Ισορροπία και κίνηση στερεού. Ένα φύλλο εργασίας.

Μια ομογενής δοκός ΑΒ, μήκους ℓ, ισορροπεί, όπως στο σχήμα, αρθρωμένη στο άκρο της Α, ενώ το άλλο της άκρο Β, είναι δεμένο με νήμα που σχηματίζει γωνία θ=30° με τη δοκό.

i)  Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω της.

ii) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

α) Η ροπή του βάρους ως προς το άκρο Α είναι ίση με –w∙ℓ/2.

β) Η ροπή της τάσης του νήματος ως προς το άκρο Α είναι ίση με w∙ℓ/2.

γ) Η ροπή της δύναμης F που δέχεται η δοκός από την άρθρωση, ως προς το άκρο Β έχει τιμή –w∙ℓ/2.

δ) Η ροπή της δύναμης F που δέχεται η δοκός από την άρθρωση, ως προς το σημείο Γ  έχει τιμή  w∙ℓ/2.

ε)  Η δύναμη F σχηματίζει γωνία 30° με τη δοκό.

Δείτε όλο το φύλλο εργασίας σε pdf  αλλά και σε Word.

Και σύντομες απαντήσεις

Στάσιμο κύμα

Σε μία χορδή μήκους L=1,5m η οποία είναι δεμένη και στα δύο άκρα της έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Η ταχύτητα διάδοσης των τρέχοντων κυμάτων που από την συμβολή τους δημιουργήθηκε το στάσιμο είναι 12m/s ενώ την χρονική στιγμή t₁ όπου η κινητική ενέργεια των υλικών σημείων της χορδής είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης, η απομάκρυνση ενός σημείου που αντιστοιχεί σε κοιλία είναι y_K=+0,1m. Θεωρούμε ως t=0 τη στιγμή που όλα τα μόρια της χορδής διέρχονται από την θέση ισορροπίας τους με αυτά που βρίσκονται πλησιέστερα στο αριστερό άκρο να έχουν u>0.

a) H συχνότητα ταλάντωσης των σωματιδίων του μέσου μπορεί να είναι:

i) 22Hz ii) 20Hz iii) 18Hz

β) Το πλάτος των τρέχοντων κυμάτων που συμβάλλουν είναι

i) 0,05m ii) 0,1m iii) 0,2m

γ) Αν την χρονική στιγμή που τα σωματίδια του μέσου έχουν μηδενική κινητική ενέργεια η απόσταση δύο διαδοχικών κοιλιών είναι d=0,5m, το μήκος κύματος είναι:

i) 0,6m ii) 0,3m iii) 0,25m

δ) Ο αριθμός των δεσμών που σχηματίζονται στην χορδή είναι:

i) 4 ii) 5 iii) 6

ε) Την χρονική στιγμή t= να βρείτε την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας ενός σημείου της χορδής που απέχει 0,4m από το αριστερό της άκρο

Απάντηση:

ΚΥΛΙΣΗ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ

                                                                      
                                                Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α >>>>

Μπορούμε να φωτίσουμε το σημείο;

Διαθέτουμε ένα δοχείο με βάθος h=40cm, το οποίο είναι γεμάτο πλήρως με υγρό με δείκτη διάθλασης η=√2, για μια μονοχρωματική ακτινοβολία φωτός, που παράγεται από μια συσκευή Laser. Στο πάνω μέρος, είναι καλυμένη με αδιαφανές κάλυμα, η μισή ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου, όπως στο σχήμα. Στον πυθμένα του δοχείου υπάρχουν δύο σημεία Α και Β, όπως στο σχήμα, όπου (ΑΒ)=40cm.

i) Μια ακτίνα φωτός φτάνει στο σημείο Α, αφού διαθλαστεί στο σημείο Κ, όπου (ΜΚ)=30cm.  Να βρεθεί η γωνία πρόσπτωσης φ.

 ii) Μπορούμε να ρίξουμε φως στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού, σε σημείο Λ δεξιά του Κ και να φωτίσουμε το σημείο Α ;

iii) Να εξετάσετε αν θα μπορούσαμε να φωτίσουμε το σημείο Β, με χρήση ακτίνας από την ίδια συσκευή Laser.

Απάντηση:

Μπορούμε να φωτίσουμε το σημείο

Ερώτηση στη Μηχανική στερεού

Οι , αρχικά ακίνητοι, κύλινδροι του σχήματος είναι όμοιοι σε μάζα και διαστάσεις. Έχει ο κάθε ένας εγκοπή αμελητέου βάθους. Στις εγκοπές τυλίγονται νήματα αμελητέας μάζας και μη εκτατά. Στο άκρο κάθε νήματος ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου F. Ο ένας κύλινδρος βρίσκεται σε οριζόντιο δάπεδο με κατάλληλο συντελεστή τριβής που του επιτρέπει να κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Ο άλλος βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ποιος θα διανύσει πρώτος δεδομένη απόσταση x ;

Απάντηση:

Άλλο ένα στάσιμο σε χορδή και η εξίσωσή του.

Μια χορδή με σταθερά άκρα διεγείρεται οπότε δημιουργείται πάνω της ένα στάσιμο κύμα με 7 δεσμούς (εκτός των δύο άκρων). Η πρώτη κοιλία Κ₁ απέχει 3cm από το αριστερό άκρο της χορδής και τη στιγμή που θεωρούμε t=0, έχει μέγιστη ταχύτητα με τιμή 40π cm/s, ενώ τη στιγμή t₁=0,05s η ταχύτητά της είναι υ₁=-40π cm/s, για πρώτη φορά.

i)   Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης της κοιλίας Κ₁, καθώς και το μήκος L της χορδής.

ii)  Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος, θεωρώντας ότι η πρώτη κοιλία βρίσκεται στη θέση x=0.

iii)Να σχεδιάστε στιγμιότυπα της χορδής τις χρονικές στιγμές t₂=1/40s και t₃=1/16s, στο ίδιο σύστημα αξόνων.

iv) Να βρεθεί η εξίσωση του ίδιου στάσιμου, θεωρώντας x=0 το αριστερό άκρο της χορδής.

Άλλο ένα στάσιμο σε χορδή και η εξίσωσή του

Άλλο ένα στάσιμο σε χορδή και η εξίσωσή του

Η λεπτή και ομογενής ράβδος μήκους l και βάρους w του σχήματος, ισορροπεί। Μεταξύ ράβδου και οριζοντίου δαπέδου δεν υπάρχει τριβή. Το άκρο Α είναι σε επαφή με το σημείο Ο του δαπέδου, ενώ το άκρο Γ είναι δεμένο σε νήμα.

α) Να αποδείξετε ότι το νήμα είναι κατακόρυφο.

β) Να υπολογίσετε την τάση του νήματος.

γ) Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα. Σε πόση απόσταση από το Ο, το άκρο Γ θα ακουμπήσει το δάπεδο;

Λύση

ισορροπία δοκού

Ομογενής δοκός ΑΓ, αμελητέου πάχους, μήκους 10m και βάρους  200N ισορροπεί με το ένα άκρο της μέσα σε τοίχο πάχους  στηριζόμενη στα σημεία Α και Δ. (Η δοκός σε αυτή την περίπτωση λέγεται πρόβολος και ο τρόπος στήριξής της λέγεται πάκτωση). Ένα μικρό σώμα Σ βάρους 400N ξεκινά από το σημείο Δ και κινείται προς το άκρο Γ με σταθερή επιτάχυνση μέτρου 1m/s^2.

Να βρείτε τις συναρτήσεις που δείχνουν πως μεταβάλλονται οι δυνάμεις που δέχεται η δοκός από τον τοίχο στα σημεία Α και Δ. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού αυτών των συναρτήσεων;

Η συνέχεια από  Εδώ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΤΑΣΙΜΑ ΗΛΕΚΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΤΑΣΙΜΑ ΗΛΕΚΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

μη ομογενής ράβδος και ροπή ζεύγους

Δίνεται μία λεπτή δοκός ΑΓ μήκους 12m. Για τον προσδιορισμό της θέσης του κέντρου μάζας και του βάρους της δοκούς η δοκός στηρίχθηκε σε δύο ζυγαριές στα άκρα της Α και Γ. Οι ενδείξεις που καταγράφησαν ήταν 50N και 100N για την ζυγαριά στο Α και Γ αντίστοιχα.

Να προσδιοριστεί η θέση του κέντρου μάζας και να βρεθεί το βάρος της δοκού.

Κάποια άλλη στιγμή η δοκός βρέθηκε ότι ισορροπεί με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα. Οι ενδείξεις των ζυγαριών είναι τότε 35N για την αριστερή και 115N γαι την δεξιά ζυγαριά αντιστοίχως

Να δικαιολογήσετε γιατί πάνω στην δοκό ενεργεί και ένα ζεύγος δυνάμεων  και να υπολογίσετε την ροπή αυτού του ζεύγους.

Συνέχεια

Επαναληπτική άσκηση (Κρούσεις-Ταλαντώσεις-Doppler) - Όπως δημιουργήθηκε και αναλύθηκε μέσα στην τάξη

Σώμα μάζας m₁=3 kg είναι δεμένο στην άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατήριου σταθεράς k=100 N/m, όπως φαίνεται στο σχήμα, και ισορροπεί. Η μία πλευρά του σώματος m₁ βρίσκεται σε επαφή με λεία επιφάνεια τοίχου. Επίσης, στο σώμα μάζας m₁ είναι εγκατεστημένη συσκευή παραγωγής ηχητικών κυμάτων συχνότητας fs=680 Hz, η οποία έχει αμελητέα μάζα. Σώμα μάζας m₂=1 kg συγκρούεται πλαστικά με το σώμα μάζας m₁. Η ταχύτητα του σώματος m₂ είναι u₂=4∙3^0,5 m/s και το διάνυσμα αυτής σχηματίζει γωνία 30^ο με την οριζόντια διεύθυνση. Ως χρονική στιγμή t=0 θεωρείται αυτή της κρούσης.

Επίσης δύο παρατηρητές (Α) και (Β) αντιλαμβάνονται τον ήχο από την πηγή παραγωγής ηχητικών κυμάτων. Ο παρατηρητής (Α) κινείται σε οριζόντιο επίπεδο η προέκταση του οποίου «περνάει» από την αρχική θέση του σώματος μάζας m₁. Η ταχύτητα του παρατηρητή (Α) είναι 3 m/s. Ο παρατηρητής (Β) είναι ακίνητος και βρίσκεται στον κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το σώμα μάζας m_1.

Δίνεται, επίσης, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s² και η ταχύτητα του ήχου u_ηχ=340 m/s. Θεωρήστε θετική φορά την άνω. Επίσης, μην λάβετε υπόψη τις ανακλάσεις του ήχου.

Να απαντηθούν τα ακόλουθα ζητήματα:

1. Να αποδείξετε ότι το συσσωμάτωμα που θα δημιουργηθεί εκτελεί ΑΑΤ.

2. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ΑΑΤ.

3. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της δύναμης του ελατηρίου και τη μέγιστη τιμή της δύναμης επαναφοράς.

4. Να υπολογιστεί ο χρόνος που απαιτείται ώστε το συσσωμάτωμα να ακινητοποιηθεί ακαριαία για 2^η φορά.

5. Να βρεθεί το έργο του βάρους και το έργο της δύναμης ελατηρίου κατά την προαναφερθείσα κίνηση.

6. Σε ποιες χρονικές στιγμές αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής (Β) τον ήχο με την ίδια συχνότητα με αυτή που εκπέμπεται από την πηγή.

7. Ποια η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής (Α) τη στιγμή που το συσσωμάτωμα έχει ταχύτητα 3^0,5/2 m/sμε φορά προς τα κάτω.

8. Να γραφεί η εξίσωση της συχνότητας που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής (Β) σε σχέση με το χρόνο.

Απάντηση