Καταδίωξη από τον τροχονόμο (Doppler)

Μια μοτοσικλέτα περνά μπροστά από περιπολικό με σταθερή ταχύτητα που παραβιάζει το εκεί όριο. Το περιπολικό ξεκινά την καταδίωξη κινούμενο με σταθερή ταχύτητα την στιγμή που η μοτοσικλέτα το έχει προσπεράσει κατά 31 m και ταυτόχρονα ενεργοποιεί την σειρήνα του. Μόλις το περιπολικό φτάνει τη μοτοσικλέτα σταματά να ηχεί η σειρήνα.

Ο οδηγός του περιπολικού άκουγε τη σειρήνα επί 3,1 s ενώ οι επιβάτες της μοτοσικλέτας επί 3 s.

Ποια ήταν η ταχύτητα κάθε οχήματος;

Απάντηση:

Σε ποιο ύψος θα φτάσει;

Το σώμα του σχήματος έχει μικρές διαστάσεις και κινείται χωρίς τριβές στο λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ_ο = 10 m/s . Συνδέεται μέσω ιδανικού νήματος (μη εκτατό, αμελητέας μάζας καθόλου ελαστικό) με το σημείο Ο το οποίο βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο με το σώμα και απέχει από το επίπεδο 5 m. Το μήκος του νήματος είναι 10 m.

Ποιο είναι το μεγαλύτερο ύψος από το επίπεδο που θα φτάσει το σώμα;

Θα προταθούν δυο λύσεις. Επιλέξατε την σωστή.

Απάντηση:

Πλαστική κρούση και πλάτος ταλάντωσης

ΘΕΜΑ Β΄

Ένα σώμα Σ μάζας m₁ ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος, έχοντας προκαλέσει συσπείρωση του ελατηρίου κατά d. Μετακινούμε το σώμα Σ προς τα κάτω κατά x και το αφήνουμε να ταλαντωθεί, ενώ ταυτόχρονα από ύψος h πάνω από τη θέση ισορροπίας αφήνουμε ένα δεύτερο σώμα Σ₁ να κινηθεί και παρατηρούμε ότι τα  δυο σώματα συγκρούονται στην θέση ισορροπίας Ο.

i)  Αν επαναλαμβάναμε το πείραμα συμπιέζοντας το ελατήριο κατά 2x, η σύγκρουση των δύο σωμάτων θα γινόταν:

  α) πάνω από τη θέση ισορροπίας Ο.

  β) Στη θέση ισορροπίας Ο.

  γ) κάτω από τη θέση ισορροπίας Ο.

ii)  Αν η αρχική εκτροπή του σώματος Σ  είναι  x= 0,1π  (m) και η κρούση των δύο σωμάτων είναι πλαστική, ενώ το συσσωμάτωμα έχει μηδενική ταχύτητα αμέσως μετά την κρούση, τότε το πλάτος της ταλάντωσης μετά την κρούση θα είναι:

α) Α=0,02m,      β) Α= 0,1m,        γ) Α= 0,2m,    δ) άλλη τιμή.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

Πλαστική κρούση και πλάτος ταλάντωσης.

3 ασκήσεις με ίδιο σχήμα- ίδιο ζητούμενο

Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ακίνητο σώμα Σ .Το σώμα Σ είναι σταθερά συνδεδεμένο με οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=100 Ν/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι στερεωμένη σε ακλόνητο κατακόρυφο στήριγμα, όπως φαίνεται στο σχήμα.......
 Nα προσδιορίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του Σ  
 Εκφωνήσεις - Απαντήσεις ΕΔΩ

Ταλάντωση πάνω σε βαγονέτο

Το εικονιζόμενο βαγονέτο Σ₂ έχει πάνω του κατάλληλα στηριγμένο οριζόντιο ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k = 100N/m. Στο άλλο άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο σώμα Σ₁ μάζας m = 1kg, που μπορεί να κινείται στο δάπεδο του βαγονέτου χωρίς τριβή. Η μάζα του βαγονέτου είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτή του σώματος.

Το σύστημα ισορροπεί, ώσπου μια απότομη σύγκρουση άλλου βαγονιού αναγκάζει το βαγονέτο να αρχίσει να κινείται στις οριζόντιες σιδηροτροχιές προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα μέτρου V = 2m/s  (θετική φορά θεωρείται η προς τα δεξιά).

1.  Να περιγράψετε την κίνηση του σώματος Σ₁, όπως την αντιλαμβάνεται ο κινούμενος μαζί με το βαγονέτο επιβάτης Π΄, και να βρείτε πως μεταβάλλεται η δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο Σ₁ με το χρόνο, θεωρώντας σαν χρονική στιγμή μηδέν τη στιγμή αμέσως μετά τη σύγκρουση.

2.  Να προσδιορίσετε τη χρονική συνάρτηση της ταχύτητας υ του Σ₁, καθώς και της τάσης του ελατηρίου πάνω του, όπως τις αντιλαμβάνεται ο ακίνητος παρατηρητής Π.

3.  Να απεικονίσετε γραφικά την ταχύτητα που αντιλαμβάνεται ο κάθε παρατηρητής για το Σ₁, σε συνάρτηση με το χρόνο (με τη βοήθεια του graph), για δύο περιόδους της κίνησής του.

4.  Να κάνετε το ίδιο για την ισχύ της δύναμης που δέχεται το Σ₁ από το ελατήριο.

5.  Αν θεωρήσουμε για τον παρατηρητή Π ως αρχή x = 0 την αρχική θέση  του σώματος Σ₁ (για t = 0), ισχύει και για αυτόν ανάλογη συνθήκη για την τάση του ελατηρίου, δηλαδή F_ελ = –k·x; Αντιλαμβάνεται ο Π την κίνηση του Σ₁ ως ΑΑΤ;

6.  Τη στιγμή t₁ που ο Π΄ αντιλαμβάνεται το Σ₁ να κινείται προς αυτόν για 3^η φορά με μέγιστη ταχύτητα, το βαγονέτο συγκρούεται με ακλόνητο εμπόδιο και ακινητοποιείται ακαριαία (μαζί με τον Π΄ που παθαίνει νέο σοκ). Τι είδους κίνηση αντιλαμβάνονται στη συνέχεια οι παρατηρητές Π και Π΄ για το Σ₁;

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Ελατήριο ανάμεσα σε δυο σώματα

Το οριζόντιο ελατήριο του σχήματος σταθεράς k = 200 N/m έχει στα δυο του άκρα δεμένα δυο σώματα Σ₁, Σ₂ που έχουν μάζες m₁ =2 kg και m₂ = 4 kg αντίστοιχα.

Τα σώματα αυτά, που μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, αρχικά ηρεμούν με το ελατήριο στο φυσικό του μήκος και, με το χέρι ενός ρομπότ, να κρατά ακίνητο το Σ₂.

Την χρονική στιγμή t = 0 εκτοξεύεται το Σ₁ με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ_ο = 8√2 m/s , στην διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου , έτσι ώστε , να απομακρύνεται από το Σ2 όπως δείχνει το σχήμα.

Τη χρονική στιγμή t₁ , που η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης που ακολουθεί, γίνεται ίση με την κινητική ενέργεια του Σ₁ για πρώτη φορά, αφήνεται ελεύθερο το Σ₂.

Α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ₁

Β. Κάποια χρονική στιγμή t₂ μετά την t₁, το Σ₁ σταματά στιγμιαία για πρώτη φορά.

Να υπολογίσετε τις τιμές που έχουν τα παρακάτω μεγέθη τη χρονική στιγμή t₂:

Β1. το μέτρο της ταχύτητας του Σ₂ .

Β2. η δυναμική ενέργεια ελατηρίου

Γ Κάποια χρονική στιγμή μετά την t₁, τα σώματα αποκτούν για πρώτη φορά ίσες ταχύτητες. Να βρεθεί το κλάσμα της αρχικής κινητικής ενέργειας του Σ₁, που είναι αποθηκευμένο τότε στο ελατήριο.

Απάντηση

Ενέργειες ηλεκτρικών ταλαντώσεων.

Όταν σε ένα κύκλωμα έχουμε δύο πυκνωτές συνδεδεμένους όπως στο διπλανό σχήμα, το σύστημα αυτό ισοδυναμεί με ένα πυκνωτή χωρητικότητας C=C₁+C₂ και συνολικό φορτίο q_ολ=q₁+q₂ (παράλληλη σύνδεση πυκνωτών).

Το παρακάτω κύκλωμα, όπου C₂=3C₁, εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με ενέργεια Ε και περίοδο Τ οπότε διαρρέεται από ρεύμα έντασης  της μορφής i=Ι∙συνωt, με το διακόπτη δ κλειστό.

Τη χρονική στιγμή t₁= 1/3 Τ, όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης ανοίγουμε το διακόπτη δ.

i)  Το πηνίο θα συνεχίσει να διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα με περίοδο:

α) Τ₁= Τ,       β) Τ₁= ½ Τ,    γ)  Τ₁= 1/3 Τ.

ii) Η ενέργεια της νέας ηλεκτρικής ταλάντωσης είναι ίση με:

α) Ε₁= Ε,      β) Ε₁= 9/16 Ε,       γ) Ε₁= 7/16 Ε,      δ) Ε₁=  4/16 Ε

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

Ενέργειες ηλεκτρικών ταλαντώσεων

ΠΕΝΤΕ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗΝ…Α.Α.Τ.

Eνα σώμα κινείται πάνω στον άξονα (χ) και η θέση του με τον χρόνο δίνεται από την σχέση: χ = α ημ²(ωt) ...

Απάντηση

Μια ταλάντωση με … ηλεκτρομαγνητικά φρένα !

Ο ισχυρός πεταλοειδής μαγνήτης της ανωτέρω διάταξης δημιουργεί ανάμεσα στους πόλους του κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο με φορά προς τα πάνω.

Η οριζόντια επιφάνεια είναι από λείο πλεξιγκλάς και πάνω της είναι στερεωμένα σε μεταλλικές βάσεις δύο οριζόντια ιδανικά μεταλλικά ελατήρια με τους άξονές τους παράλληλους και ίδιες σταθερές k=200N/m.

Στα άλλα άκρα των δύο ελατηρίων είναι στερεωμένη μεταλλική ράβδος Σ, μήκους ℓ=0,8m και μάζας m=0,5kg. Ο άξονας της ράβδου είναι κάθετος στους άξονες των ελατηρίων. Όλες οι συνδέσεις είναι αγώγιμες.

Τα δύο μεταλλικά στηρίγματα συνδέονται μέσω αγωγών με αντιστάτη R=2Ω και αμπερόμετρο κατά σειρά.

Για να δοκιμάσουμε τη διάταξη, εκτρέψαμε τη ράβδο κατά 20cm από τη θέση ισορροπίας της και την αφήσαμε ελεύθερη να εκτελέσει ΓΑΤ. Παρατηρήσαμε τότε ότι η ένδειξη του οργάνου έγινε αρχικά περίπου 1,5A και μειώθηκε σταδιακά μέχρι που τελικά μηδενίστηκε.

Στόχος μας ήταν να καταγράψουμε τη μεταβολή της ένδειξης του οργάνου, αλλά η μείωση γινόταν σχετικά γρήγορα και έτσι χρειάστηκαν αρκετές επαναλήψεις. Τελικά, από τις μετρήσεις που μπορέσαμε να πάρουμε,  φτιάξαμε το διπλανό διάγραμμα.

Ζητούνται τα εξής:

Συνέχεια ΕΔΩ

ΤΡΕΧΟΝ ΚΥΜΑ-ΘΕΣΗ ΠΗΓΗΣ-ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ-ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ

Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α >>>>

Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης ;

1. Ένα σώμα Σ είναι δεμένο στο δεξιό άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου και στο αριστερό άκρο οριζόντιου νήματος και ηρεμεί σε ισορροπία όπως δείχνει το σχήμα.Το ελατήριο και το νήμα έχουν τα άλλα τους άκρα ακλόνητα.

Στη θέση αυτή, το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά Δℓ = 0,2 m από το φυσικό του μήκος, και το νήμα είναι τεντωμένο.

Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα και το σύστημα ελατήριο - σώμα αρχίζει να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α

Η συνέχεια ΕΔΩ