Και σημεία μιας κατακόρυφης τομής σωλήνα

  

 Στο σχήμα βλέπουμε μια κατακόρυφη τομή ενός σωλήνα ύδρευσης, ο οποίος ενώ αρχικά είναι οριζόντιος λυγίζει προς τα κάτω, εντός του οποίου έχει αποκατασταθεί μια μόνιμη ροή. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό.
i) Για τις πιέσεις στα σημεία 1 και 2 ισχύει:

α) p₁< p₂,   β) p₁ = p₂,    γ) p₁ > p₂.

ii) Για τις πιέσεις στα σημεία 3 και 4 ισχύει:

α) p₄ < p₃ +ρgh,   β) p₄ = p₃ +ρgh,    γ) p₄ > p₃ +ρgh.

Όπου  η επιτάχυνση της βαρύτητας και h η κατακόρυφη απόσταση των δύο σημείων.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

   Και σημεία μιας κατακόρυφης τομής σωλήνα

 Και σημεία μιας κατακόρυφης τομής σωλήνα

Σημεία οριζόντιας τομής σωλήνα

Στο σχήμα βλέπουμε μια οριζόντια τομή, ενός οριζόντιου σωλήνα, σταθερής διατομής, εντός του οποίου έχει αποκατασταθεί μια μόνιμη ροή ενός ιδανικού υγρού.

i)  Να αποδειχθεί ότι η πίεση στα σημεία 1, 2 και 3 έχει την ίδια τιμή.

ii) Για τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5, στο καμπύλο τμήμα του σωλήνα, ισχύει:

α) p₄ < p₅,     β) p₄ = p₅,       γ) p₄ > p₅.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

  Σημεία οριζόντιας τομής σωλήνα

  Σημεία οριζόντιας τομής σωλήνα

 

Η γωνιακή επιτάχυνση και η τριβή.

  

Σε οριζόντιο επίπεδο συγκρατείται ένας ομογενής δίσκος κέντρου Ο,  ακτίνας R=0,2m και μάζας m=0,5kg, όπου στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας του, έχει προσκολληθεί ένα σημειακό σώμα Σ μάζας m, παίρνοντας έτσι το στερεό S.  Σε μια στιγμή ασκούμε στο Σ μια οριζόντια δύναμη F=5Ν, ενώ ταυτόχρονα αφήνεται το στερεό S να κινηθεί.
Αν ο δίσκος κυλίεται (χωρίς να ολισθήσει) να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση του κέντρου Ο του δίσκου, καθώς και η τριβή που θα δεχτεί από το επίπεδο, αμέσως μόλις αφεθεί να κινηθεί.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR².

Απάντηση:

ή

   Η γωνιακή επιτάχυνση και η τριβή.

   Η γωνιακή επιτάχυνση και η τριβή.

Όταν ανοίξουμε την τάπα.

Ένα κυλινδρικό σώμα Σ εμβαδού βάσης Α=20cm² και ύψους l=20cm, κρέμεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=30Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο. Όταν το Σ τίθεται σε κατακόρυφη ταλάντωση εκτελεί 5 ταλαντώσεις σε χρονικό διάστημα t₁=3,14s.

i) Ποια η πυκνότητα του σώματος Σ;

Το σώμα Σ τοποθετείται στο εσωτερικό του δεξιού δοχείου, όπως στο σχήμα, εμβαδού διατομής Α₁=30cm², το οποίο συνδέεται με σωλήνα, ο οποίος κλείνεται με τάπα, με το αριστερό δοχείο, εμβαδού βάσης Α₂=90cm², το οποίο περιέχει νερό μέχρι ύψος Η=50cm. Ανοίγουμε την τάπα και τελικά αποκαθίσταται ισορροπία με το νερό σε ύψος h=40cm και στα δυο δοχεία.

ii)  Να υπολογιστεί η μεταβολή της πίεσης, σε ένα σημείο κοντά στον πυθμένα του αριστερού δοχείου, εξαιτίας της πτώσης της στάθμης του νερού.

iii) Να βρεθεί το ύψος l₁ του σώματος Σ που βυθίζεται στο νερό.

iv) Πόσο ανεβαίνει το σώμα Σ, εξαιτίας της μεταφοράς του νερού στο δεξιό δοχείο;

Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1g/cm³, g=10m/s², ενώ ο σωλήνας που συνδέει τα δύο σκέλη του δοχείου, έχει αμελητέο όγκο.

Απάντηση:

ή

  Όταν ανοίξουμε την τάπα.

 Όταν ανοίξουμε την τάπα.

Ένα κλειστό δοχείο με δύο τάπες.

Στο σχήμα βλέπετε ένα δοχείο κυβικού σχήματος πλευράς α=2m, το οποίο είναι γεμάτο πλήρως με νερό και στο οποίο υπάρχουν δύο μικρές τρύπες διατομής Α=2cm², οι οποίες κλείνονται με τάπες αμελητέου βάρους, και για την ισορροπία των οποίων απαιτείται να τους ασκούμε τις δυνάμεις F₁ και F₂. Αν δεν αναπτύσσονται τριβές μεταξύ τάπας και τοιχωμάτων του δοχείου, ενώ η Α τάπα βρίσκεται στο μέσον της δεξιάς πλευράς (h=1m) και για την ισορροπία της απαιτείται άσκηση οριζόντιας  δύναμης F₁=4Ν, να υπολογιστούν:

i) Η δύναμη που ασκείται στην τάπα Α από την ατμόσφαιρα.

ii) Η πίεση στην αριστερή πλευρά της τάπας Α.

iii) Το μέτρο της κατακόρυφης δύναμης F₂ για την ισορροπία της τάπας Β.

iv) Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που το νερό ασκεί στην πάνω και στην κάτω βάση του δοχείου.

Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³, g=10m/s² και η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=1∙10⁵Ρα.

Απάντηση:

ή

  Ένα κλειστό δοχείο με δύο τάπες.

  Ένα κλειστό δοχείο με δύο τάπες.

Κινδυνεύουμε να έχουμε ολίσθηση;

 

Ένα σώμα Σ μάζας m=1kg ηρεμεί σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσεως θ=30°, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου και στο άκρο νήματος, παράλληλου προς το επίπεδο, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα, οπότε το σώμα εκτελεί αατ, με αρχική επιτάχυνση μέτρου |α₁|=10m/s² ενώ ολοκληρώνει πέντε πλήρεις ταλαντώσεις σε χρονικό διάστημα t₁=3,14s.

i) Να υπολογιστούν:

 α) το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Σ.

 β) Η τάση Τ₁ του νήματος, πριν το κόψουμε.

 γ) Η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου.

ii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα προσθέτουμε πάνω στο σώμα Σ, ένα δεύτερο σώμα Σ΄ με μάζα επίσης m, το οποίο ισορροπεί.

α) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος Τ₂.

β) Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων είναι μ_s=0,8, να εξετάσετε τι πρόκειται να συμβεί, αν κόψουμε το νήμα:: Τα δυο σώματα θα ταλαντώνεται μαζί, ή θα υπάρξει ολίσθηση μεταξύ τους.

Δίνεται g=10m/s², ενώ θεωρούνται γνωστοί οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας των 30°!!!

Απάντηση:

 ή

   Κινδυνεύουμε να έχουμε ολίσθηση;

   Κινδυνεύουμε να έχουμε ολίσθηση;

 

Αφαιρώντας το ένα σώμα, τι συμβαίνει;

 

Το σύστημα των δύο σωμάτων Σ και Σ₁, με μάζες Μ και m αντίστοιχα, εκτελούν ΑΑΤ στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με πλάτος Α.

Σε μια στιγμή αφαιρούμε το πάνω σώμα Σ₁, χωρίς να επιφέρουμε κάποια αλλαγή στο σώμα Σ, το οποίο συνεχίζει με μια νέα ταλάντωση. Η αφαίρεση και απομάκρυνση του Σ₁, μπορεί να γίνει:

i) Στη θέση x₁=+Α, οπότε το νέο πλάτος ταλάντωσης του σώματος Σ, γίνεται Α₁.

ii) Στη θέση x₂=+ ½ Α, οπότε το νέο πλάτος γίνεται Α₂.

iii) Στη θέση ισορροπίας x=0, οπότε τελικά έχουμε πλάτος ταλάντωσης Α₃.

Να συγκρίνεται τα τρία παραπάνω πλάτη, Α₁, Α₂ και Α₃.

Απάντηση:

ή

 Αφαιρώντας το ένα σώμα, τι συμβαίνει;

 Αφαιρώντας το ένα σώμα, τι συμβαίνει;

Μια σύνθεση ταλαντώσεων ή μια αατ;

 Ένα σώμα μάζας 0,5kg ταλαντώνεται σε ευθεία γραμμή, με εξίσωση απομάκρυνσης από μια θέση x=0:

i)  Να αποδείξετε ότι η κίνηση του σώματος είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου, της μορφής x=Α∙ημ(ωt+θ) και να υπολογίστε το πλάτος και την αρχική φάση  της απομάκρυνσης.

ii)  Αν η παραπάνω κίνηση είναι ΑΑΤ, να βρείτε την σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης και τη μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης.

iii) Τη χρονική στιγμή t₁=1,25s να υπολογιστούν:

α) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος.

β) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας.

iv) Αν τη στιγμή t₁ το σώμα μας συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ένα δεύτερο σώμα μάζας M=1kg οπότε στη συνέχεια έχουμε μια νέα ταλάντωση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με νέο πλάτος Α₁=0,2m, να υπολογιστεί η απώλεια της μηχανικής ενέργειας η οποία οφείλεται στην κρούση.

Απάντηση:

ή

   Μια σύνθεση ταλαντώσεων ή μια αατ;

   Μια σύνθεση ταλαντώσεων ή μια αατ;

Εξαναγκασμένη ταλάντωση και ισχύς δυνάμεων.

 

Ένα σώμα μάζας 0,2kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση εξωτερικής αρμονικής δύναμης, σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, όπως στο σχήμα. Θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική και t=0 κάποια στιγμή που το σώμα, ενώ ταλαντώνεται με σταθερό πλάτος, περνά από την θέση ισορροπίας, η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο παίρνει τη μορφή x=0,5∙ημ(10t)  (S.Ι.). Στη διάρκεια της ταλάντωσης το σώμα δέχεται δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-bυ=-0,2∙υ  (μονάδες στο S.Ι.).

i)  Ξεκινώντας από την εξίσωση για το έργο δύναμης (W=|F|∙|Δx|∙συνα) και τον ορισμό της ισχύος (Ρ=ΔW/Δt), να αποδείξετε ότι η ισχύς της δύναμης απόσβεσης, δίνεται από την εξίσωση Ρ=-b∙υ².

ii) Να υπολογίσετε την ισχύ της δύναμης απόσβεσης, κάποια στιγμή t₁, που το σώμα βρίσκεται σε απομάκρυνση x₁=0,4m, κινούμενο προς την αρνητική κατεύθυνση.

iii) Αν  το ελατήριο έχει σταθερά k=25Ν/m, να υπολογίσετε τη στιγμή t₁:

α) Την επιτάχυνση του σώματος και την εξωτερική δύναμη που ασκείται στο σώμα.

β) Το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας του σώματος.

γ) Την ισχύ της εξωτερικής δύναμης F.

Απάντηση:

ή

 Εξαναγκασμένη ταλάντωση και ισχύς δυνάμεων.

 Εξαναγκασμένη ταλάντωση και ισχύς δυνάμεων.

Μια ακόμη φθίνουσα ταλάντωση

 

Ένα σώμα μάζας m=4kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, στη θέση Ο, επιμηκύνοντας το ελατήριο κατά d=0,4m. Ασκώντας κατάλληλη κατακόρυφη δύναμη F, ανεβάζουμε το σώμα, φέρνοντάς το στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου και τη στιγμή t₀=0 το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, με την επίδραση δύναμης απόσβεσης της μορφής F_απ=-0,4∙υ.

i)  Να υπολογιστεί η αρχική ενέργεια ταλάντωσης.

Κάποια στιγμή t₁ το σώμα κινείται προς τα κάτω, έχοντας ταχύτητα μέτρου 1m/s και το ελατήριο έχει επιμήκυνση Δℓ=0,5m. Για την στιγμή αυτή να βρεθούν:

ii) Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης.

iii) Το έργο της δύναμης απόσβεσης από t₀ έως τη στιγμή t₁.

iv) Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής α) της κινητικής ενέργειας και β) της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης. Να σχολιάστε τα αποτελέσματα.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια ακόμη φθίνουσα ταλάντωση

 Μια ακόμη φθίνουσα ταλάντωση

Τρεις ταλαντώσεις και ένα νήμα που χαλαρώνει

 

Τα σώματα Α και Β με μάζες m₁=1kg και m₂=3kg αντίστοιχα, ισορροπούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με την επίδραση οριζόντιας δύναμης μέτρου F=160Ν, όπως στο σχήμα, όπου το ιδανικό ελατήριο έχει σταθερά k=400Ν/m, ενώ το νήμα που συνδέει τα δυο σώματα, είναι μη εκτατό με μήκος ℓ και αμελητέα μάζα. Κάποια στιγμή t₀=0, καταργείται η δύναμη F. Με δεδομένο ότι η ταλάντωση που ακολουθεί είναι αατ με D=k, ζητούνται:

i) Ποια χρονική στιγμή t₁ θα χαλαρώσει το νήμα που συνδέει τα δυο σώματα.

ii) Θεωρώντας την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική, αφού βρείτε την συνάρτηση της δύναμης που δέχεται το σώμα Β από το νήμα, σε συνάρτηση με το χρόνο (Τ=f(t)), να σχεδιάστε την γραφική της παράσταση.

iii) Αν τα δυο σώματα συγκρούονται πλαστικά τη στιγμή t₂ που μηδενίζεται η ταχύτητα του σώματος Α:

α) Πόσο είναι το μήκος ℓ του νήματος που συνδέει τα δυο σώματα;

β) Ποια η ενέργεια της νέας ταλάντωσης του συσσωματώματος, μετά την κρούση;

Απάντηση:

ή

   Τρεις ταλαντώσεις και ένα νήμα που χαλαρώνει

  Τρεις ταλαντώσεις και ένα νήμα που χαλαρώνει