Στροφική κίνηση versus ελεύθερης πτώσης με «φόντο» τα 2/3

Η συνέχεια από εδώ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α >>>>

Μερικές κυλίσεις … ακόμα

Η διάταξη του σχήματος αποτελείται από:

Μία τροχαλία ακτίνας r = 0,06m στερεωμένη σε αμαξίδιο. Το σύστημα Σ τροχαλίας – αμαξιδίου έχει αμελητέα μάζα και μπορεί να κινείται χωρίς τριβή πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, γωνίας κλίσης φ = 30º.

Έναν κύλινδρο Σ₁, μάζας m₁ = 4,5kg και ακτίνας R = 0,1m και μία λεπτή σανίδα Σ₂ μάζας m₂ = 1,5kg και μήκους L = 1m. Ο κύλινδρος μπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στη σανίδα, η οποία μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω στο κεκλιμένο.

Χρησιμοποιώντας κατάλληλη διάταξη, που δεν εμποδίζει την ελεύθερη περιστροφή του κυλίνδρου, συνδέουμε τον άξονά του Α και το επάνω άκρο της σανίδας, με αβαρές μη εκτατό νήμα, μέσω της τροχαλίας. Όταν το νήμα είναι τεντωμένο δεν ολισθαίνει στην τροχαλία και τα δύο σκέλη του είναι παράλληλα προς το κεκλιμένο. Το μήκος του είναι αρκετό ώστε να μην συγκρουστεί κάποιο από τα σώματα με την τροχαλία.

Αρχικά συγκρατούμε ακίνητο το σύστημα Σ και τη σανίδα, ενώ ο κύλινδρος παραμένει ακίνητος πάνω της, πολύ κοντά στο πάνω άκρο της. ...

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ...
 

Ο Κύβος σπρώχνει έναν κύλινδρο.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν ένα κύβος ακμής α=1m και μάζας Μ=40kg και ένας κύλινδρος ακτίνας R=0,5m και μάζας m=30kg, σε επαφή. Σε μια στιγμή t₀=0, ένας άνθρωπος ασκώντας σταθερή οριζόντια  δύναμη F στην πάνω αριστερή κορυφή του κύβου, μετακινεί το σύστημα κατά 1,6m, μέχρι τη στιγμή t₁=2s, ενώ ο κύλινδρος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει). Οι συντελεστές τριβής τόσο μεταξύ κύβου-κυλίνδρου, όσο και μεταξύ των σωμάτων και του εδάφους είναι μ=μ_s=0,2.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ mR² και g=10m/s².

i)   Να υπολογιστεί η οριζόντια δύναμη με την οποία ο κύβος σπρώχνει τον κύλινδρο.

ii)  Πόση θερμική ενέργεια παράγεται στο παραπάνω χρονικό διάστημα, λόγω τριβής, μεταξύ κύβου και κυλίνδρου;

iii)  Να βρεθεί η ροπή της δύναμης που δέχεται ο κύβος από το έδαφος, ως προς το κέντρο μάζας Κ του κύβου.

iv) Αν τη στιγμή t₁ ο άνθρωπος παύει να σπρώχνει τον κύβο, να γίνει η γραφική παράσταση της απόστασης d=(ΚΟ) των κέντρων των δύο στερεών, μέχρι τη στιγμή t₂=5s.

Απάντηση:

Ο Κύβος σπρώχνει ένα κύλινδρο.

Δύναμη και είδος κίνησης.

Ο άξονας ενός ομογενούς κυλίνδρου συνδέεται με αβαρές νήμα, μέσω του οποίου μπορούμε να ασκούμε πάνω του δύναμη F, όπως στο σχήμα. Αφήνουμε τον κύλινδρο πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο, με το οποίο εμφανίζει συντελεστές τριβής μ=μ_s=1/8 και ταυτόχρονα ασκούμε πάνω του δύναμη F παράλληλη στο επίπεδο. Αν η μάζα του κυλίνδρου είναι Μ=10kg, ημθ=0,6 και συνθ=0,8, η ροπή αδράνειας  του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s², ζητούνται:

i)   Ποιο το μέτρο της F, ώστε ο κύλινδρος να παραμείνει ακίνητος;

ii)  Για ποιες τιμές της δύναμης F, ο κύλινδρος ανέρχεται κατά μήκος του επιπέδου, χωρίς να ολισθαίνει;

iii) Για ποιες τιμές της δύναμης F, ο κύλινδρος κατέρχεται κατά μήκος του επιπέδου, χωρίς να ολισθαίνει;

iv) Ποιος ο ελάχιστος χρόνος για να διανύσει ο κύλινδρος απόσταση 4m:        

α) κυλιόμενος προς τα πάνω                  β) κυλιόμενος προς τα κάτω.

Απάντηση:

Δύναμη και είδος κίνησης.

Ποια δύναμη πρέπει να ασκήσω στην τροχαλία για να ανασηκώσω το σώμα;

Αν η  τροχαλία έχει μάζα Μ ποια είναι η ελάχιστη δύναμη που πρέπει να ασκήσω ώστε να σηκωθεί μόνο το m₂ ;

Ποια είναι η ελάχιστη δύναμη που πρέπει να ασκήσω ώστε να σηκωθεί και το m₁ ;

Θεωρήσατε ότι m₁ > m₂.

Η επιτάχυνση της βαρύτητας θεωρείται γνωστή.

Απάντηση:

9. Κύλινδρος και …ράβδος σε κεκλιμένο επίπεδο

Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα Μ=3Kg και ακτίνα R=10cm. Ο κύλινδρος βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30⁰ και  ισορροπεί οριακά, ώστε ίσα – ίσα να μην υπερπηδά το εμπόδιο ύψους h=5cm.

 Από το ανώτερο σημείο του κυλίνδρου περνά αβαρές σχοινί το οποίο δένεται από το μέσο ράβδου μάζας m και μήκους L=0,8m. Η ράβδος ισορροπεί σχηματίζοντας με το κεκλιμένο επίπεδο γωνία κλίσης θ=30⁰.

Τότε:

1)  Να υπολογιστεί η μάζα m της ράβδου. 

2) Να υπολογιστεί η δύναμη Ν, που ασκείται από την άρθρωση στη ράβδο.

3) Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα. Να υπολογιστεί  η κινητική ενέργεια της ράβδου τη στιγμή που συγκρούεται με το κεκλιμένο επίπεδο.

4) Αν υποθέσουμε ότι το κεκλιμένο επίπεδο έχει αρκετό μήκος τότε, να υπολογίσετε σε πόσο διάστημα ο κύλινδρος, από τη στιγμή που θα κόψουμε το νήμα, αποκτά την ίδια κινητική ενέργεια, με αυτή που απέκτησε η ράβδος στο προηγούμενο ερώτημα. Θεωρείστε ότι έχουμε κύλιση.

Δίνονται για τον κύλινδρο Ι_cm= 0,5MR², για τη ράβδο Ι_cm=1/12 ML², sqr3=1,7 και g=10m/s².

Λύση:

Ελαστική κρούση με μικρότερης μάζας σώμα.

Eνα σώμα τεράστιας μάζας χτυπάει  κεντρικά και ελαστικά ένα δεύτερο αρχικά ακίνητο σώμα πολύ μικρότερης μάζας και αυτό με την σειρά του χτυπάει  ένα τρίτο σώμα πολύ μικρότερης μάζας και κ.ο.κ.Να βρεθεί η ταχύτητα του τελευταίου σώματος αν έχουν προηγηθεί πέντε συνολικά κρούσεις αν η αρχική ταχύτητα του πρώτου σώματος είναι u=1m/sec.

Απάντηση:

Τριγωνική διάταξη ράβδων

Κέντρο βάρους τριγωνικής διάταξης ράβδων.

Στις κορυφές τριγώνου ΑΒΓ ενεργούν τρεις παράλληλες και ομόρροπες δυνάμεις τα μέτρα των οποίων είναι ανάλογα προς τα μήκη των απέναντι πλευρών.

Α) να βρεθεί το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης των.

Β) με βάση την απάντηση στο (Α) ερώτημα, βρείτε τη συνισταμένη των βαρών τριών ράβδων ίδιας γραμμικής πυκνότητας, που αποτελούν τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ.

Απάντηση

Ο κύλινδρος σε πλάγιο επίπεδο.

Στο μέσον ενός κυλίνδρου μάζας Μ=20kg, ο οποίος συγκρατείται σε κεκλιμένο επίπεδο, κλίσεως θ=30°, υπάρχει μια μικρή εγκοπή στην οποία έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσουμε από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m=2,5kg, όπως στο σχήμα. Αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί. Αν το τμήμα του νήματος μεταξύ κυλίνδρου και τροχαλίας, είναι παράλληλο με το επίπεδο, οι συντελεστής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και επιπέδου μ=μ_s=0,4, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR².

i)  Να υπολογίστε την επιτάχυνση του σώματος Σ

ii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου, ως προς τον άξονά του, αν η ακτίνα του είναι R=0,7m.

iii) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου τη στιγμή που το σώμα Σ έχει ανέβει κατά 1m.

Απάντηση.

Ή με κλικ εδώ.

Τρία στερεά σε δύο ταλαντώσεις

Τρία ίδιας μάζας Μ=3/14 Κg  και ίδιας ακτίνας στερεά σώματα ,ένας λεπτός δίσκος, μία σφαίρα και ένα δαχτυλίδι μπορούν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το καθένα από τα παραπάνω σώματα δένεται με οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ=120N/m με το κέντρο του κάθε στερεού ενώ η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι μόνιμα στερεωμένη. Το κάθε στερεό ισορροπεί και στο καθένα από αυτά και την στιγμή t=0 ασκούμε στο κέντρο του σταθερή οριζόντια δύναμη F=60N  έτσι ώστε το κάθε  ελατήριο να  μπορεί να επιμηκύνεται.

α) Να αποδειχθεί ότι το κέντρο μάζας του κάθε στερεού εκτελεί γ.α.τ.  καθώς και να βρεθεί πόσο θα  είναι τότε  το πλάτος ταλάντωσης του κέντρου μάζας του κάθε στερεού;

β) Μετά από πόσο χρόνο πρέπει να καταργηθεί η  δύναμη στο καθένα από τα παραπάνω στερεά  έτσι ώστε να σταματήσει η περιοδική κίνηση του κάθε στερεού. Ποιο  κέντρο μάζας  κάποιου από τα παραπάνω στερεά θα μπορούσε να σταματήσει πρώτο;Σε πόσο χρόνο;

γ)  Αν καταργηθεί η εξωτερική δύναμη θα συνεχίσει το κέντρο μάζας του κάθε στερεού να εκτελεί γ.α.τ.Σε ποια θέση σε σχέση με το φυσικό μήκος του κάθε ελατηρίου  θα πρέπει  να καταργηθεί η κάθε δύναμη για ταλαντώνεται το σύστημα με την μέγιστη ενέργεια ταλάντωσης;

Δίνονται ο ροπές αδράνειας Ι_δαχ=ΜR²  I_δισκ=0,5ΜR² και Ι_σφ=0,4ΜR².

Απάντηση