Ερωτήσεις στη διάθλαση

Η κάθετη τομή ενός οπτικού πρίσματος, είναι ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90 μοίρες ).

Το πρίσμα αυτό, έχει δείκτη διάθλασης για μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός n₁ = 3/2 και είναι βυθισμένο σε υγρό, με δείκτη διάθλασης για την ίδια ακτίνα n₂ = 4/3 , όπως δείχνει το σχήμα.

Οι ερωτήσεις ΕΔΩ

Οι απαντήσεις ΕΔΩ

Ένας κύλινδρος πάνω σε βάση.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας κύλινδρος, μάζας Μ=50kg και ακτίνας R=0,4m. Ο κύλινδρος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονά του, που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεών του,  ο οποίος στηρίζεται σε βάση της ίδιας μάζας Μ. Γύρω από τον κύλινδρο είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F=120Ν, όπως στο σχήμα, μέχρι να  ξετυλιχθεί νήμα μήκους 9,6m, τη στιγμή t₁. Η βάση παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μ_s=μ=0,1 ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

i)     Να αποδείξτε ότι η βάση θα ολισθήσει πάνω στο επίπεδο.

ii)    Να βρεθεί η ενέργεια που προσφέρθηκε στον κύλινδρο, μέσω του έργου της δύναμης, καθώς και η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου τη στιγμή t₁.

iii)   Για τη χρονική στιγμή t₁, να βρεθούν η ισχύς της δύναμης F, η ισχύς της τριβής, καθώς και οι ρυθμοί μεταβολής των κινητικών ενεργειών:  

α) βάσης  και           β) του κυλίνδρου.

Απάντηση:

Ένας κύλινδρος πάνω σε βάση.

3.Τροχαλία

Η τροχαλία του σχήματος, έχει μάζα Μ=10Κg και ακτίνα r=20cm. Τα σώματα έχουν μάζες m₁=5Kg και m₂=15Kg και το σχοινί είναι αβαρές και μη εκτατό.

Η τροχαλία είναι δεμένη σε αβαρές ελατήριο σταθεράς Κ=1560Ν,

α) Για ποια επιμήκυνση του ελατηρίου η m₂ ξεκολλά από το έδαφος;

β) Αν το ελατήριο είναι αρχικά επιμηκυμένο κατά x=50cm, τότε τη στιγμή που το αφήνουμε ελεύθερο να βρείτε τις επιταχύνσεις α₁ και α₂ των δυο μαζών m₁ και m₂ αντίστοιχα, καθώς και τις τάσεις των νημάτων.

Δίνεται για την τροχαλία I_cm=0,5Mr² και g=10m/s².

Λύση:

2. Ράβδοι και ταλάντωση

 Ράβδος μάζας Μ είναι δεμένη στο ένα άκρο της σε κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ, όπως φαίνεται στο σχήμα και ισορροπεί. Η ράβδος ακουμπά επίσης πάνω στους δυο δίσκους  της ίδιας μάζας Μ, και ακτίνας R. Τότε:

α) Να δείξετε πως αν απομακρύνουμε τη ράβδο από τη θέση ισορροπίας της και την αφήσουμε ελεύθερη τότε αυτή πραγματοποιεί α.α.τ. και

β) Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης που πραγματοποιεί η ράβδος 

Θεωρούμε ότι η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, ότι δεν παρατηρείται ολίσθηση μεταξύ ράβδου και δίσκων και ότι η ροπή αδράνειας του κάθε δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου είναι: Ι_cm=1/2MR².

 

Λύση:

Δίσκος-σώμα

Ένας οριζόντιος δίσκος μάζας Μ=4kg και ακτίνας R=1m είναι αρχικά ακίνητος και έχει την δυνατότητα να στρέφεται γύρω από ακλόνητο κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Πάνω στο δίσκο και σε απόσταση r=0,5m από το κέντρο του τοποθετούμε σώμα Σ μάζας m=2kg. Τη χρονική στιγμή t=0 ο δίσκος ξεκινά να στρέφεται με τη επίδραση εφαπτομενικής δύναμης σταθερού μέτρου F=10Ν, χωρίς το σώμα Σ να ολισθαίνει.

Να υπολογίσετε:

α) τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του

β) το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του συστήματος

γ) το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος και της τριβής που δέχεται από το δίσκο την χρονική στιγμή t₁=0,5s

δ) το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής κατά τον άξονα περιστροφής τη χρονική στιγμή t₁=0,5s

i) του σώματος Σ

ii) του δίσκου

iii) του συστήματος δίσκος-σώμα

ε) την χρονική στιγμή t₂ που επίκειται ολίσθηση του σώματος πάνω στον δίσκο, εάν ο συντελεστής οριακής τριβής μεταξύ σώματος και δίσκου είναι μ_s=.

Δίνεται η ροπή αδράνειας δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ’ αυτόν Ιcm=1/2 MR² και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Λύση:

Υπερπήδηση εμποδίου.

Σαν συμπληρωματικά στοιχεία πάνω στην άσκηση 4.57 του σχολικού βιβλίου, αλλά και σαν συνέχεια της ανάρτησης «Μια ισορροπία κυλίνδρου με εμπόδιο» ας εξετάσουμε πώς επηρεάζεται η υπερπήδηση ενός εμποδίου από ένα κύλινδρο, από το αν αναπτύσσεται ή όχι τριβή μεταξύ κυλίνδρου και εμποδίου.

Εφαρμογή 1^η:

Ο τροχός του διπλανού σχήματος, ακτίνας R και βάρους 100Ν, εμποδίζεται να κινηθεί από εμπόδιο ύψους h= ½ R, όταν δέχεται δύναμη στο κέντρο του Ο, μέσω νήματος, στο άλλο άκρο του οποίου έχουμε κρεμάσει ένα σώμα Σ, μάζας m=4kg.

Δίνεται ότι ο τροχός δεν παρουσιάζει τριβές ούτε με το επίπεδο, ούτε με το εμπόδιο.

i)  Να βρεθεί η δύναμη (μέτρο και κατεύθυνση) που ασκείται στον τροχό από το εμπόδιο.

ii) Αν αντικαταστήσουμε το σώμα Σ, με άλλο βαρύτερο, μπορεί ο τροχός να υπερπηδήσει το εμπόδιο;

Η συνέχεια σε pdf.

ή
Υπερπήδηση εμποδίου.

1. Σύστημα δυο τροχαλιών

Γύρω από μια τροχαλία ακτίνας R=0,2m και μάζας M=6kg έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου δένουμε μια δεύτερη τροχαλία m και ακτίνας r=0,1m, την οποία συγκρατούμε σε ύψος h από το έδαφος, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή αφήνουμε τη δεύτερη τροχαλία να πέσει και παίρνουμε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του κέντρου μάζας της Κ, σε συνάρτηση με το χρόνο, η μορφή της οποίας φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα.

  Δίνεται η ροπή αδράνειας τροχαλίας μάζας Μ και ακτίνας R ως προς τον άξονά της Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

i)          Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στις δυο τροχαλίες.

ii)         Να υπολογιστεί η επιτάχυνση της τροχαλίας m.

iii)        Να βρεθεί το μέτρο της τάσης του νήματος (κατά την διάρκεια της πτώσης) και η μάζα m της τροχαλίας που πέφτει.

iv)      Ποιο είναι το ύψος h;

Απάντηση:

Μια ισορροπία κυλίνδρου με εμπόδιο

Γύρω από ένα κύλινδρο ακτίνας R=0,4m και μάζας Μ=10kg τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσουμε από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m₁=1kg.

Αφήνουμε το σώμα Σ ελεύθερο και το σύστημα ισορροπεί, αφού ο κύλινδρος εμποδίζεται να κινηθεί, από ένα εμπόδιο ύψους h=R. Οι συντελεστές τριβής μεταξύ κυλίνδρου και εδάφους είναι μ_s=μ=0,2, ενώ δεν εμφανίζεται τριβή μεταξύ κυλίνδρου και εμποδίου. Το νήμα μεταξύ κυλίνδρου και τροχαλίας είναι οριζόντιο, g=10m/s², ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR².

i)  Να υπολογιστούν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο.

ii) Αντικαθιστούμε το σώμα Σ με άλλο Σ΄ μάζας m₂=3kg και παρατηρούμε ότι κινείται προς τα κάτω.

α) Να βρεθεί η επιτάχυνση που αποκτά το σώμα Σ΄.

β) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του;

γ) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου μετά από 2s από τη στιγμή που άρχισε να στρέφεται.

Απάντηση:

Μια ισορροπία κυλίνδρου με εμπόδιο

Μια σφαίρα και ένας κύλινδρος σε ταλάντωση

Ένας  λεπτότατος δίσκος μάζας Μ₁=2kg  και ακτίνας R=40cm  και μία σφαίρα μάζας Μ₂=5kg  και ακτίνας  R=40cm συνδέονται μεταξύ τους με λεπτότατη άκαμπτη οριζόντια αβαρή ράβδο μήκους L=1m  που διέρχεται από τα κέντρα  του δίσκου και της σφαίρας. Η σφαίρα και ο δίσκος μπορούν να κυλίονται χωρίς να περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από την λεπτή ράβδο πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο. Σε κάποιο σημείο της ράβδου περνάμε ένα δαχτυλίδι που ενώνεται με  ένα οριζόντιο ελατήριο  σταθεράς Κ=5000/7 Ν/m το άλλο άκρο του οποίου το έχουμε στερεώσει σε ακλόνητο τοίχωμα. Ο άξονας του ελατηρίου και η ράβδος είναι μεταξύ τους κάθετα. Απομακρύνουμε τη ράβδο έτσι ώστε το ελατήριο να συσπειρωθεί κατά Δx  και αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. Παρατηρούμε τότε ότι οι ταχύτητες των κέντρων μάζας του κυλίνδρου και της σφαίρας είναι συνεχώς παράλληλες με την ταχύτητα του δαχτυλιδιού. Να βρεθούν:

A) H απόσταση του δαχτυλιδιού από το ένα άκρο της ράβδου όπου βρίσκεται ο δίσκος.

Β) Να βρεθεί η περίοδος της κίνησης του δαχτυλιδιού.

Δίνονται για το δίσκο Ι_cm=0,5MR²  και για τη σφαίρα Ι_cm=0,4MR².
Απάντηση:

Κρούση και μία ολίσθηση που μετατρέπεται σε κύλιση

Ένας κύλινδρος μάζας M=4kg και ακτίνας R=0,3m ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,1. Ένα βλήμα μάζας m=0,1kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ1=1000m/s σε διεύθυνση που απέχει απόσταση d από το κέντρο του κυλίνδρου και βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο με αυτό. Το βλήμα διαπερνά τον κύλινδρο και εξέρχεται με ταχύτητα μέτρου u2 ίδιας κατεύθυνσης με την αρχική, ενώ αμέσως μετά την κρούση το σημείο επαφής Σ του κυλίνδρου με το δάπεδο αποκτά ταχύτητα μέτρου 9m/s με φορά προς τα δεξιά και το αντιδιαμετρικό του ταχύτητα 18m/s ίδιας κατεύθυνσης με αυτή του σημείου Σ.

Να υπολογίσετε:
α) το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του κυλίνδρου αμέσως μετά την κρούση.
β) το μέτρο της γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου αμέσως μετά την κρούση.
γ) το μέτρο της ταχύτητα u2 τους βλήματος.
δ) την απόσταση d
ε) την χρονική στιγμή t1 μετά την κρούση, όπου θεωρούμε ως t=0, όπου ο κύλινδρος ξεκινά να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
στ) το έργο της τριβής μέχρι την χρονική στιγμή t1
ζ) την απόσταση d της διεύθυνσης κίνησης του βλήματος από το κέντρο του κυλίνδρου στην οποία έπρεπε να κτυπήσει το βλήμα ώστε ο κύλινδρος αμέσως μετά την κρούση να κυλίεται χωρίς ολίσθηση;
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.

Λύση:

ΘΑ ΑΝΕΒΕΙ Ή ΘΑ ΚΑΤΕΒΕΙ Ο ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ (YO-YO)

Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α >>>>>