για πρώτη φορά τη στιγμή t΄=0,25s, ζητούνται:

i)  Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο τρεχόντων κυμάτων.

ii) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που θα προκύψει μετά την συμβολή των δύο παραπάνω κυμάτων.

iii) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t₁=2s, πόσοι δεσμοί και σε ποιες θέσεις έχουν σχηματισθεί.

iv) Να κάνετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος και για την περιοχή που έχει σχηματισθεί, τη στιγμή t₁.

Απάντηση: 

Δύο τρέχοντα και ένα στάσιμο κύμα.

Φάσεις και «αντιφάσεις»

Φάσεις και «αντιφάσεις»

Διάδοση και συμβολή δύο παλμών.

Κατά  μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται με αντίθετη κατεύθυνση δυο αρμονικοί παλμοί πλάτους Α=0,2m με ταχύτητα 1m/s και κάποια στιγμή που θεωρούμε t=0, απέχουν κατά 3m, ενώ η εικόνα του μέσου, είναι αυτή του παρακάτω σχήματος.

i)  Λαμβάνοντας την θέση Γ σαν αρχή του άξονα (x=0) να βρείτε τις εξισώσεις y=f(t,x) που περιγράφουν τους παραπάνω παλμούς.

ii)  Να γράψετε την εξίσωση y=f(t,x) για το αποτέλεσμα της συμβολής των παραπάνω παλμών.

iii) Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t₁=2s. Σε δύο παράλληλα σχήματα, να σχεδιάστε επίσης τη μορφή του μέσου, αν:

α) Στο μέσον διαδιδόταν μόνο η κυματομορφή που διαδίδεται προς τα δεξιά

β) Στο μέσον διαδιδόταν μόνο η άλλη κυματομορφή.

iv) Να υπολογιστούν την παραπάνω χρονική στιγμή, οι ταχύτητες ταλάντωσης τριών σημείων του μέσου, Κ, Λ και Μ, στις θέσεις x₁=1m,  x₂=1,5m και x₃=2m αντίστοιχα.

Απάντηση:

ή

Διάδοση και συμβολή δύο παλμών.

Που βρίσκεται το σημείο Β όταν το σημείο Α ...

Ένα κύμα διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο και περνά πρώτα από ένα σημείο Α και κατόπιν από ένα άλλο σημείο Β. Τα δύο σημεία απέχουν απόσταση … . Ποια η θέση του σημείου Β όταν το Α βρίσκεται στη θέση τάδε και κινείται προς…. ;

Απάντηση:

Συμβολή δύο παλμών.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδονται αντίθετα δύο αρμονικοί παλμοί και σε μια στιγμή που θεωρούμε t₀=0, η μορφή του μέσου, είναι αυτή του παρακάτω σχήματος.

Το χρονικό διάστημα που διαρκεί η ταλάντωση του σημείου Β είναι Δt=1s. Αντλώντας δεδομένα από το παραπάνω σχήμα, να υπολογίσετε για την χρονική στιγμή t΄=7/6s, την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου Μ.

Απάντηση:

ή

Συμβολή δύο παλμών..pdf

Ερωτήσεις στα κύματα - 2ο θέμα

Οι εκφωνήσεις ΕΔΩ

Οι απαντήσεις  ΕΔΩ